浙江省高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第2节二次函数课件

规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意： （1）抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三 者有两定一不定，要注意分类讨论； （2）要注意数形结合思想的应用.
【训练2】 （1）设abc>0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（ ）
（2）若函数f（x）＝ax2＋2x＋3在区间[－4，6]上是单调递增函数，则实数a的取值
又函数的最大值是 8，即4a（－2a－14）a －（－a）2＝8，解得 a＝－4， ∴所求函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. （2）∵f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立， ∴f（x）的对称轴为x＝2. 又∵f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2， ∴f（x）＝0的两根为1和3. 设f（x）的解析式为f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0）， 又∵f（x）的图象过点（4，3），∴3a＝3，∴a＝1. ∴所求f（x）的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3）， 即f（x）＝x2－4x＋3.
（）
A.[0，1]
B.[1，2]
C.（1，2]
D.（1，2）
解析 画出函数y＝x2－2x＋3的图象（如图），由题意知1≤m≤2.
答案 B
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
2021/4/17
浙江省高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第2节二 次函数课件
解 （1）当a＝－2时，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，由于x∈[－4，6]， ∴f（x）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f（x）的最小值是f（2）＝－1， 又f（－4）＝35，f（6）＝15，故f（x）的最大值是35. （2）由于函数f（x）的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f（x）在[－4，6] 上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4， 故a的取值范围是（－∞，－6]∪[4，＋∞）.
大致图象 （a>0）
综合结论 （不讨论 a）
若两根有且仅有一根在（m，n）内，则需分三种情况讨论： ①当Δ＝0时，由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应 的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去； ②当f（m）＝0或f（n）＝0，方程有一根为m或n，可以求出另外一根，从而检验另 一根是否在区间（m，n）内； ③当f（m）·f（n）<0时，则两根有且仅有一根在（m，n）内.
4.一元二次方程根的分布 设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的不等两根为x1，x2且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0)，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见 下面各表(每种情况对应的均是等价条件)
表一：(两根与k的大小比较)
分布情况
两根都小于 k 即 x1<k，x2<k
一个根小于 k， 两根都大于 k 即
x1>k，x2>k
一个大于 k，即
x1<k<x2
大致图象 (a>0)
综合结论(不 讨论 a)
a·f（k）<0
表二：（根在区间上的分布）
分布情况
一根在（m，n）内， 两根都在（m， 两根都在区间（m，
n）内
另一根在（p，q）内， n）外（x1<m，x2>n）
m<n<p<q
3.二次函数的最值问题 二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”“轴动区间定”“轴定区间 动”.解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与 区间的关系进行分类讨论.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数f(x)在闭区间[m，n] 上的最大值、最小值有如下的分布情况：
法二（利用顶点式解题） 设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）.∵f（2）＝f（－1）， ∴二次函数图象的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12，∴m＝12.
又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8. ∴y＝f（x）＝ax－122＋8. ∵f（2）＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4，∴f（x）＝－4x－122＋8 ＝－4x2＋4x＋7. 法三（利用零点式解题） 由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0）， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1.
（3）由－4≤|x|≤6，得－6≤x≤6，当a＝－1时，f（|x|）＝x2－2|x|＋3 ＝xx22＋ －22xx＋ ＋33＝ ＝（ （xx＋ －11） ）22＋ ＋22， ，xx≤ >00，， 其图象如图所示，
∴f（|x|）在[－6，6]上的单增区间为[－1，0]和[1，6]，单减区间为[－6，－1） 和（0，1）.
答案 C
3.若方程x2＋（m＋2）x＋m＋5＝0只有负根，则m的取值范围是（ ）
A.[4，＋∞）
B.（－5，－4]
C.[－5，－4]
D.（－5，－2）
解析
Δ＝（m＋2）2－4×（m＋5）≥0，
由题意得x1＋x2＝－（m＋2）<0，
解得 m≥4.
x1x2＝m＋5>0，
答案 A
4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为
）
答案 （1）√ （2）√ （3）× （4）×
2.已知f（x）＝x2＋px＋q满足f（1）＝f（2）＝0，则f（－1）的值是（ ）
A.5
B.－5
C.6
D.－6
解析 由f（1）＝f（2）＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，
q＝2，∴f（x）＝x2－3x＋2，∴f（－1）＝6.
规律方法 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函 数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.
【训练3】 设函数f（x）＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f（x）的最小值. 解 f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴 为x＝1. 当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图（1）所示，函数f（x）在区间[t，t＋1]上为 减函数，所以最小值为f（t＋1）＝t2＋1； 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图（2）所示，在对称轴x＝1处取得最 小值，最小值为f（1）＝1；
对称轴与区 间的关系
m<n<－2ba，
m<－2ba<n，
即－2ba∈(n，＋∞) 即－2ba∈(m，n)
－2ba<m<n， 即－2ba∈(－∞，m)
图象
最值
f(x)max＝f(m)， f(x)min＝f(n)
f(x)max＝ max{f(n)，f(m)}， f(x)min＝f－2ba
f(x)max＝f(n) f(x)min＝f(m)
6.若函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，3]上是减函数，则实数a的取
值范围是
，且函数f（x）恒过点
.
解析 二次函数f（x）图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.
由函数的解析式易得函数f（x）恒过定点（0，2）.
答案 （－∞，－2] （0，2）
考点一 二次函数的解析式 【例1】 求下列函数的解析式： （1）（一题多解）已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，
则此二次函数的解析式为 f（x）＝（x－1）2－1.（ ）
（2）已知函数 f（x）＝ax2＋x＋5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是210，＋∞. （）
（3）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（ ）
（4）二次函数 y＝ax2＋bx＋c（x∈[a，b]）的最值一定是4ac4－a b2.（
规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的 形式，选法如下：
【训练1】 若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且
它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝
.
解析 由f（x）是偶函数知f（x）的图象关于y轴对称，∴b＝－2，∴f（x）＝
知识梳理 1.二次函数表达式的三种形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，顶点坐标为(－h，k)). (3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点 的横坐标).
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
－2x2＋2a2，又f（x）的值域为（－∞，4]，∴2a2＝4，故f（x）＝－2x2＋4.
答案 －2x2＋4
考点二 二次函数的图象与性质
【例2】 已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. （1）当a＝－2时，求f（x）的最值； （2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－4，6]上是单调函数； （3）当a＝－1时，求f（|x|）的单调区间.
f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8； （2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），它在x轴上截得的线段长为2，
并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x）. 解 （1）法一（利用一般式解题） 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
由题意得44aaa－c＋4－ba2＋bb2＋ c＝＝c8＝ －，－ 1，1，解得abc＝＝ ＝7－ 4.，4， ∴所求二次函数为 f（x）＝－4x2＋4x＋7.
a>0
a<0
图象
定义域
R
值域 单调性 奇偶性 图象特点
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
在－∞，－2ba上递减， 在－2ba，＋∞上递增
在－∞，－2ba上递增， 在－2ba，＋∞上递减
b＝0 时为偶函数，b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数
①对称轴：x＝－2ba；②顶点：－2ba，4ac4－a b2
[常用结论与易错提醒]
不等式 ax2＋bx＋c>0（<0）恒成立的条件
（1）不等式
ax2＋bx＋c>0
对任意实数
x
恒成立⇔a＝b＝0，或a>0，
c>0
Δ<0.
（2）不等式 ax2＋bx＋c<0 对任意实数 x 恒成立⇔a＝b＝0，或a<0，
c<0
Δ<0.
诊断自测
1.判断下列说法的正误.
（1）如果二次函数 f（x）的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，且过点（0，0），
复习课件
浙江省高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第2节二次函数课件
2021/4/17
浙江省高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数 Ⅰ第2节二次函数课件
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第2节 二次函数
考试要求 1.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系 解决简单问题；2.能解决一元二次方程根的分布问题；3.能解决二次函数的最值问题.
【例3－2】 将例3－1改为：求函数f（x）＝x2＋2ax＋1在区间[－1，2]上的最大值. 解 f（x）＝（x＋a）2＋1－a2， ∴f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a， （1）当－a<12，即 a>－12时，f（x）max＝f（2）＝4a＋5； （2）当－a≥12，即 a≤－12时，f（x）max＝f（－1）＝2－2a. 综上，f（x）max＝42a－＋25a， ，aa>≤－－1212，.
考点三 二次函数的最值 【例3－1】 已知函数f（x）＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a
的值. 解 f（x）＝a（x＋1）2＋1－a. （1）当a＝0时，函数f（x）在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
（2）当 a>0 时，函数 f（x）在区间[－1，2]上是增函数，最大值为 f（2）＝8a＋1 ＝4，解得 a＝38； （3）当 a<0 时，函数 f（x）在区间[－1，2]上是减函数，最大值为 f（－1）＝1－a ＝4，解得 a＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.
范围是
.
解析 （1）由 A，C，D 知，f（0）＝c<0，从而由 abc>0，所以 ab<0，所以对称 轴 x＝－2ba>0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f（0）＝c>0，所以 ab>0，所 以对称轴 x＝－2ba<0，B 错误. （ 2 ） 由 题 意 可 知 f′ （ x ） ＝ 2ax ＋ 2≥0 在 [ － 4 ， 6] 上 恒 成 立 ， 所 以 ff′′（ （－ 6）4） ＝1＝2－ a＋8a2＋ ≥20≥ ，0，所以－16≤a≤14. 答案 （1）D （2）－16，14
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5.已知方程x2＋（m－2）x＋2m－1＝0的较小的实根在0和1之间，则实数m的取值范
围是
.
解析
令 f （ x ） ＝ x2 ＋ （ m － 2 ） x ＋ 2m － 1. 由 题 意 得
f（0）>0， f（1）<0，
即
21m＋－（1m>－0，2）＋2m－1<0，解得12<m<23.
答案 12，23