广东高考数学文科猜题卷答案

开 始
i=1
, S =0
S =S +
i
1
输出S 结 束
否
是 第3题图
i ≤2013
2015年广东高考数学文科猜题卷答案（20150531）
数 学
本试卷共21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 满足3
i 13i z ⋅=-⋅ （i 为虚数单位），则z 的共轭复数．．．．是（ ） A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i - 【本题评价】直接考察复数基本概念。

【解析】()3
13i
13i i =3+i i z -=
=-．故选D ． 2．已知函数()1f x x
=
-的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ． 则M N ⋂=（ ）
A ．{x |x>-1}
B ．{x|x ＜1}
C ．{x|-1＜x ＜1}
D ．∅ 【本题评价】直接考察集合的基础知识与基本初等函数的定义域。

【解析】{}
1M x x =<，{}
1N x x =>-．故选C ． 3．如图给出的是计算111
1352013
+
+++
L 的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ） A ．1i i =- B ．1i i =+ C ．2i i =- D ．2i i =+
【本题评价】本题主要考查程序框图的知识，根据框图的流程运行的结果确定空白执行框内容。

【解析】因为分母为1，3，5，7，9，…，2013，所以应填入2i i =+．故选D ．
4．若变量x y ，满足24023000x y x y x y ⎧+⎪
-+⎪⎨⎪⎪⎩
，，
，，≤≤≥≥则3z x y =-+的最大值是（ ）
A ．90
B ．80
C ．50
D ．40
【本题评价】本题考查线性规划知识（本知识点高考出现的概率较大），也考查了数形结合的解题思想方法． 【解析】画出可行域（如图），在(10,20)B 点取最大值max 1032050z =-+⨯=．答案： C ．
5．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，22S =，则4S = （ ） A ．2
B ．6
C ．16
D ．20
【本题评价】本题考察等比数列及其前n 项和为n S 的基础知识。

2
2
2
4
2
2
俯视图
侧视图
正视图
【解析】
2
2
1
(1)
22133
1
q
S q q
q
-
==⇒+=⇒=
-
，
42
2
4
11
(1)(1)
22(1)21020
11
q q
S q
q q
--
==⋅+=⨯=
--
．故选D ．6．已知椭圆()
22
2
10
9
x y
a
a
+=>与双曲线
22
1
43
x y
-=有相同的焦点, 则a的值为（）
A．2B．10C．4D．10
【本题评价】本题考察椭圆、双曲线的几何性质等知识点。

【解析】．故选C．
7．已知某四棱锥的三视图，如右图。

则此四棱锥的体积为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【本题评价】本题考察三视图基础知识与棱锥体积公式（广东高考数学必考知识点）。

【解析】如图，四棱锥A BCDE
-．
E B
D
A
C
1
624
3
V=⨯⨯=．故选B．
8．如图是张大爷晨练时所走的离家距离()y与行走的时间()x之间的函数关系图，若用M点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（）
【本题评价】本题考察函数与其图像关系。

【解析】如图，第一段距离增加，第二段距离不变，显然只有D满足。

故选D．
9．曲线33
y x ax
=++在点（1，m）处的切线方程为2
y x n
=+，则a等于（a m n
，，为常数）（）A．2-B．1-C．1 D．2
【本题评价】本题考察导数概念及几何意义，考察切线方程求法。

【解析】22
32311
y x a a a
'=+⇒=⨯+⇒=-．故选B．
10．设向量)
,
(
2
1
a
a
=，)
,
(
2
1
b
b
=，定义一种向量积：)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
1
1
2
1
2
1
b
a
b
a
b
b
a
a=
⊗
=
⊗．已知向量11
(,)
m=
u r
，12
(,)
n=-
r
，点P在2
y x
=的图象上运动，点Q在()
y f x
=的图象上运动，且满足+
⊗
=
（其中O为坐标原点），则()
y f x
=在区间21
[,]
-上的最大值是（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【本题评价】新定义向量类型题。

（广东高考数学必考知识点）。

【解析】点P 在2
y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动。

所以，可设211(,)P x x ，(,())Q x f x ．
则由n OP m OQ +⊗=得，
221111(,())(1,1)(,)(1,2)(1,2)x f x x x x x =⊗+-=-+，
∴12
11()2x x f x x =-⎧⎨=+⎩，即121
1()2x x x f x =+⎧⎨=-⎩， 又∴2
()2(1)f x x -=+，即2
()23y f x x x ==++，
∵x ∈21[,]-，∴1x =时有，()max ()(1)6f x f ==．故选D ．
二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分） （一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）
11．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) 【本题评价】本题考察古典概型等基础知识。

【解析】①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个； ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51
459
=．答案：19．
12．已知()2sin(
)(||)3
2
f x x π
π
ϕϕ=+<
，若1x =是它一条对称轴，则 ϕ= ．
【本题评价】本题考察三角函数图像的性质。

【解析】由已知得
3
2
x k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，，由1x =代入得6
k k Z π
ϕπ=+
∈，，
又||2πϕ<，所以6πϕ=．答案：6
π．
13．若1
2
3
22()log (1) 2.，
，，x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则((2))f f 的值为 ． 【本题评价】本题考察分段函数、复合函数，指数、对数函数，函数的单调性等知识点。

【解析】11
((2))(1)22f f f e
-==⨯=．答案：2．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）直线l ：2x t
y t
=-+⎧⎨
=⎩（t 为参数）与以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系下的曲线
C ：2ρ=图像相交所得弦长为 ．
【本题评价】1．参数方程与普通方程的互化；2．普通方程与极坐标方程的互化．
【解析】试题分析：曲线C ：2x t
y t =-+⎧⎨
=⎩
（t 为参数）的直角坐标方程为20x y -+= ，2ρ=在此直角坐标系下
方程为：2
2
4x y +=，易得弦长为22．答案：22．
15．（几何证明选讲选做题）如图2，在Rt ABC ∆中，斜边12AB =，直角边6AC =， 如果以C 为圆心的圆与AB 相切于D ，则⊙C 的半径长为 ． 【本题评价】本题考查解直角三角形、圆切线的性质。

【解析】连C D ，则0
30B DCA ∠=∠=，在Rt ADC ∆中，sin CD AC DAC =∠,
3
633CD =⨯
=．答案：33． 三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数231
()sin 2cos 2
f x x x x R =
--∈，． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且3c =
，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的值。

【本题评价】本题考查倍角公式、和（差）角公式、简单已知值求角及正弦定理、余弦定理应用。

【解析】（1）31cos 21()sin 2sin(2)1226
x f x x x π
+=--=--，…………3分
则()f x 的最小值是2-， 最小正周期是22
T π
π==；…………6分 （2）()sin(2)106
f C C π
=-
-=，则sin(2)106
C π
-
-=，…………7分 0C π<<,022C π<<,所以1126
6
6
C π
π
π
-
<-
<， 所以262C π
π
-
=
，3
C π
=
，…………9分
因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a =，……①…………10分
由余弦定理得2
2
2
2cos
3
c a b ab π
=+-，即222
3c a b ab =+-=……②…………11分
由①②解得：1a =，2b =．…………12分 17．（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
[)40,50，[)50,60，L ，[]90,100后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数a 的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率． 【本题评价】本题考查直方图、概率。

【解析】（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1
所以10(0.0050.010.02⨯++0.0250.01)1a +++=………………………………1分
解得0.03a =………………………………………………………………………2分 （2）成绩不低于60分的频率为110(0.0050.01)-⨯+0.85=……3分
由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为6400.85544⨯=人……………………………5分
（3）成绩在[)40,50分数段内的人数为400.052⨯=人，分别记为A ，B ………6分 成绩在[]90,100分数段内的人数为400.14⨯=人，分别记为C ，D ，E ，F ……7分
若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：(),A B ，
(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),A F ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),B F ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共15种………9分
如果两名学生的数学成绩都在[)40,50分数段内或都在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[)40,50分数段内，另一个成绩在[]90,100分数段内，那么这两名学生的数学成
绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：(),A B ，(),C D ，(),C E ，(),C F ，(),D E ，(),D F ，(),E F 共7种………11分 所以所求概率为()7
15
P M =
………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，ABC ∆是边长为2的正三角形，2AE AE =⊥，平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD=CD ，且BD CD ⊥． （1）求证：AC ∥平面BDE ； （2）求三棱锥D CBE -的体积。

【本题评价】本题考查线面平行的推理棱锥体积大小求法。

本题用空间向量解亦可。

贴合广东高考文科立体几何命题要求。

【解析】（1）分别取BC BA BE ，， 的中点M N P ，，,连接
DM MN NP DP ，，，,则MN ∥AC ,NP ∥AE ,且1
=12
NP AE =，
因为BD CD =，2BC =,M 为BC 的中点， 所以DM BC ⊥,1DM =， 又因为平面BCD ⊥平面ABC ，
所以DM ⊥平面ABC ．……………3分
取分别AB ，EB 的N 、P ,连接MN 、NP 、DP ，
又AE ⊥平面ABC ,所以DM ∥AE ， AE ∥NP ，1
2
NP AE =.
所以DM ∥NP ，且DM NP =,因此四边形DMNP 为平行四边形，………5分 所以MN ∥DP ，所以AC ∥DP ，又AC ⊄平面BDE ，DP ⊂平面BDE ， 所以AC ∥平面BDE ．……………………7分
（2）三棱锥D CBE -的体积=三棱锥E DBC -的体积， AM CD ⊥，平面BCD ⊥平面ABC ， AM ⊥平面ABC ．
三棱锥E DBC -的高为：3AM =
9分
11
22222
BCD S BC DM =⨯⨯=⨯⨯=△．……………………11分
所以E CBD 123
2333
V =
⨯=三棱锥-．……………………14分 B
E
D C A
P
N
19．（本小题满分14分）数列{n a }的前n 项和为n S ，213
1(*)22
n n S a n n n N +=--+∈． （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；
（3）若12n n n c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2
2015211i i i i i
c c P c c =++=+∑．求不超过P 的最大整数的值。

【本题评价】本题考查递推式变形、等比数列、错位求和、裂项求和等知识点，难易度把握恰当，符合广东省高考数学数列题命题要求。

【解析】(1) 因为213122
n n a S n n +=--+，
所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则112
a =-，………………………………1分
② 当2n ≥时，21113(1)(1)122
n n a S n n --+=----+，……………………2分
所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，
所以11(2)2n n b b n -=≥，而111
12
b a =+=，……………………4分
所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭．……………5分
（2）由(1)得2
n n n
nb =．
所以 ①n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=
-， ②12322
21..........24232212--+-+++++=n n n n
n T ，……………7分
②-①得：n n n n
T 221......2121112-++++=-，……………8分
n n n n n n T 22222
11211+-=--⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=
．………………10分
（3）由(1)知12n n a n ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
n c n =∴………………11分
22
1n n n n
c c c c ++∴+(1)1111
11(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++，………13分 所以22015
2
11i i i i i
c c P c c =++=+∑111111111
(1)(1)(1)(1)2015122334201420152015=+-++-++-+++-=-L ， 故不超过P 的最大整数为2014．……………………………………………14分
20．（本小题满分14分）如图，抛物线G :220()y px p =>上一点24()A ，
． （1）求抛物线G 的方程；
（2）设过点A 与x 轴垂直的直线为0l ，过点A 作一直线1l 与G 交于B 点，2l 是1l 关于0l 对称的直线，2l 与抛物线G 交于C 点．
①当1l 绕A 点转动时，试求线段BC 中点M 的轨迹方程；
②点D 是△ABC 的内心，当直线为1l 的斜率2k =时，求△ABC 的 内切圆⊙D 标准方程。

