五行理论的数学模型及其微分方程组的通解

制对象, 故其自动 调节 及其 反常结 果的 原则即 在于: 亢 则
害, 承乃制 制则生化, 外烈盛衰, 害则败乱, 生化大 病 ,
这种论述是极精辟的。这 就是说, 中 医的五 行理论 是从人 体
的生理病理 变化之间的关系 中概括 地抽象地 代表其 变化本 质
的单位。这 犹如数学本身就 是从具 体的客观 的千变 万化的 物
现在我们 就根 据上 述的 依据 和方 法, 用 系统 论的 观点, 将五 行 ( 五 脏 ) 分 成 N1 ( 肝 ) 、N2 ( 心 ) 、N3 ( 脾 ) 、 N4 ( 肺) 、N5 ( 肾) 5 个系 统, 并从 五 行之 间 的生 克 制 化 关系, 按照数值动态模拟的方 法, 就得到 五行整 个系统 的微分 方程 组:
1 五行的数学模型及微分方程组
如作者在本刊原发表 的关于 阴阳定 量的文章 所述, 五 行
理论是对阴阳理论的进一步衍化和推广。张景岳曰: 五行 即
阴阳之质, 阴阳即五行 之气。气非 质不 立, 质非 气不行; 行
也者, 所以 行阴 阳之 气 也。 任 应 秋曰: 五 行即 阴阳 的 化
生 。 阴阳 学说看来 原则性比较 大,
关键词: 五行理论 数学模型 微分方程组 通解 中图分类号: R 文献标识 码: A 文章编号: 1000 3649 ( 2006) 11 0007 03 The mathematic model of the theory of Ying Yang and five lements with the general solution of its erivation quation group/ Zhao Zhiyong Zhao Wei Liter ature Reserch I nstitute of Chengdu Univesity of TCM ( Sichuan Chengdu 610075) Abstract according to the theory of both yin yang and five elements and the principle of determining treatment based on differenti ation, the author applies basic principle of limit and derivation ingeniously, sets up a mathematic model, a quantitative infinitesimal analysis equation for the theory of yin yang , and a differential equation for the theory of Five Elements initiatively , finally finds the gen eral solution, combining his nearly forty years academic comprehension with science course such as derivation, integration, physics and thermodynamics and so on, which the author learned by himself in college Key words: theory of yin yang and Five Elements Mathematic Model Derivation Equation Group General Solution
+ Vcos t) ] e2t+ 5 cie tRi
i= 3
( 三) 如 ( 1) 的特 征方程| A- E| = 0 有两对 共轭复根:
1 = 1+ i 1 , 2= 1- i 1, 3= 2+ i 2, 4= 2- i 2 ( 1) 的通解则为:
2
y = [ cj ( U jcos jt - Vjsin yt) ] + cy + 2 ( Uysin y +
四川 中医
2006 年第 24 卷第 11 期
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Vol 24, No 11, 2006
式中 kiy ( i、j 分别= 1、2、3、4、5) 为 其输入或输 出速 率。Ni ( i= 1, 2, 3, 4, 5) 为 各脏 的阴 与阳 的绝 对值。t 为 时间。说明: 式中 Ni 在各脏中的绝对值是 不同的, 因为 其脏 腑之间的阴阳是不同 的。 内经 曰: 背 为阳, 阳 中之阳, 心也; 背为 阳, 阳 中 之阴 肺也; 腹为 阴, 阴 中 之阴, 肾也; 腹为阴, 阴中之阳, 肝也; 腹为阴, 阴中至 阴, 脾 也。 由 于脏腑之间的 阴阳 多少 有差 异, 为 了达 到阴 阳的 相对 平衡, 因而产生了阴阳升降运动。 故在人体整 个脏腑之间产生了阴 阳的输入输出的流动, 形 成了一 个闭路 循环, 从而 维持了 人 体内的阴阳平衡, 产生了人体的生命活动。
亦即四个 不同 系统, 加上 自身 系统, 因 而 构成 了四 种 关系,
五个方面。这种克 中有生、 生中有 克的相反 相成 的观点, 基
本上反映了控 制论 中, 反馈 论中 的输 入与 输出 的相 互 作用。
同时也说明了用五行来分 类, 有着 动态信息 分类的 客观科 学
依据。由于五行代 表的每 个系统, 既是控制 系统, 又 是被 控
本文根据中医五行理论及临床辨证论治的原则且结合自己从事中医学术的体会和在读大学时学的理科课程如数学分析即微积分常微分方程普通物理学热力学等等建立了五行理论的数学模型及其定量的微积分公式和五行理论的微积分方程并给出了通解
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+ c5 e 5tR5
( 二) 若 ( 1) 的特 征方程 | A - E| = 0 有 一对共 轭复 根 1= + i , x2= - i , 则将 i, 代 ( A- E) R= 0 得特征 向
