人教A版高中数学必修四下学期高二月考试题(B)班.docx

绝密★启用前
下学期高二月考数学试题（B）班
注意事项：
1．第I卷必须使用2B铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。

2. 第II卷必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置，在草稿纸和本卷上答题无效。

作图时，可用2B铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。

第I卷（共50分）
一、选择题（本大题共１0个小题；每小题５分，共5０分．在每小题给出的４个选项中，只有一项符合题目要求）
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()
A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设() A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°
3．定积分
⎠⎛
39－x2d x的值为()
A．9π B．3π
C. 9
4π D.
9
2π
4．下列函数求导运算正确的个数为()
①(3x )′＝3x log 3e ； ②(log 2x )′＝1x ·ln 2； ③(e x )′＝e x
；
④⎝ ⎛⎭⎪⎫
1ln x ′＝x ； ⑤(x ·e x )′＝e x ＋1. A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
5．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22
D ．ln 2
6．若f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(0)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2
D ．－4
7．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图1所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
图 1
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．函数f (x )＝1
2x 2－ln x 的最小值( ) A. 12 B ．1 C ．不存在
D ．0
9．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12 10．已知函数f (x )＝x 2
＋a
x ，若函数f (x )在x ∈[2, ＋∞]上是单调递增的，则实数a 的取值范围为( )
A．a＜8B．a≤16
C．a＜－8或a＞8 D．a≤－16或a≥16
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5个小题,每小题5分,共25分。

11．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
……
照此规律，第n个等式可为____．
12．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为____．13．
⎠⎛
2|1－x|d x＝____．.
14．函数f(x)＝
x
ln x的单调递减区间是____．
15．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝____．三、解答题：（本大题共6个小题,共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－1
3x所围成图形的面积．
17．（本小题满分12分）已知f(x)＝ln x，g(x)＝1
3x
3＋
1
2x
2＋mx＋n，直线l与函数f(x)，
g(x)的图象都相切于点(1,0)．
(1)求直线l的方程；
(2)求函数g(x)的解析式．
18．（本小题满分12分）设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线与y 轴相交于点（0,6）．
(1)确定a 的值；
(2)求函数()f x 的单调区间与极值．
19．（本小题满分12分）证明不等式ln (x +1)≥x －12x 2
20．（本小题满分13分）已知a ∈R ，求函数f (x )＝a
x +ln x －1在区间(0,e]上的最小值。

21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2
x ＋m (a ＞0)．
(1)若a ＝1时函数f (x )有三个互不相同的零点，求实数m 的取值范围；
(2)若对任意的a ∈[3,6]，不等式f (x )≤1在[－2,2]上恒成立，求实数m 的取值范围．
绝密★启用前
山东宁阳四中2014—2015学年度下学期高二月考考数学试题答案（B 班） 1C ． 2B ． 3C ． 4B ． 5B ． 6D ． 7A ． 8A ． 9D ． 10B ．11．(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) 12．2【解析】 由直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切可知
1
x ＋a
＝1， 即x ＋a ＝1，此时y ＝ln(x ＋a )＝ln 1＝0，且x ＋1＝0，x ＝－1. ∴－1＋a ＝1，即a ＝2.
13． 1 14．(0,1)，(1，e)
15． 11【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，∴由已知可得
⎩⎨⎧ f (－1)＝(－1)3＋3m (－1)2＋n (－1)＋m 2
＝0，f ′(－1)＝3×(－1)2
＋6m (－1)＋n ＝0，∴⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3或⎩⎨⎧
m ＝2，n ＝9，
当⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾， 当⎩⎨⎧
m ＝2，n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，
显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11. 16．【解】 法一 画出草图，如图所示． 解方程组⎩⎨⎧
y ＝x x ＋y ＝2，
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x y ＝－13x 及⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝2y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)． 所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x
＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2|31＝136. 17．【解】 (1)∵l 是f (x )＝ln x 在点(1,0)处的切线，∴其斜率k ＝f ′(1)＝1， 因此直线l 的方程为y ＝x －1.
(2)又l 与g (x )相切于点(1,0)，∴g ′(1)＝1，且g (1)＝0.
因此⎩⎪⎨⎪⎧
13＋12
＋m ＋n ＝0，1＋1＋m ＝1，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＝－1，n ＝16，所以函数g (x )＝13x 3＋12x 2－x ＋1
6.
18．【解】（Ⅰ）因为2()(5)6ln f x a x x =-+,所以.6
)5(2)(x
x a x f +-='
令,1=x 得a f a f 86)1(,16)1(-='=,所以曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为
)1)(86(16--=-x a a y ,因为点()6,0在切线上,所以68166-=-a a ,得.2
1
=a
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,),0(ln 6)5(2
1)(2>+-=x x x x f x x x x x x f )
3)(2(65)(--=+-='
令0)(='x f ,解得3,221==x x
当20<<x 或3>x 时, 0)(>'x f ,故)(x f 在),3(),2,0(+∞上为增函数;当32<<x 时,
0)(<'x f ,故)(x f 在)3,2(上为减函数.
由此可知)(x f 在2=x 处取得极大值2ln 62
9
)2(+=f , 在3=x 处取得极小值3ln 62)3(+=f . 19【解】
20．【解】
21．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x3＋x2－x＋m.
∵函数f(x)有三个互不相同的零点，
∴x3＋x2－x＋m＝0即m＝－x3－x2＋x有三个互不相等的实数根．令g(x)＝－x3－x2＋x，则g′(x)＝－3x2－2x＋1＝－(3x－1)·(x＋1)，
∴g (x )在(－∞，－1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上均为减函数，在⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，13上为增函数，
∴[g (x )]极小值＝g (－1)＝－1，[g (x )]极大值＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝527，∴m 的取值范围是⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，527.
(2)∵f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －a 3(x ＋a )，且a ＞0，
∴当x ＜－a 或x ＞a 3时，f ′(x )＞0；当－a ＜x ＜a
3时，f ′(x )＜0.
∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－a ，a 3.
当a ∈[3,6]时，a
3∈[1,2]，－a ≤－3.又x ∈[－2,2]，
∴[f (x )]max ＝max{f (－2)，f (2)}，又f (2)－f (－2)＝16－4a 2＜0， ∴[f (x )]max ＝f (－2)＝－8＋4a ＋2a 2＋m .
又∵f (x )≤1在[－2,2]上恒成立，∴[f (x )]max ≤1即－8＋4a ＋2a 2＋m ≤1， 即当a ∈[3,6]时，m ≤9－4a －2a 2恒成立．
∵9－4a －2a 2在[3,6]上的最小值为－87，∴m 的取值范围是(－∞，－87]．
由于n T a ≥恒成立，所以13a ≤，于是a 的取值范围为1
{|}3
a a ≤.。