【配套K12】高中数学 第1章 常用逻辑用语 5全称量词与存在量词课时作业 新人教A版选修2-1
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B．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：当m0＝0时，函数f(x)＝x2＋m0x是偶函数．
答案：A
3．命题“存在实数x，使1
B．綈p：∃x0∉A,2x0∈B
C．綈p：∃x0∈A,2x0∉B
D．綈p：∀x∉A,2x∉B
解析：原命题的否定是∃x0∈A,2x0∉B.
答案：C
6．已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧qB．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，
∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．
∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．
由此可知只有綈p∧q为真命题，故选B.
答案：B
7．命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是__________．
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：∃x0∈R，cosx0＞1
8．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．
答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥0
9．若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
∵f(0)＝9＞0，∴有 解得a≥5.
故所求的a的取值范围为a≥5.
15．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝ x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
解：因为x∈[－1,3]，所以f(x)∈[0,9]，
又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，
(3)特称命题，否定：∀x∈R， ≠2，真命题．
B组 能力提升
11．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题知：x0＝－ 为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此对任意x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.
答案：C
12．若存在x0∈R，使ax ＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax ＋2x0＋a＜0.
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，
得－1＜a＜1，故0＜a＜1，
综上所述，实数a的取值范围是a＜1.
答案：A
13．若x∈[－2,2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f(x)]min≥0.
解析：A是全称命题，且a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；
B中隐含量词“所有的”，是全称命题，但等腰梯形的对角线相等，是假命题；
C是特称命题；易知D是全称命题且是真命题．
答案：D
5．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∃x0∈A,2x0∈B
解得a≥－7，又a＜－4，所以－7≤a＜－4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
14．若关于x的方程 4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解，求实数a的取值范围．
解：令t＝2x，则t＞0，即将4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解转化为t2－(a＋1)t＋9＝0在(0，＋∞)上有实数解．
设f(t)＝t2－(a＋1)t＋9，
课时作业(五) 全称量词与存在量词
A组 基础巩固
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析：D选项是特称命题．
答案：D
2．下列命题中，真命题是( )
A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数
即∃x∈[0,2]，g(x)≤0，即 x－m≤0，
所以m≥ x，m≥ 2，即m≥ .
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．
答案：C
4．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．梯形的对角线不相等
C．∃x∈R， ＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
①当－ ＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤ ，又a＞4，所以a不存在．
②当－2≤－ ≤2，即－4≤a≤4时，
[f(x)]min＝f ＝ ≥0，解得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－ ＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a≥0，
答案：(－∞，3]
10．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)存在实数x，使得 ＝2.
解：
(1)特称命题，否定：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1，真命题．
(2)全称命题，否定：∃直线l，l没有斜率，真命题．
C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：当m0＝0时，函数f(x)＝x2＋m0x是偶函数．
答案：A
3．命题“存在实数x，使1
B．綈p：∃x0∉A,2x0∈B
C．綈p：∃x0∈A,2x0∉B
D．綈p：∀x∉A,2x∉B
解析：原命题的否定是∃x0∈A,2x0∉B.
答案：C
6．已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧qB．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x)＝x3－1＋x2，
∵h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0在(0,1)内有解．
∴∃x∈R，x3＝1－x2，即命题q为真命题．
由此可知只有綈p∧q为真命题，故选B.
答案：B
7．命题“∀x∈R，cosx≤1”的否定是__________．
解析：全称命题的否定是特称命题．
答案：∃x0∈R，cosx0＞1
8．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”用“∃”或“∀”符号表示为________．
答案：∀x∈R，x2＋2x＋1≥0
9．若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
∵f(0)＝9＞0，∴有 解得a≥5.
故所求的a的取值范围为a≥5.
15．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝ x－m，若对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
解：因为x∈[－1,3]，所以f(x)∈[0,9]，
又因为对∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)，
(3)特称命题，否定：∀x∈R， ≠2，真命题．
B组 能力提升
11．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：由题知：x0＝－ 为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此对任意x∈R，f(x)≤f(x0)是错误的，故选C.
答案：C
12．若存在x0∈R，使ax ＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a≤1
C．－1＜a＜1 D．－1＜a≤1
解析：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax ＋2x0＋a＜0.
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，
得－1＜a＜1，故0＜a＜1，
综上所述，实数a的取值范围是a＜1.
答案：A
13．若x∈[－2,2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f(x)]min≥0.
解析：A是全称命题，且a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；
B中隐含量词“所有的”，是全称命题，但等腰梯形的对角线相等，是假命题；
C是特称命题；易知D是全称命题且是真命题．
答案：D
5．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∃x0∈A,2x0∈B
解得a≥－7，又a＜－4，所以－7≤a＜－4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
14．若关于x的方程 4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解，求实数a的取值范围．
解：令t＝2x，则t＞0，即将4x－(a＋1)2x＋9＝0有实数解转化为t2－(a＋1)t＋9＝0在(0，＋∞)上有实数解．
设f(t)＝t2－(a＋1)t＋9，
课时作业(五) 全称量词与存在量词
A组 基础巩固
1．下列命题中，不是全称命题的是( )
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析：D选项是特称命题．
答案：D
2．下列命题中，真命题是( )
A．∃m0∈R，使函数f(x)＝x2＋m0x(x∈R)是偶函数
即∃x∈[0,2]，g(x)≤0，即 x－m≤0，
所以m≥ x，m≥ 2，即m≥ .
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．
答案：C
4．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．梯形的对角线不相等
C．∃x∈R， ＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
①当－ ＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤ ，又a＞4，所以a不存在．
②当－2≤－ ≤2，即－4≤a≤4时，
[f(x)]min＝f ＝ ≥0，解得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－ ＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a≥0，
答案：(－∞，3]
10．判断下列命题是特称命题还是全称命题，用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性．
(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；
(2)任何一条直线都存在斜率；
(3)存在实数x，使得 ＝2.
解：
(1)特称命题，否定：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1，真命题．
(2)全称命题，否定：∃直线l，l没有斜率，真命题．