山西省太原市大学附属中学2020-2021学年高一数学文测试题含解析

山西省太原市大学附属中学2020-2021学年高一数学文测试题
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得ABC=120o，则A、C两地的距离为
A．10 km B．km C．10 km D．10 km
参考答案：
D
略
2. 已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
参考答案：
C
【分析】
利用二项式通项公式分类讨论：当（x+1）中取x时，式子展开式中无,所以中x的指数幂取不到-1,即；
当（x+1）中取1时, 式子展开式中无常数项,所以中x的指数幂取不到0即,n要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可.
【详解】因为的展开式中没有常数项；由二项式展开式的通项公式
可知
(1)当（x+1）中取x时，式子展开式中无, 所以中x的幂指数取不到-1,即；（2）当（x+1）中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即，选项中的n要同时满足上面两个不等式，故选B.
【点睛】本题考查了二项式定理地应用，难度较高，解题中首先要根据题意进行分类讨论，确定后面式子中x的指数幂，再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组，有一定的难度，解题关键是对二项式定理的深度理解.
3. 将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
解：将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体中可以从左向右看得到,则该几何体的侧视图为D
4. 一个三角形具有以下性质：（1）三边组成一个公差为1的等差数列；（2）最大角是最小角的2倍.则该三角形的最大边长为（）
A．6 B．5 C. 4 D．3
参考答案：
A
5. 若函数是函数的反函数，且的图象
过点，则（）
A． B. C.
D.
参考答案：
A
6. 下列函数中，在(－∞，0)内是减函数的是( )
C．D．
参考答案：
D
7. 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）
A．B． C． D．
参考答案：
C
8. 求值：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
D
【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．
【分析】坐几路两角和与差的三角函数化简求解即可．
【解答】解：sin45°cos15°+cos45°sin 15°=sin60°=．
故选：D．
9. 直线的倾斜角是
A． B．C． D．
参考答案：
B
10. 圆的圆心坐标和半径分别是（）
A. 2
B. 4
C. 2
D. 4 参考答案：
A
【分析】
化为标准方程求解.
【详解】圆化为标准方程为
圆的圆心坐标和半径分别是
故选A.
【点睛】本题考查圆的一般方程与的标准方程互化，属于基础题.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率，先由计算器给出0～9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中目标，5，6，7，8，9表示未命中目标，以5个随机数为1组，代表射击5次的结果，经随机模拟产生10组如下随机数：
74253 02951 40722 98574 69471 46982 03714 26162 95674 42813
根据以上数据估计该运动员射击5次至少击中目标3次的概率为_______．
参考答案：
【分析】
观察数据可知共有组数据保证至少击中目标次，根据古典概型求得结果.
【详解】观察可知：，，，，，满足题意
故所求概率：
本题正确结果：
【点睛】本题考查古典概型的概率问题求解，属于基础题.
12. 已知勾函数在和内均为增函数，在和内均为减函数。