量 K= U + iv, 此时共轭复根对应实解为: y = e t ( Ucos t- Vsin t) y = e t ( Usin t- Vcos t) ( 1) 的 通解为: y= [ C1 (U co t- Vsin t) + C2 ( Usin t
k35
k45
- ( k51+ k52)
- (k12+ k13+ )
0
0
k41
k51
k12
- (k23+ k24+ )
0
0
k52
( 一) ( 1) 的特征方程| A- E| =
k13
k23
- (k34+ k35+ )
0
0
=0
0
k24
k34
- (k45+ k41+ )
0
0
0
k35
k45
- (k51+ k52+ )
体看成一个有精密的自动 调节和 控制的 系统, 用五 行学说 作
为五个系统, 把复杂的 机体 以心、肝、 脾、肺、肾五 大系 统 作为中心, 认为 这些 系统 之间 的相 互联 系, 互 相调 节 控制,
使人体内部并与外界环境 保持动 态平衡 状态与稳 定。具体 地
说, 这五大系 统之 间 有 生我、 我生、 克我、 我克 四 种关 系,
y= 1
Vjcos yt) e jt + cse 5tR5
( 四) 如 ( 1) 的特征 方程| A- E| = 0 中有 i 重 根, 且
i
k 的重数分别为:
n 1n2 量:
nk 重 ( n1 + n2 +
+ nk= 5) 则 可设 解 y 的 分
Ni=
k
Pij ( t)
e jt
i= 解得 5 个特征 根 i ( i= 1, 2, 3, 4, 5) , 如 i 为实数互异, 则对一 i 解方程组 ( A- iE)
R ( R=
1
) 可得特征向量 Ri=
1
从而得解 yi= e itRi
5
( 1) 的通解为:
5
y = c1e 1tR1+ c2e 2tR2 +
式中的 Ni 可由本刊 2005 年 12 期所刊 文所述 的阴阳 定量 公式测得。
上述方程组的解是存在的。其解的过程及结果请见于后。 但是对于上述五行方程组的实际应用, 我目前研究尚无结果, 有待今后的继续研究。
至于对检测的实 验依据及 设计问 题, 由于 较复杂, 限 于 篇幅, 另拟以专文介绍, 于此不再赘述。
2 关于五行理论的微分方程组的解的问题
- ( k12+ k13 )
0
0
k41
k51
N1
k 12
- ( k23+ k24)
0
0
k52
解: 令 y=
A=
k 13
k23
- ( k34+ k35)
0
0
N5
0
k24
k34
- ( k45 + k41)
0
0
0
故原方程组为:
dy dt
=
Ay
( 1)
kij= conot ( iy= 1, 2, 3, 4, 5)
其中 Pij ( t) 的次数为 j 的重 数减一, 系数全是 待定的,
共有 52 个, 其 中能 定 5 个。 将每 个 Ni 代 入原 方程 组, 约 去
e it 对比两边 t 的同次幂系数, 得到关于待定系数的代数方程
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质运动形态 中抽出其中变化 的本质 而归纳为 一个数 学问题 一
样。这样, 就 我们 可以 撇开 各种 具体 的 运动 形态 的 特点,
, 对中医独特的 生命与疾 病模型 结构的 调节和 控制机 能 作出种种深 刻的科学结 论。 事 实上, 这 种系统 的研究 方法,
已为现代科 学研究的方法论 与研究 成果所证 实为极 其科学 的
辨证的全面的。正如钱学 森教授 指出那 样: 西医起 源的和 发 展于科学技术的 分析时代 , 也就是为了深入研 究事物, 把 事物分解为其组成部 分, 一个 一个认识。 这样有 好处, 便 于 认识。但也有坏处, 把本来 整体东 西分割 了。西医 的毛病 就 在于此。然而, 这一缺点早 在一百 年前恩 格斯就 指出 了。到 了大约二十年前终于 被广大科 技界所 认识到。 要恢复 系 统 观 , 有人称为 系 统时代 。人体 科学一 定要有 系统 观, 而 这就是中医的观点。他进 而高瞻 远瞩地 预言: 中医 只要在 理 论上、临床上用现代自然 科学取 得突破, 则 中医必 将超过 西 医。事 实上, 西 方理论生物 学家们已 经对这 类问题 进行了 研 究并且已取得了一些成 果。他们对 人体内 部的任 何一种 物质 的运动形式抽象地得出 了其运 动规律 的数学模 型, 即所 谓的 数值动态模拟。钱学森教 授并指 出: 系统的 详细运 动的微 观 描述可以用大组联立的一阶时间导数的常微分方程组来表达, 有多少描述系统状态的变数, 方程组的方程就有多少。
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理论探讨
五行理论的数学模型及其微分方程组的通解
赵 威1 赵致镛2
1 广州中医药大学临床药理学研究所 ( 广东 广州 510632) 2 成都中医药大学文献研究所 ( 四川 成都 610075)
摘要: 本文根据中医五行理论及临床辨证论治的原则且结合自己从事中医学术的体会, 和在读大 学时学的理科课 程 ( 如数学分析即微积分、常微分方程、普通物理学、热力学等 等) , 巧 妙地应用极 限和微分 的基本原 理, 开创 性地 建立了五行理论的数学模型, 及其定量的微积分公式, 和五行理论的微积分方程, 并给出了通解。
ddNt1= - ( k12+ k13) N1 + k51N5+ k41N4 ddNt2= - ( k23+ k24) N2 + k12N1+ k52N5 ddNt3= - ( k34+ k35) N3 + k23N2+ k13N1 ddNt4= - ( k45+ k41) N4 + k34N3+ k24N2 ddNt5= - ( k51+ k52) N5 + k45N4+ k35N3
; 五行学 说则比 较
细致一些, 看来个 别性比 较大; 自 然界一切 事物 之间, 包 括
人体内部各个脏器在内, 它们之间 的相互 关系和 影响, 都 可
以用五行学说来加以归类, 并且用 它们之间 的关系 来说明 整
个自然界包括人体在内的 错综复 杂的变 化。中医学 正是从 人
体整个情况中从整体联系 的角度 来认识 人体疾病 的。它把 人