高三数学第三次诊断性考试自贡三诊理试题

卜人入州八九几市潮王学校普高2021届第三次诊断性考数学试卷〔理工农医类〕本套试卷分第一局部试题卷〔1-6页)和第二局部答题卷〔7-12页〕两局部，一共150分。

在在考试完毕之后以后，将答题卷和答题卡一起交回，并分别密封装订，试题卷由学生自己保存。

第I卷〔选择题,一共60分〕
本卷须知：
1. 答第I.
2. 每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对座题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，不能答在试题卷上.
3. 第II卷必须用亳米黑色签字笔〔中性笔〕答题，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，.先划掉原来之答案，然后再写上新之答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求答题之答案无效.
参考公式
假设事件AB互斥，那么球的外表积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
假设事件A、B互相HY，那么其中R表示球的半径
P(A-B)=P(A)-P(B)球的体积公式
假设事件A在一次试验中发生的概率是P.
那么n次HY重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
.
—、选择题：
1. 复数等于
(A)－2(B)2 (C)-2i (D)2i
2. 设集合那么=
(A)(B)
(C)(D)
3. 函数在点x=2处连续，那么常数a的值是.
(A)5(B)4(C)3(D)2
4. 以经过抛物线y2=8x的焦点与x轴垂直的弦〔通经〕的长为直径的圆方程是
(A)(B)
.(C).(D)
5. 如图，为正方体，下面结论错误的选项是
(A)BD//平面〔B)丄BD
(C)丄平面〔D)异面直线AD与CB1所成角为60°
6. 把函数按向量平移后得到函数，下面结论,错误的选项是
(A)函数，的最小正周期为〔B)函数在区间[0,]上是增函数
.(C)函数的图象关于直线x=O对称〔D)函数是奇函数
7. 设A(x,1)、B(2,y)C(4，5)为坐标_面上三点,0为坐标原点,假设与在方向
上的投影一样，那么x与y；满足的关系式为
(A)4x一5y=3 (B)5x-4y=3
(C)4x+5y=14 (D)5x+4y=14
8. 数列的首项，其前n项的和为，且，那么等于
(A)0 (B)1 (C)(D)2
9. 用数字0，1, 2,3，4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数一共有
(A)288个〔B)240个〔C)144个〔D)126个
10. 某企业消费甲、乙两种产品，消费每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；消费每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。

销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个消费周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是
(A)24万元〔B)25万元〔C)26万元〔D)27万元
11如图，“l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的间隔是1,l2
与l3间的间隔是3,正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，那么的边长是
(A)(B)(C)(D)
12.设，，空间向量
那么的最小值是
(A)2 (B)4 (C)(D)5
第II卷(非选择题一共90分〕
考生本卷须知：
请用毫米黑色墨水签字在答题卷上书写答题，在试题卷上书写答题无效,.
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，总分值是16分.
13.函数(且〕的最小值为k那么的展开式的常数项是
________(用数字答题〕
14.双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为y=x点P〔〕在该双
曲线上，那么=___________
15如图，设A、B、C、D为球O上四点，假设AB、AC,AD两两互相垂直，且AB=AC=,AD=2，那么OD与平面ABC所成的角为__________
16. 给出以下5
①是函数在区间〔，4]上为单调减函数的充
要条件；
②如下列图，“嫦娥探月卫星〞沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P进入以月球
球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个
焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道III绕月飞行,假设用2C l和2c2分别表示摘圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，那么有；
③函数与它的反函数的图象假设相交，那么交点必在直线y=x上；
④己知函数在〔O,1)上满足，，贝U；
⑤函数.，，/为虚数单位〕的最小值为2
三、解答题：一共6小题，总分值是74分，解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤
17. (本小题总分值是12分〕
如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，且
的终边依次与单位圆O相交于M、N两点，己知M、N的横坐标分别为.、
.
(I)求_的值；
(I I)在，中，A、B为锐角,，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设，
，当时，求a、b、c的值.
18本小题总分值是12分〕
某公司在产品上前需对产品做检验，公司将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
(I)假设公司库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进展检验.求至少有1件是合格品的概率；
(II)假设该公司发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进展检验，只有2件都合格时才收这批产品，否那么拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.
19.(本小题总分值是12分〕
如图，在直三棱柱、中，平面丄平面.
(I)求证：AB丄BC
〔II)假设直线AC与平面所成的角为，二面角的大小为，
试判断与的大小关系，并予以证明.
20(本小题总分值是12分〕
设平面直角坐标中,O为原点，N为动点，过点M作轴于M1,过N作丄x轴于点N1,,记点R的轨迹为曲线C。

(I)求曲线C的方程；
(II)直线L与双曲线C1:的右支相交于P、Q两点〔其中点P在第一象限),线段OP交轨迹C于A,假设，，求直线L的方程
21(本小题总分值是12分)
设函数，
的一个极值点是X =3..
(I)求a 与b 的关系式〔用a 表示b,并求的单调区间；
(11)设a>0，假设存在
使得
成立，求a 的取值范
围.
22. (本小题总分值是14分) 己知.函数
的反函数是
.设数列的前n 项和为，对任意的正整数都有
成立，且
•
(I)求数列的通项公式；
,
(I I )记，设数列的前n 项和为
，求证：对任意正整数n 都有
；
(III)设数列
的前n 项和为，正实数满足：对任意正整数n ，
恒成立,求的最小值
高2021级第三次诊断考试数学试题
参考答案及评分HY
一、选择题〔理〕BCCCD DABBD
BB ；〔文〕CCCDA
DABBD
BB ；
二、填空题：13.－20；14.〔文〕32、〔理〕0；15.
6
π
〔或者30°〕；16.②④.
三、解答题：
17.【解】〔I 〕由条件得cos α=
552，cos β=10
103………………2分
∵α为锐角，∴sinA=sin α=5
5
5
21cos 12
2=
-=-）（
α，
…………3分
同理有sinB=sin β=
10
10……………4分
∴253105102
cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-=
=
∵0A B π
<+<∴
4
A B π
+=
……………6分
〔注：假设运用单位圆方程x 2
+y 2
=1、勾股定理等别的途径得出正确解答不得扣分〕
〔Ⅱ〕
由〔Ⅰ〕知34
C π=
，∴sin C =
………7分 由
sin sin sin a b c
A B C
==
得
==
，即,a c ==…9分，又∵∥
，即1a b -=…11分
1b -=-∴1b =
∴a c ==12分
18.【解】〔Ⅰ〕〔文、理〕记“公司任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品〞为事件
A ．
有4()
1()10.20.9984P A P A =-=-=………………….〔文〕6分……〔理〕4分
〔文〕〔Ⅱ〕记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为i 件〞(1,2)i
=为事件i A ，
11
173122051()190C C P A C ==
，2322203
()190
C P A C ==，…………..10分〔各得2分〕 ∴商家拒收这批产品的概率1251327
()()19019095
P P A P A =+=
+=
． 故商家拒收这批产品的概率为
27
95
．………………………….12分〔理〕〔Ⅱ〕ξ可能的取值为0,1,2…………………………..5分
95
68)0(220217===C C P ξ，()11317220511190C C P C ξ===，()232
203
2190C P C ξ===
………8分
〔一个记1分〕
3.010
31903219051195680==⨯+⨯+⨯
=ξE …………………10分
记“商家任取2件产品检验，都合格〞为事件B ，那么商家拒收这批产品的概率
952795681)(1=
-
=-=B P P ，所以商家拒收这批产品的概率为27
95
……………12分.
19.【解及证】〔Ⅰ〕证明：如右图，过点A 在平面A 1ABB 1内作AD ⊥A 1B 于D ，…………1分
那么由平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1于A 1B ，得AD ⊥平面A 1BC ,…………2分 又BC ⊂平面A 1BC ，∴AD ⊥BC .…………3分
∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，那么AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BC.…4分 又AA 1∩AD =A ,从而BC ⊥侧面A 1ABB 1，…………5分 又AB ⊂侧面A 1ABB 1，故AB ⊥BC ………………………6分
〔Ⅱ〕解法1：连接CD ，那么由〔Ⅰ〕知ACD ∠是直线AC 与平面A 1BC 所成的角，…………7分
1ABA ∠是二面角A 1
—BC —A 的平面角，即1,,ACD ABA ∠=θ∠=ϕ………..…8分
于是在Rt △ADC 中，sin ,AD AC θ=
………9分在Rt △ADB 中，sin ,AD
AB
ϕ=……….10分 由AB ＜AC ，得sin sin θϕ＜，又02
π
θϕ＜，＜，所以θϕ＜，…………………….12分
解法2：由〔Ⅰ〕知，以点B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系，………………7分
设AA 1=a ,AC =b ,AB =c ,那么B (0,0,0),A (0,c ,0),
221(,0,0),(0,,),C b c A c a -于是
)0,0,(22c b BC -=，),,0(1a c BA =，)0,,(22c c b AC --=),0,0(1a AA =……8分
设平面A 1BC 的一个法向量为n =(x ,y ,z )，那么由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
BC n 0BA n 1得220,0,cy az b c x +=⎧⎨-=⎪⎩……9分
可取
n =(0,a -,c )，于是n
=⋅AC a c ＞0，AC 与n 的夹角β为锐角，那么β与θ互为余角.
∴sin θ=cos β=
AC
n AC n ⋅=
2
2
c
a b ac +， cos φ=
2
2
11c
a c BA
BA BA BA +=
⋅，
∴sin ϕ=
于是由c ＜b ，
即sin sin ,θϕ＜又0,2π
θϕ＜，＜
∴,θϕ＜…..12分.
(文)20.【解】〔Ⅰ〕f ’(x )=-3x 2
+2ax ，……………1分
要使f (x )在(0，1)上单调递增，那么x ∈(0，1)时，f ’(x )≥0恒成立 ∴-3x 2
+2ax ≥0，即当x ∈(0，1)时，a ≥x 2
3
恒成立………….2分 ∴a ≥
2
3
，即a 的取值范围是………………3分 〔Ⅱ〕由f ’(x )=-3x 2
+2ax ，令f ’(x )=0，得x =0，或者x =3
2a ∵a ＞0，∴当x 变化时，f ’(x )f (x )的变化情况如下表：
∴y 极小=f (0)=b =1，y 极大=f (
3a )=-27a 3
+a ·9a 2
+1=27
……………….5分
∴b =1，a =1故f (x )=-x 3
+x 2
+1……………………6分 〔Ⅲ〕当x ∈时，tan θ=f ’(x )=-3x 2
+2ax ……………7分
由θ∈，得0≤f ’(x )≤1，即x ∈时，0≤-3x 2
+2ax ≤1恒成立……….9分
当0=x 时，a ∈R 当x ∈(0，1]时，由-3x 2
+2ax ≥0恒成立，由(Ⅰ)知a ≥
2
3
………10分 由-3x 2
+2ax ≤1恒成立，a ≤
21(3x +x 1)，∴a ≤3(等号在x =3
3时获得) 综上，
2
3
≤a ≤3……….12分 〔理〕20〔同文21题〕【解】〔Ⅰ〕设T
〔x ，y 〕，点N 〔x 1，y 1〕，那么N 1〔x 1，0〕即5
1=
OM ON ＝〔
5
1x 1，
5
1y 1〕，∴M 1〔0，
5
1y 1〕，M M 1＝〔
5
1x 1，0〕，
N N 1＝〔0，y 1〕．…………………3分
于是OT ＝
M M 1＋N N 1＝〔
5
1x 1，y 1〕，………4分
即〔x ，y 〕＝〔
5
1x 1
，y 1
〕．⎪⎩⎪⎨⎧==y
y x
x 115代入｜｜＝6，得5x 2
＋y 2
＝36． 所求曲线C 的轨迹方程为5x 2
＋y 2
＝36．…………………………6分
〔Ⅱ〕设(,),A m n 由OA OP ⋅=3及P 在第一象限得(3,3),0,0.P m n m n >>
∵,,1C P C A ∈∈∴2222536,54,m n m n +=-=解得2,4,m n ==
即
(2,4),(6,12).A P ………8分，设(,),Q x y 那么22536.x y -=…….① 由26tan ,S
PAQ =-∠得，
PAQ PAQ ∠-=∠⋅tan 26sin ||||2
1
， 52-=⋅∴，即(4,8)(2,4)52,230.x y x y ⋅--=-++=…….②……………10分
联立①，②，解得51,193,
19x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
或者3,3.x y =⎧⎨=-⎩因点Q 在双曲线C 1的右支，故点Q 的坐标为(3,3)-…11分 由(6,12),
P (3,3)Q -得直线l 的方程为33,123
63
y x +-=+-即5180.x y --=………12分
(理)21.【解】〔Ⅰ〕f`(x)＝－e 3-x
,………………1分
由f`(3)=0，得－e
3－3
＝0，即得b ＝－3－2a ，…..2分
那么f`(x)＝e 3-x ＝－e 3-x
＝－(x －3)(x ＋a+1)e
3-x .
令f`(x)＝0，得x 1＝3或者x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点，∴－a －1≠3，即a ≠－4,…..4分
当a <－4时，x 2>3＝x 1，那么在区间〔－∞，3〕上，f`(x)<0，
f(x)为减函数；在区间〔3，―a ―1〕上，f`(x)>0，f(x)为增函数；
在区间〔―a ―1，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数。