若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围
为。

参考答案：略
13. 在等腰中，是的中点，则在方向上的投
影是
．
参考答案：
略
14. 已知直线l：（m+1）x+（2m﹣1）y+m﹣2=0，则直线恒过定点．
参考答案：
（1，﹣1）
【考点】恒过定点的直线．
【分析】直线l：（m+1）x+（2m﹣1）y+m﹣2=0，化为：m（x+2y+1）+（x﹣y﹣2）=0，联立
，解出即可得出．
【解答】解：直线l：（m+1）x+（2m﹣1）y+m﹣2=0，化为：m（x+2y+1）+（x﹣y﹣2）=0，
联立，解得x=1，y=﹣1．
则直线恒过定点（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
15. “末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
参考答案：
否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除
否命题：末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除16. 已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________．
参考答案：
17. 关于x的不等式2x≤2x+1﹣解集是．
参考答案：
{x|x≥﹣1}
【考点】其他不等式的解法．
【专题】整体思想；换元法；不等式的解法及应用．
【分析】换元法结合指数函数的单调性可得．
【解答】解：令2x=t，则原不等式可化为t≤2t﹣，
解得t，即2x≥=2﹣1，
由指数函数y=2x单调递增可得x≥﹣1
故答案为：{x|x≥﹣1}
【点评】本题考查指数不等式的解集，涉及指数函数的单调性，属基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为5，圆C被直线x﹣y+3=0截得的弦长为．（1）求圆C的方程；
（2）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得A，B关于过点P（﹣2，4）的直线l对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．
【分析】（1）设⊙C的方程为（x﹣m）2+y2=25（m＞0），由弦长公式求出m，即得圆C的方程．
（2）由圆心到直线的距离等于半径，求得实数a的取值范围．
（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称，则有，解出实数a的值，得出结论．
【解答】解：（1）设⊙C的方程为（x﹣m）2+y2=25（m＞0），由题意设，
解得 m=1．故⊙C的方程为（x﹣1）2+y2=25．
（2）由题设知，故12a2﹣5a＞0，所以，a＜0，或．
故实数a的取值范围为．
（3）设存在实数a，使得A，B关于l对称．∴PC⊥AB，又 a＜0，或，
即，∴，
∴存在实数，满足题设．
19. 中，，，且．
（）求的长．
（）求的大小．
参考答案：
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【分析】（）由已知利用正弦定理即可得解的值．
（）由已知利用余弦定理可求的值，结合的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：（）由正弦定理，可得：，可得：．
（）由余弦定理可得：，
由于，
可得：．
20. （2014年广东理17，13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），
获得数据如下：
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在
区间（30,35］的概率.
参考答案：
21. 已知定义在R的函数f（x）满足以下条件：
①对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；
②当x＞0时，f（x）＞0；
③f（1）=1．
（1）求f（2），f（0）的值；
（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，求a的取值范围；
（3）求不等式的解集．
参考答案：
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】（1）令x=y=1可得f（2）=3；令x=y=0可得f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f （1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，则f（1）=f（0）=﹣1与已知矛盾；
（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立?f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，先探讨f（x）=t的取值范围t∈（﹣1，+∞），原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，
+∞）恒成立，（3）
（3）f（f（x））≥?[1+f（x+1）]?f（f（x））≥7﹣f（x+1）?f（x+1）??[1+f
（x+1）]?f（f（x））≥7﹣f（x+1）?f（x+1）+f（x+1）?f（f（x））+f（f（x））≥7?f（x+1+f （x））≥7．再证明函数 y=f（x）在R上单调递增，原不等式转化为x+1+f（x）≥3令F（x）
=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增F（x）≥F（3）?x≥1，
【解答】解：（1）令x=y=1可得f（2）=f（1）f（1）+2f（1）=3，
令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0）+2f（0），则f（0）=0或f（0）=﹣1，
令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，则f（1）=f（0）=﹣1与已知矛盾，∴f（0）=0；
（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立?f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5对任意x恒成立，令f（x）=t，以下探讨f（x）=t的取值范围．
令y=﹣x可得f（0）=f（﹣x）f（x）+f（x）+f（﹣x）?f（x）=，当x＜0时，f﹣x）＞0，则﹣1＜f（x）=＜0，
∴x∈R时，f（x）=t∈（﹣1，+∞）．
原不等式等价于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，
即tt2+2t+5≥（t+1）a?a≤．
g（t）=，当t=1时取等号．
∴a≤4．
（3）由（2）可得f（x）∈（﹣1+∞），f（x+1）∈（﹣1+∞），
f（f（x））≥?[1+f（x+1）]?f（f（x））≥7﹣f（x+1）?
f（x+1）??[1+f（x+1）]?f（f（x））≥7﹣f（x+1）?
f（x+1）+f（x+1）?f（f（x））+f（f（x））≥7?f（x+1+f（x））≥7．
下面证明y=f（x）的单调性：
任取x1，x2∈R，且x1＞x2，?f（x1﹣x2）＞0，f（x2）＞﹣1
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）f（x2）+f（x1﹣x2）=f（x1﹣x2）[f（x2）+1]＞0
所以函数 y=f（x）在R上单调递增，
∵f（3）═f（1）f（2）+f（2）+f（1）=7，
∴f（x+1+f（x））≥7?．f（x+1+f（x））≥f（3）?x+1+f（x）≥3
令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增，且F（1）=3
x+1+f（x）≥3?F（x）≥F（3）?x≥1，
所以原不等式解集为：[1，+∞）．
22. （本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
已知函数f（x）=sin2x-.
（1）求f（x）的最小周期和最小值，
（2）将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图
像.当x时，求g（x）的值域.
参考答案：
（1）的最小正周期为，最小值为，（2）.
试题分析：（1）首先用降幂公式将函数的解析式化为
的形式，从而就可求出的最小周期和最小值，
（2）由题目所给变换及（1）的化简结果求出函数的表达式，再由并结合正弦函数的图象即可求出其值域．
试题解析：（1）
,
因此的最小正周期为，最小值为.
（2）由条件可知：.
当时，有，
从而的值域为，
那么的值域为.
故在区间上的值域是.。