空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(人教A版选修2-1)

O
y
的坐标系都是右手直角坐标
系.
x
复习回顾：
2.向量共线定理:
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
3.向量共面定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
4.平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
我们知道，平面内的任意一个向量 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
新知探究：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题：
3.1.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示
复习回顾：
1．空间直角坐标系：
（1）作空间直角坐标系 O xyz 时，一般使
xOy 135 (或45 ), yOz 90
（2）在空间直角坐标系中，
z
让右手拇指指向 轴x的正
方向，食指指向 轴y的正
z 方向，如果中指指向 轴
的正方向，称这个坐标系为
右手直角坐标系。本书建立
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
如结图论，：设如果i ,ij,,jk, k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的向量.
且的有向公量，共那的么起，点对O于. 空间任一向量 p，
对存于 在一空个间有任序意实一数组个x向, y,量z,p使得O：P
pP
p OxPi yOjQzk .QP OQ z k
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任
意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着
它们都不是 0 。
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
2.空间直角坐标系的建立：
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量
互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常
用 e1 , e2 , e3 表示
空间直角坐标系：在空 间选定一点O和一个单位正
z
交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原 点，分别以 e1,e2,e3 的正方 向建立三条数轴：x轴、y轴、
z轴，它们都叫做坐标轴.这
e3
样就建立了一个空间直角坐
标系O-xyz 点O叫做原点，向量
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
3.向量共面定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使
p＝xa＋yb。
4.平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
e3
e1
O e2
y
x
练习：
1、在空间坐标系o-xyz中，AB e1 2e2 3e2 ( e1、e2、e3 分
别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 AB
的坐标为
。
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正
投影的坐标分别为
，关于原点的对称点
为
，关于三个坐标轴的对称点分别为 ，
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
5.平面向量的正交分解及坐标表示
y
D
a xi y j
C
j
a x, y
oi
a
A Bx
4.平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
称xOiQ，yjx，i zk y为j向. 量 p 在 i ，j，k
上的分向量.
k iO j
Q
OP OQ zk xi y j zk.
1.空间向量基本定理：
如果三个向量a, b, c 不共面，那么对于空间任一向量p，存在
有序实数组x, y, z,使得：
p x a y b z c.
根据定理知，如果a, b, c 不共面，那么所有空间向量
p
e3
e1
O e2
y
x
3.空间向量的坐标表示：
给定一个空间坐标系和向
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯 z
一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3
有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O-xyz中的坐标，
记作.P=(x,y,z)
p
例题：
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分
别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向
量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
解：OP OM MP
1 2 OA MN
23
O M
1
OA
2
ON
OM
2 3
A
Q
P
C
1
OA
2
ON
1
OA
2 3 2
1
OA
2
1
OB
OC
6 3 2
组成的集合
p
p
x a
y
b
z
c,
x,
y,
z R都可由
a,
b,
c
生成，故我们把a,
b,
c 叫
做空
间的
一个基底，
a, b, c 都叫做基向量。
1.空间向量基本定理：
如果三个向量a, b, c 不共面，那么对于空间任一向量p，存在
有序实数组x, y, z,使得：
p x a y b z c.
说明：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
如图，设 i , j, k 是空间三个两两垂直的向量.
且有公共的起点O.
对于空间任意一个向量p OP
OP OQ QP OQ z k
OQ xi y j.
pP k iO j
Q
OP OQ zk xi y j zk.
新知探究：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
e1 O e2
y
e1,e2,e3 都叫做坐标向量.通过
每两个坐标轴的平面叫做坐
x
标平面。
3.空间向量的坐标表示：
ze3ຫໍສະໝຸດ e1O e2y
x
3.空间向量的坐标表示：
给定一个空间坐标系和向
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量，
由空间向量基本定理，存在唯 z
一的有序实数组(x,y, z)使
p = xe1+ye2+ze3