…………5分
当a >－4时，x 2<3＝x 1，那么在区间〔－∞，―a ―1〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数；
在区间〔―a ―1，3〕上，f`(x)>0，f(x)为增函数；在区间〔3，＋∞〕上，f`(x)<0，f(x)为减函数…6分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当a >0时，f(x)在区间〔0，3〕上的单调递增，在区间〔3，4〕上单调递减，由于f 〔x 〕连续，那么f(x)在区间上的值域是，而f(0)＝－〔2a ＋3〕e 3
<0，f (4)＝〔2a ＋13〕e -1
>0，f (3)＝a ＋6，
那么f(x)在区间上的值域是.…..8分又225()()4
x
g x a e =+
在区间上是增函数，
且它在区间上的值域是，………….10分
由于〔a 2
＋
425〕－〔a ＋6〕＝a 2－a ＋41＝(21-a )2
≥0，所以只须仅须〔a 2
＋425〕－〔a ＋6〕<1且a >0，解得0<a <23.故a 的取值范围是〔0，2
3
〕……………12分.
(文)22.【解析】〔Ⅰ〕根据题意得，）
（）（1x x
14
x x f 1
-≠-+=
，……1分 于是由a n
＝1
S f 19
S f 6n 1
-n -1+-）（）（得，a n
=5S n
+1，……2分 当1=n
时，1111
51,4
=+∴=-a S a
又∵15,1511+=+=++n n n n S a S a 1111
5,4
即
+++∴-==-n n n n n a a a a a ∴数列
{}n a 是首项为114=-
a ，公比为14=-q 的等比数列，∴1()4
=-n
n a ， *1
4()4()11()4
+-=
∈--n
n n
b n N …………4分 〔Ⅱ〕不存在正整数k ，使得4n
R k ≥成立.……………5分
证明：由〔I 〕知14()5441(4)11()4
+-==+----n
n n
n b 2122125
55201516408888.(4)1(4)1161164(161)(164)
--⨯-+=+
+=+-=-<-----+-+k k k k k k k k k b b ∴当n 为偶数时，设2()n
m m N *=∈
∵
∴
+
+++=)()(4321b b b b R n …
n
m b b m m 48)(212+<++-当n 为奇数时，设
21()n m m N *=-∈
∴++++=)()(4321b b b b R n
…n m m b b b m m m 4484)1(8)(122232=-=+-<+++---
∴对于一切的正整数n ，都有4n R k <∴不存在正整数k ，使得4n R k ≥成立。

