2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)样卷(六)(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）样卷（六）
一、单选题
1．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （ ）
A ．{－1}
B ．{0,1,2,3}
C ．{1,2,3}
D ．{0,1,2}
【答案】B
【解析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】
{}{}
{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或
故(){}{}
{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】
本题考查集合的综合运算，属基础题. 2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足1
z 2i 1i
-=- ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ）
A ．
132
B ．
2
C ．
2
D ．
52
【答案】B
【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标，则答案可求． 【详解】 由1
21z i i
-=
-，得1115221(1)(1)22i z i i i i i i +=+=+=+--+，
∴复数z 在复平面内的点的坐标为15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2
=． 故选B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3．已知直角坐标系中点()0,1A ，向量()4,3AB =--，()7,4BC =--，则点C 的坐标为（ ）
A ．()11,8
B ．()3,2
C ．()11,6--
D ．()3,0-
【答案】C 【解析】【详解】
∵向量()4,3AB =--，()7,4BC =--， ∴()117AC AB BC =+=--，，又()0,1A ∴()116OC OA AC =+=--，
∴点C 的坐标为()11
6，-- 故选C
4．设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的右焦点，(0)B b ，
，若直线FB 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（ ）
A ．
B ．
1
2
C 1
D ．
1
2
【答案】B
【解析】由题意得(),0F c ，FB b
k c
=-，∵直线FB 与C 的一条渐近线垂直，∴渐近线的斜率为
c b ，即2
b c b ac a b
=⇒=，∴22210c a ac e e -=⇒--=，结合1e >得
e =
B. 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a ，成等差数列，则4S 的值是 A ．-81 B ．-80
C ．-64
D ．-63
【答案】B
【解析】由题意首先确定数列{}n a 为等比数列，然后结合等比数列前n 项和公式可得4S 的值. 【详解】
据题意得223n n S a =+ ，
当1n =时，11223S a =+，所以12a =-；
当2n ≥时，由223n n S a =+可得11223n n S a --=+，
两式相减得1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=，即
()
1
32n
n a n a -=≥． 所以数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列， 所以()()4414121380113
a q S q
---==
=---，选B ．
【点睛】
本题主要考查由递推关系确定数列的性质，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知()2019
20182020201921f x x
x x =++
++，如图的程序框图设计的
是求()0f x 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）.
A ．n i =
B ．2020n i =-
C ．1n i =+
D ．2021n i =-
【答案】B
【解析】直接根据程序框图表示的意义得到答案. 【详解】
由题意，n 的值为多项式的系数，2020，2019，…，1， 由程序框图可知，M 处应该填入2020n i =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 7．设2
1,0
()1,0
x x f x x x +≥⎧=⎨
--<⎩，0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ） A ．()()()f a f b f c >>
B ．()()()f b f a f c >>
C ．()()()f c f a f b >>
D ．()()()f c f b f a >>
【答案】A
【解析】根据,,a b c 的正负，计算出()()(),,f a f b f c 的值，由此比较出三者的大小. 【详解】
由于0,0,0a b c >><，故()12
0.5100.71127f a -⎛⎫=+=+> ⎪
⎝⎭
，
()0.5log 0.71f b =+0.50.5log 0.35log 0.252=<=，故()()0f a f b >>，而
210x --<，故()0f c <，所以()()()f a f b f c >>，故选A.
【点睛】
本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查分段函数的概念与性质，属于中档题. 8．某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）. A ．444种 B ．1776种 C ．1440种 D ．1560种
【答案】B
【解析】先在生、史、地、政中四选一，然后按照语文、外语排课进行分类讨论，由此求得所有的安排方法总数. 【详解】
理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，
所以只需在生、史、地、政中四选一，有1
4C 4=（种）.
对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有114
244192C C A =（种）； 第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科
中选择，有1
33C =（种），
语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，
也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有1
4C 4=（种），
其他三科可以全排列，有()1
2
3
32334252C A A +=（种）.
综上，共有()41922521776⨯+=（种）. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查生活中排列、组合的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 9．已知函数()2sin()(0)6
f x x π
ωω=+
>的图象与函数()cos(2)()2
g x x π
φφ=+<
的
图象的对称中心完全相同，则φ为（ ） A ．
6
π
B ．6
π-
C ．
3
π D ．3
π-
【答案】D 【解析】【详解】
解：若()f x 与()g x 的对称中心相同，则函数的周期相同即
222
π
π
ω
=
，则2ω=， 即()2sin(2)6
f x x π=+ 由26
x k π
π+
=，即212
k x ππ=
-，即()f x 的对称中心为(212k ππ
-，0)
即()g x 的对称中心为(212
k ππ
-，0)， 则(
)cos(2())cos()cos()021221266
k k g k ππππππϕπϕϕ-=⨯-+=-+=±-=， 即6
2
k π
π
ϕπ-
=+
，
则23
k π
ϕπ=+
，k Z ∈ 当1k =-，233
ππϕπ=-+=-， 故选：D ．
10．已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）
=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +的取值范围是（ ）
A ．[﹣2，2]
B ．[
C ．[
D ．[-
【答案】B
【解析】∵函数22
()cos sin ,1f x ax b x c x b c =+++=，
∴()cos sin sin()f x a c x b x a x ϕ=-'+=--，其中tan c b
ϕ=
，
则()[1,1]f x a a -+'∈，若存在两条互相垂直的直线与函数()cos sin f x ax b x c x =++的图象都相切，则存在12,[1,1]k k a a ∈-+，使121k k =-，由
2(1)(1)11a a a -+=-≥-，得0a =，
则)a ϕθ++=
+=+，其中tan θ=
故[a +∈；故选B ．
点睛：求有关三角函数的最值或值域问题，主要有以下题型：
①化为sin()y A x k ωϕ=++型：一般是利用二倍角公式、两角和差公式、配角公式进行恒等变形成sin()y A x k ωϕ=++，再利用三角函数的单调性进行求解；
②形如“2sin sin y a x b x c =++”，一般是利用换元思想（令sin t x =），再利用二次函数的性质进行求解.
11．设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积为（ ）
A ．
4
B ．
8
C ．
6332
D ．
94
【答案】D
【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3
)4
y x =
-，代入抛物线的方程可得：
2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为
13
24
⨯94，故选D.
【考点】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
12．已知函数())
2020
2020log 20201x
x f x x -=+-+，则关于x 的不等式
()()21120f x f x +++->的解集为（ ）.
A ．1,2020⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B ．()2020,-+∞
C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
D ．2,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
【答案】C
【解析】构造函数()()1F x f x =-，判断出()F x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式()()21120f x f x +++->，进而求得不等式的解集. 【详解】
构造函数()(
))
2020
12020log 2020x
x F x f x x -=-=+-，
x >
=
0x >，所以()F x 的定义域为R .
(
))
20202020log 2020x x F x x --=+-
20202020log 2020x x x
x -⎡
⎤
=+-
20202020log 2020x x -⎡⎤=
+- )
()2020
2020log 2020x x x F x -=--=-，
所以()F x 为奇函数， ()
00F =.
当0x >时，)
20202020,2020,log x
x
y y y x -==-=都为增函数，
所以当0x >时，()F x 递增， 所以()F x 在R 上为增函数. 由()()21120f x f x +++->得
()()211110f x f x +-++->，
即()()2110F x F x +++>， 所以2110x x +++>，解得23
x >-
. 所以不等式的解集为2,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
二、填空题
13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且1111,n n n a a S S ++==-，则使22110n
n
nS S +取得最大值
时n 的值为 _____________ . 【答案】3
【解析】试题分析：a 1=1，a n+1=﹣S n S n+1，可得S n+1﹣S n =﹣S n S n+1，
1111n n
S S +-= ．利用等差数列的通项公式即可得出S n =
1
n
，代入2
2
22
21111010110n n n nS n n S n n
⨯
==+++⨯ 利用基本不等式的性质即可得出． 详解：
∵a 1=1，a n+1=﹣S n S n+1， ∴S n+1﹣S n =﹣S n S n+1，∴
1111n n
S S +-=． ∴1n
S =1+﹣（n ﹣1）=n ， ∴S n =
1n
，
则使2
2
2221111011010110n n n nS n n S n n n n ⨯
===≤=+++⨯+等号不成立．
经过验证：则使2
2110n
n
nS S +取得最大值时n 的值为3．
故答案为：3．
点睛：本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

14．已知函数()|ln |f x x =，20,01
()42,1
x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程
()()f x m g x +=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围为______________.
【答案】(2ln2,0]--
【解析】()()f x m g x +=可变形为()()m g x f x =-，设()()()h x g x f x =-，利用导数求出()h x 的单调性，求出端点值和单调性变化时的函数值，即可得到m 的取值范围. 【详解】
()()f x m g x +=可变形为()()m g x f x =-，设()()()h x g x f x =-，
则由题意可知直线y m =与曲线()h x 有三个不同的交点，
易知2
2ln ,01
()2ln ,12ln 6,2x x h x x x x x x x <≤⎧⎪=--<<⎨⎪--≥⎩
，
当12x <<时，()2h x x =-'-1
0x
<恒成立，所以函数()h x 在(1,2)上单调递减， 当2x ≥时，1
()20h x x x
'=-
>恒成立，所以函数()h x 在[2,)+∞上单调递增， 当1x =时，ln10=，22ln 1x x --=，
当2x =时，22ln 2ln2x x --=--，2ln 62ln2x x --=--，
当3x =时，2ln 63ln30x x --=->，画出函数()h x 的大致图象如图所示， 易知2ln20m --<≤，故实数m 的取值范围为(2ln2,0]--.
【点睛】
本题主要考查求零点个数和利用导数研究函数的单调性，考查学生数形结合的能力，属于中档题.
15．如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩
较为稳定的那位运动员成绩的方差为__________．
【答案】2 【解析】11
(8789909193)90,(8889909192)9055
x x 甲乙=++++==++++=，所以2
222221(8790)(8990)(9090)(9190)(9390)45s ⎡⎤=
-+-+-+-+-=⎣
⎦甲，222222
1(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)25
s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，所以成绩教稳定的是乙运动员，成绩的方差为2.
16．如图，在矩形ABCD （图（1））中，6AB =，2AD =，点M ，N 分别在AB ，
CD 上，且2AM DN ==，以MN 为折痕，把四边形AMND 折起后与平面MBCN 垂
直（图（2）），则几何体AMBCDN 的外接球的表面积等于______.
【答案】24π
【解析】找到外接球球心的位置，计算出外接球的半径 【详解】
依题意可知：四边形AMND 是边长为2的正方形，四边形MBNC 是长为4，宽为2的矩形.
依题意可知：平面AMND ⊥平面MBCN .
设正方形AMND 、矩形MBNC 的对角线交点分别为12,O O ，
过1O 作1OO ⊥平面AMND ，过2O 作2OO ⊥平面MBCN ，12OO OO O ⋂=， 则O 是几何体外接球球心.
设Q 是线段MN 中点，连接1O Q ，2O Q ,则12O QO O 为矩形，
1121
//,12
O Q DN O Q DN OO ===， 22211
522
O B NB NC BC =
=+=
所以几何体外接球的半径2
222156R OO O B =+=+=.
所以几何体外接球的表面积等于244624R πππ=⨯=. 故答案为：24π
【点睛】
本小题主要考查几何体外接球的有关计算，考查空间想象能力，属于中档题.
三、解答题 17．（12分）
在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为5,,,cos cos 3a b c c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
. （1）求cos B 的值； （2）若17
2,cos 17
a C ABC ==-
∆的外接圆的半径R. 【答案】（1）
3
5
. （2517
【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将5cos cos 3
c a B b A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
边化角，再根据三角
恒等变换，即可求得cos B 的值；（2）由17
cos C =，可求出sin C ，进而求得sin A ，再根据2sin a
R A
=
，即可求得ABC ∆的外接圆的半径R . 试题解析：(1)∵5()cos cos 3
c a B b A -= ∴5(sin sin )cos sin cos 3
c C A B B A -=
∴5sin cos sin()sin 3
C B A B C =+= 又0C π<< ∴sin 0C ≠ ∴3cos 5
B =
. (2)由（1）得4sin 5
B =
.
∵cos C =
∴sin 17
C =
∴43sin sin()(517517A B C =+=
⨯-+
⨯=
.
∴112sin 28a R A =⨯==.
18．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；
（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(I)
80
243
. (II) 见解析. 【解析】试题分析：(1) 设X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X ～
153
B （，），可求5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率.
(2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n . 并且有()103P ξ==
，()212
1339
P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，
……， ()1
21133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭
，
()23n
P n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 可
得ξ的分布列及ξ的数学期望，再由错位相减法求解即可.
试题解析：(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为
1
3
，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153
B （，）， 所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率32
25218033243P C ＝＝⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
. (2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .
()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()2
21
233
P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……， ()1
21133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪
⎝⎭
， ()23n
P n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭
. 所以ξ的分布列为：
ξ的数学期望为：
()2
3
1
212121
2121231333333
333n n
E n n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+
+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
， (1)
()()23
1
1
22121
21212122133333
33333n n n E n n n ξ-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
. (2)
(1)－(2)得：
()23
1
1
1212121
21221213333333
333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
23
1
1212121
21213333333
3333
n n
E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭，
23
1
2222233333n
n
E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++
++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
22133213
n
⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
- 2213n ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
所以2223n
E ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭
.
点睛：数学期望，方差是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平和离散程度.求解离散型随机变量的分布列、数学期望，方差时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望和方差.
19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点.
（I ）若E 为1AB 上的一点，且DE 与直线CD 垂直，求
1
1
EB AB 的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，设异面直线1AB 与CD 所成的角为45°，求直线DE 与平面
11AB C 成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见证明；25
【解析】（Ⅰ）取AB 中点M ,连接CM MD ，，证明DE CMD ