吉林省实验中学高三数学上学期第三次模拟考试(11月)试

吉林省实验中学2017届高三年级第三次模拟考试
数学（理科）试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
（1）已知集合(){}
2ln 45A x y x x =∈=-++Z ，集合{}
3x B y y =∈=R ，则集合A B 的元素个数为
（A ）4
（B ）6
（C ）8
（D ）16
（2）已知a ∈R ，复数12z ai =+，212z i =-，若
1
2
z z 为纯虚数，则a 的值为 （A ）0
（B ）1
（C ）3 （D ）5
（3）已知p ：a ∀∈R ，1≥a e a +，q ：,αβ∃∈R ，()sin sin sin αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是
（A ）()p q ∧⌝
（B ）()p q ⌝∧
（C ）p q ∧
（D ）()()p q ⌝∧⌝
（4）已知幂函数()f x x α=
的图象过点，且()21f m ->，则m 的取值范围是
（A ）1m <或3m > （B ）13m << （C ）3m < （D ）3m >
（5）已知
1sin 3cos 5x x -=，则
cos 1sin x
x +的值为 （A ）35- （B ）3
5
（C ）5
3-
（D ）53
（6）已知向量a ，b 满足：5=a ，1=b ，34≤-a b ，则向量b 在向量a 方向上的投影的取值范围是
（A ）3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（B ）30,5⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（C ）3,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（D ）[]0,1
（7）已知点D 为ABC ∆所在平面内一点，且34AD AB AC =+，若点E 为直线BC 上一点，且AD AE λ=，则λ的值为
（A ）1
（B ）3
（C ）5
（D ）7
（8）已知函数()()2sin sin 3f x x x ϕ=+是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则函数()()sin 22g x x ϕ=+的图
象
（A ）可由()f x 的图象向左平移
6π个单位而得到 （B ）可由()f x 的图象向右平移
6π
个单位而得到 （C ）可由()f x 的图象向左平移
3π
个单位而得到 （D ）可由()f x 的图象向右平移
3
π
个单位而得到
（9）已知函数(),0
ln ,0≤x e a x f x x x ⎧-+=⎨>⎩
（e 为自然对数的底数），则“方程()0f x =有且只有一个实根”
的充分不必要条件是
（A ）0a <
（B ）1≥a
（C ）
1
12
a << （D ）0≤a 或1a >
（10）设函数()f x 的定义域为R ，则下列命题中真命题的个数为 ①函数()1y f x =+与函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称； ②若函数()2f x +为奇函数，则()()()1230f f f ++=；
③若函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且对任意x 都有()()2f x f x +=-，则()f x 的图象关于点()2,0-对称；
④若对任意1x ，2x 都有()()()12121f x x f x f x +=++，则函数()1f x +为奇函数． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（11）设函数()()()22
2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a ∈R ．若存在0x 使得()045
≤f x 成立，则
实数a 的值为
（A ）13
（B ）1
5
（C （D （12）定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足：()0f x >且()()23
f x x f x x
'<<（其中()f x '为()f x 的导函数），则 （A ）
()()111422f f << （B ）()()1111628f f << （C ）()()111322f f << （D ）()()111
824
f f <<
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5
分．） （13）1x -=⎰
．
（14）已知()11,A x y ，()22,B x y 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的两点，劣弧AB 所对的圆心角为α，若7
sin cos 17
αα+=
，则1212x x y y += ． （15）已知函数()()sin 0,2≤f x x πωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若,04π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为()f x 的图象的对称中心，4x π=为
()f x 的极值点，且()f x 在52185
，ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调，则ω的最大值为 ． （16）已知函数()4sin cos 2424f x x x π
πππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()()3
124x g x -=+，若()f x 与()g x 的图象的
交点分别为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则()1n
i i i y x =-=∑ ．
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分12分） 如图，在ABC ∆中，2AB =，1
cos 3
B =，点D 在线段B
C 上． （Ⅰ）若34
ADC π
∠=
，求AD 的长； （Ⅱ）若2BD DC
=，ACD ∆，求sin BAD
∠的值．
（18）（本小题满分12分）
2016年“双11购物狂欢节”异常火爆，天猫商城仅一天的交易额就达到了惊人的1207亿元，这一数值较2015年增长了32.25%．“双11”过后，某机构对是否赞成在“双11”进行网购做了调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及赞成在“双11”进行网购的人数如下表．
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否赞成在“双11”进行网购与人的年龄有关；
（Ⅱ）若从年龄在[55,65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，设这2人中不赞成．．．在“双11”进行网购的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． （参考数据及公式如下：
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++．）
（19）（本小题满分12分）
如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，1ACC ∠=1160CC B ∠=︒，2AC =．
（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；
（Ⅱ）若1AB =1C AB --
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，抛物线上的点(),4P m 到其焦点F 的距离等于5． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若正方形ABCD 的三个顶点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ()1230≤≤x x x <在抛物线C 上，设直线BC 的斜率为k ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 的最小值．
（21）（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x a
f x m a m x
-=
-∈R 在x e =（e 为自然对数的底数）时取得极值且有两个零点． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）记函数()f x 的两个零点分别为1x ，2x ，证明：212x x e ⋅>．
请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线C ：2cos ρθ=，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横
坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C 1，直线l
：cos 3
sin
3x t y t ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），且直线l 与曲线C 1交
于A ，B 两点．
（Ⅰ）求曲线C 1的直角坐标方程，并说明它是什么曲线；
（Ⅱ）设定点(P ，求11
PA PB
+
．
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()231f x x x =++-． （Ⅰ）解不等式()4f x >；