【本题评价】本题考查圆、圆的切线、三角形的内切圆、抛物线、二次方程、点到直线的距离等知识，有一定难度，是是否数学优等生的门槛，符合广东省高考数学解析几何题命题要求。

【解析】（1）由24()A ，
代入220()y px p =>得：4p =． 抛物线C 的方程2
80y x p =>()．……………2分 （2）①设1l 的方程：2(4)x y λ-=-(0)λ≠，
则2l 的方程：2(4)x y λ-=--(0)λ≠，……………4分
由22(4)8x y y x λ-=-⎧⎨=⎩，， 得2
883216y x y λλ==--， 即2
832160y y λλ-++=， ……………6分
所以 48B y λ+=，84B y λ=-，2
882B x λλ=-+．……………7分 同理 48C y λ+=-，84C y λ=--，2
882C x λλ=++．
所以42B C M y y y +=
=-．28222
B C M x x
x λ+==+>． 所以M 轨迹方程：4y =-（2x >）．……………9分 ②直线为BC 的斜率16116B C BC B C y y k x x λ
λ
-=
==---，……………11分
当直线为1l 的斜率2k =，则12λ=
，221
828()2422
B
C M x x x λ+==+=+=， 线为BC 的方程4(4)y x +=--，即0x y +=． 线为1l 的方程为20x y -=，……………12分
又D 在0l 上，可设(2)D t ，
， 由内切圆半径425
2
t t r -+=
=
2106t =，……………13分
22106
2104
225222
2
2
t r +--+=
=
=
=．
△ABC 的 内切圆⊙D 标准方程：22222106252()[()][)]x y -+-=……………14分
21．（本小题满分14分）设函数()()2
1x
f x x e kx =--（其中k ∈R ）．
（1） 当1k =时,求函数()f x 的单调区间和极值；
（2） 证明：当[)0+k ∈∞，时，函数()f x 在R 上有且只有一个零点．
【本题评价】本题考查导数及其应用（求单调区间、证明函数不等式）为背景，第一、二问主要包含二次函数、方程、不等式的探究。

第一问能动笔的同学多，但分析、运算无错误的很少；第二问难度较大，符合广东省高考数学压轴题的命题要求。

【解析】（1）当k=1时, 2
()(1)x
f x x e x =--,
'()(1)2(2)x x x f x e x e x x e =+--=-.……………1分
当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
由表可知, f(x)的增区间(-∞,0), (ln2, +∞), 减区间为(0, ln2). 极大值为-1, 极小值为
2ln 22ln 22-+-.……………6分
（2）'()(1)22(2)x
x
x
x
f x e x e kx xe kx x e k =+--=-=-.
当x<1时, f(x)<0, 所以f(x)在(-∞,1) 上无零点, 故只需证明f(x)在[1, +∞)上有且只有一个零点.，若[0,]2
e
k ∈, 当x ≥1时, '()0f x ≥, f(x)在[1,+∞)上单调递增,
22(0)10,(2)420f f e k e e =-<=-≥->,
所以f(x)在[1,+∞)上有且只有一个零点. ……………9分
若(,)2
e k ∈+∞, 则()[1,ln 2),(ln 2,)
f x k k +∞在上单调减在上单调增, f(1)=-k<0, 1
212(1)(1)[(1)]k k f k ke
k k k e k +++=-+=-+.
令2
(),12t
g t e t t k =-=+>,
'()2,''()2,
2,''()0,'()[2,)t t g t e t g t e t g t g t =-=->∴>+∞Q 在上单增,
……………12分
2'()'(2)40,()[2,).g t g e g t ∴>=->∴+∞在上单增 2()(2)40,(1)0g t g e f k >=->∴+>.
所以f(x)在[1,+∞)上有且只有一个零点.
综上得:f(x)在R 上有且只有一个零点。

……………14分
增 增
减。