最新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(含答案解析)(2)

一、选择题 1．
12i
12i
+=- A ．43i 55
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）
A ．2
B 1
C 1
D ．3
3．已知复数z 满足()2016
1i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A ．
12
B ．12-
C ．
12
i D ．12
i -
4．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
5．若复数(1a i
z i i
+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
6．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．已知集合，(
)(
){}
2
2
1,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，
则实数m 的值为 （ ） A ．4
B ．－1
C ．4或－1
D ．1或6
8．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π
表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+
B ．2i --
C ．2i +
D ．2i -
9．已知(,)a bi a b R +∈是11i
i
+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12
-
C ．
12
D ．1
10．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．在复平面内，复数20181
2z i i
=++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）
A ．3-
B ．3
C ．3i -
D ．3i
二、填空题
13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________.
14．已知i 为虚数单位，计算：132cos sin 233i i ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+÷-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦⎝⎭_________. 15．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 16．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；
17．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 18．若复数z 满足111,arg 23
z z z z π
--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 19．已知
，则 =____．
20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.
三、解答题
21．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.
（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围.
22．（1）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程10mx n +-=的根，m 、n ∈R ，求m n +的值；
（2）已知21i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程210x mx n ++-=的一个根，m 、
n ∈R ，求m n +的值.
23．设复数z 1=1-ai （a ∈R ），复数z 2=3+4i ． （1）若12z z R +∈，求实数a 的值；
（2）若1
2
z z 是纯虚数，求|z 1|．
24．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-． （Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；
（Ⅱ）若1
2
z z 是纯虚数，求1z ．
25．（1）已知()2
32z z z i i ++=-，求复数z ；
（2）已知复数z 满足2
z z
-
为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 26．复数z 满足||1z =，且2
1
20z z z
++
<．求z ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：212(12)341255
i i i
i ++-+==∴-选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
2．B
解析：B 【分析】
复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2
221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示
(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．
【详解】
解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2
221x y -+=，
又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．
则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．
3．B
解析：B 【分析】 根据题意求出11
22
z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】
20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴=
=+-，11
22
z i ∴=-，z ∴的虚部为
1
2
-.故选:B. 【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.
4．B
解析：B 【分析】
先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．C
解析：C 【分析】
利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i
z i
+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】
()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22
a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，
1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩
，即1a =，故选C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
6．B
解析：B
【分析】
由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈
，
∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
7．B
解析：B 【分析】
根据交集的定义可得(
)(
)
2
2
31563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】
因为(
)(
){}
2
2
1,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，
所以(
)(
)
2
2
31563m m m m i --+--=，
可得22
313
1560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.
8．A
解析：A 【分析】
根据欧拉公式求出2cos sin
2
2
i
z e i i ππ
π
==+=，再计算(12)z i +的值.
【详解】 ∵2cos
sin
2
2
i
z e i i ππ
π
==+=，
∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】
此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
先利用复数的除法运算法则求出11i
i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】
()()21(1)21112
i i i
i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
11．C
解析：C 【解析】
因为201812z i i =
++()()22231122555i i i i i i --=+=-=--+- ，复数201812z i i =++对应的点的坐标为31,55⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，故复数201812z i i =++对应的点位于第三象限,故选C. 12．B
解析：B 【分析】
由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为
(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.
【详解】
由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.
二、填空题
13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值
解析：1 【分析】
复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出． 【详解】 解：
复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．
则|2||cos (sin 2)|1z i i θθ-=+-，当且仅当sin 1θ=时
取等号． 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题
解析：144
-+
【分析】
先把
12+转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.
【详解】 解：原式cos
sin
2cos sin 3
333i i π
πππ⎡
⎤⎛
⎫⎛
⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1344
i =-+.
故答案为：134i -+. 【点睛】
本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，属于基础题.
15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】 解析：6
【分析】
根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】
设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：
因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221
cos 1224
OZ Z +-∠==⨯⨯，
又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131
cos cos 4
Z OZ OZ Z ∠=-∠=-
， 所以2
22
211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，
所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】
结论点睛：复数的几何意义：
（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .
16．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点
解析：1]
【分析】
利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围. 【详解】
因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；
z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，
11=，所以z i +的取值范围是1].
故答案为：1]-. 【点睛】
结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，
z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.
17．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题
解析：－1 【分析】
利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】
()()2
12122i i i z i i i
+-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题
解析：313
i +
【分析】
先写出1
z z
-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】
设
01z z z -=，则001,arg 23
z z π
==， ∴0113
cos sin 23344
z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=， ∴
1134z i z -=+，解得31z i =+. 故答案为：3
1i +. 【点睛】
本题考查复数三角形式的定义，属基础题.