（Ⅱ）若存在03,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围．
吉林省实验中学2017届高三年级第三次模拟考试
数学（理科）参考答案 第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） （13）
2
π
；
（14）817
-
； （15）5； （16）5．
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分12分）
解：2分
在ABD ∆中，由正弦定理得
又2AB =，5分 （Ⅱ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，3ABC ADC S S ∆∆=，
sin AB BC ABC ∠sin AB AD BAD ∠sin AC AD CAD ∠
，∴sin 2
sin BAD AC
CAD AB
∠∠，………………9分
在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-
∠． 242AC
AB
=12分
（18）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）22⨯列联表：
………………3分
………………5分
∴有99%的把握认为是否赞成“在双11进行网购”与人的年龄有关．………………6分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2； ………………7分
()22
25C 10C 10
P x ===，()112325
C C 631C 105P x ====，()2325C 32C 10P x ===
则X 的分布列为
………………10分
所以()133
E 012 1.210510
X =⨯
+⨯+⨯=． ………………12分 （19）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则 △ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形． 取CC 1中点O ，连OA ，OB 1，则
CC 1⊥OA ，CC 1⊥OB 1，则
CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1． ………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA ＝OB 1＝3，又AB 1＝6，
所以OA ⊥OB 1． ………………6分
如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，………………7分 则C (0，－1，0)，B 1(3，0，0)，A (0，0，3)， 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
因为1AB ＝(3，0，－3)，AC ＝(0，－1，－3)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧3×x 1＋0×y 1－3×z 1＝0，0×x 1－1×y 1－3×z 1＝0，取m ＝(1，－3，
1)． ………………8分 设平面A 1AB 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 因为1AB ＝(3，0，－3)，1AA ＝ (0，2，0)，
所以⎩⎨⎧3×x 2＋0×y 2－3×z 2＝0，0×x 1＋2×y 1＋0×z 1＝0，
取n ＝(1，0，1)． ………………9分
则cos 〈m ，n 〉＝
m·n |m||n|＝25×2
＝10
5， ………………11分
因为二面角C -AB 1-A 1为钝角， 所以二面角C-AB 1-A 1的余弦值为－10
5
． ………………12分 （20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意，设抛物线方程为：2
2x py =， 又
4+
52
p
=，即2p =， ∴抛物线的方程为24x y = ． ………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），可设直线BC 的方程为：
222()(0)4
x y k x x k =-+>，
由2222()44x y k x x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩
，得2222440x kx x kx --+= ………………5分 易知23x x 、为该方程的两个根，故有234x x k
+=，得32
4x k x =-，
从而得322||))BC
x x k x =-=-， ………………6分
类似地，可设直线AB 的方程为：2221
()4
x y x x k =--+，
从而得22
||(2)AB kx k
=+， ………………8分 由||||AB BC =，得2
22(2)(2)k k x kx -=+，
解得322
2(1)
k x k k -=+，=||
BC 1()0)f k k ==>………………10分 因为=||
BC 21)1()(1)k f k k k +=≥=+
所以32||2
≥=BC S ，即S 的最小值为32，
当且仅当1k =时取得最小值． ………………12分 （21）（本小题满分12分）
解： （Ⅰ）()()2
1
ln 1ln a x x a a x x f x x x --+-'==
， ………………1分 由()1
0a f x x e +'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，
所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=， ………………2分 所以()()()2
ln 1ln ,0,x x
f x m x f x x x
-'=
->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1
f e m e
=-， ………………4分
()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，
故1
1,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩
． ………………5分
（Ⅱ）不妨设12x x <，由题意知11
22
ln ln x mx x mx =⎧⎨
=⎩， ………………6分
则()()2
21
121221121
ln
ln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，
欲证2
12x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>， 即证：()12221
1ln 2x x x x x x +>-， ………………8分 即证2
122111ln 21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21
t t t ->+， 也就是证明：1ln 2
01t t t -->+， 记()()1ln 2,11
t u t t t t -=->+， ………………10分 ∴()()()()222
114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞单调递增，
∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故2
12x x e >得证． ………………12分 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即22
(1)1x y -+=，
………………2分 ∴曲线1C 的直角坐标方程为2
214
x
y +=， ………………4分
∴曲线1C 表示焦点坐标为(0)
，0)，长轴长为4的椭圆．
………………5分
（Ⅱ）直线12:x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）
将直线l 的方程代入曲线1C 的方程2
214
x y +=中， 得21312804
t t ++=． ………………7分 设,A B 对应的参数方程为12,t t ，
则124813t t +=-，123213
t t =， ………………8分 结合t 的几何意义可知，
1212121248
||||||11||||31332||||||||||||2
13
t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++=====． ………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）∵()|23||1|.f x x x =++-
33223()412321x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩
………………2分 3311()42232432444
x x x f x x x x ⎧⎧><--≤≤⎧⎪⎪>⇔⎨⎨⎨+>⎩⎪⎪-->+>⎩⎩或或 ………………4分 211x x x ⇔<-<≤>或0或
综上，不等式()4f x >的解集为：(),2(0,)-∞-+∞ ………………5分 使不等式01()a f x +>成立min 1(())a f x ⇔+> ………………7分 由（Ⅰ）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，()4f x x =+ 32x ∴=-时，min 5(())2
f x = ………………9分 53122
a a +>⇔> ∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭ ………………10分。