……8分
〔Ⅲ〕同理22〔Ⅱ〕
〔理〕22【解】〔Ⅰ〕根据题意得，）（）（1x x 14
x x f 1
-≠-+=，于是由a n=
1
S f 19S f 6n 1
-n -1+-）（）（得a n
=5S n
+1，…………1分，当1n
=时，1111
51,4a a a =+∴=-
. 又a n+1=5s n+1+11
11
15,4
n n n n n a a a a a +++∴-==-即
∴数列{}n a 成等比数列，其首项114
a =-，公比是14
q =-………2分
1()4
n
n a ∴=-，14()411()
4
n
n n b +-∴=
--………..3分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知54(4)1n n b =+--2212215525164141(161)(164)n
n n n n n n n
c b b --⨯∴=-=+=-+-+ =
222516251625(16)3164)(16)16n n n n n n
⨯⨯<=+⨯-...............〔文〕9分、〔理〕4分
又1
211343,,33b b c ==
∴=，当13
12
n T =<时，成立，………….〔文〕10分、
〔理〕5分， 当n ≥2时，T n
＜∑=+n 2k k 1625341611161116125341n 2-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+=-）（＜486916
1116125342=
-⨯+＜23 ………………………………………〔文〕14分、〔理〕7分
〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知5
4(4)1
n
n b =+
--，一方面，n R n λ≤恒成立，取
n 为大于1的奇数时，设
*21()n k k N =+∈那么R n
=b 1
+b 2
+…+b
2k+1
=4n+5⎪⎭⎫
⎝⎛+-++-+++-
⨯+141 (1)
411411411
k 2321
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--+++--++-⨯+=+）
（）（141141...1411411415n 41k 2k 2321>
41
n -41,41n n R n n λλ∴≥>-->-即（）对一切大于1的奇数n 恒成立
4,41n λλ∴≥->-否则，（）只对满足1
4n λ
<
-的正奇数n 成立，矛盾.…..........9分 另一方面，当4λ
=时，对一切的正整数n 都有4n R n ≤，事实上，对任意的正整数k ，有
∴当n 为偶数时，设*2()n m m N =∈，那么
）（）（）（m 21m 24321n b b ...b b b b R ++++++=-<84m n =…………11分
当n 为奇数时，设*21()n m m N =-∈
那么++++=)()(4321b b b b R n
…n m m b b b m m m 4484)1(8)(122232=-=+-<+++---
∴对一切的正整数n ，都有4n R n ≤，综上所述，正实数λ的最小值为4…………..….14分。