19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）
解析：-2-3i 【解析】
分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得，
故答案为-2-3i
点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了.
20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i
解析：3i 【解析】 设z=a+bi(a,b ∈R), 因为|z|=3,所以a 2+b 2=9. 又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,
所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩
又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.
三、解答题
21．（1）23a =
，(0,1)-；（2）2(,)3
+∞. 【分析】
（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.
【详解】
解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=-- （1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23
a =
， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-， 所以z 为纯虚数时实数23
a =
，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限， 则23010
a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2
(,)3+∞.
【点睛】
本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.
22．（1）1；（2）8.
【分析】
（1）将21x i =-代入方程10mx n +-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值； （2）解法一：将21x i =-代入方程210x mx n ++-=，将等式左边的复数化为一般形式， 利用复数的虚部和实部均为零得出关于m 、n 的方程组，解出这两个未知数，即可求出m n +的值；
解法二：由题意可知，关于x 的二次方程210x mx n ++-=的两根分别为21i -和21i --，利用韦达定理可求出m 、n 的值，由此可计算出m n +的值.
【详解】
（1）由已知得()2110m i n -+-=，()120n m mi ∴--+=，
1020n m m --=⎧∴⎨=⎩，解得10n m =⎧⎨=⎩
，1m n ∴+=； （2）解法一：由已知得()()2
212110i m i n -+-+-=，()()4240n m m i ∴--+-=， 40240n m m --=⎧∴⎨-=⎩，62n m =⎧∴⎨=⎩
，8m n ∴+=；
解法二：21i -是实系数方程21=0x mx n ++-的根，–12i ∴-也是此方程的根，
因此()()()()121212121i i m i i n ⎧-++--=-⎪⎨-+--=-⎪⎩
，解得26m n =⎧⎨=⎩，8m n ∴+=. 【点睛】
本题考查虚根与方程之间的关系求参数，一般将虚根代入方程，利用虚数相等列方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
23．（1）a =4（2）
54 【分析】
（1）由已知利用复数代数形式的加减化简，再由虚部为0求得a 值；
（2）利用复数代数形式的乘除运算化简
12z z ,由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由复数模的计算公式求|z 1|.
【详解】
解：（1）∵z 1=1-ai （a ∈R ），z 2=3+4i ，
∴z 1+z 2=4+（4-a ）i ，
由12z z R +∈，得4-a =0，即a =4；
（2）由12z z =()()()()134134343434342525
ai i ai a a i i i i ----+==-++-是纯虚数， 得{340340a a -=+≠，即34a =
， ∴|z 1|=|314i -
54
=． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是中档题．
24．（Ⅰ）22＋4i （Ⅱ）152z =
【分析】
（Ⅰ）利用复数z 1＋z 2是实数，求得a ＝4，之后应用复数乘法运算法则即可得出结果； （Ⅱ）利用复数的除法运算法则，求得
12
z z ，利用复数是纯虚数的条件求得a 的值，之后应用复数模的公式求得结果
【详解】
（Ⅰ）∵z 1＋z 2＝5＋（a －4）i 是实数，
∴a ＝4，z 1＝2＋4i ，
∴z 1z 2＝（2＋4i ）（3－4i ）＝22＋4i ；
（Ⅱ）∵()()12643823425
a a i z ai z i -+++==-是纯虚数， ∴133,222
a z i ==+，
故152
z =
=． 【点睛】 该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数是实数的条件，复数的乘法运算法则，复数的除法运算，复数的模，属于简单题目.
25．（1
）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.
【分析】
（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；
（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z
-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .
【详解】
（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，
根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩
，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩
1z =-； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈， 则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭
， 由题意可得2220a a a b -
=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=
1=，
所以有()()
()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.
【点睛】
本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
26．1z =-或12z =-
± 【分析】
由题意可知设复数cos sin z i αα=+,计算出2z ,2z ,1z ,代入2120z z z
++<中可得cos 23cos 02sin cos sin 0
ααααα+<⎧⎨+=⎩可求得复数z . 【详解】
由题意可知：cos sin z i αα=+,则
222cos sin 2sin cos z i αααα=-+,22cos 2sin z i αα=+,1cos sin i z
αα=-, ∴212(cos23cos )(2sin cos sin )0z z i z
ααααα++=+++<, ∴cos 23cos 02sin cos sin 0ααααα+<⎧⎨+=⎩,即()cos 23cos 0sin 2cos 10αααα+<⎧⎨+=⎩
， 若sin 0α=，则cos21α=，由cos23cos 0αα+<得cos 1α=-，所以1z =-，
若1cos 2α=-，则1cos 2cos 23cos 02ααα=-+<，，得122
z =-±，
∴1z =-或122z =-
±. 【点睛】
本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.。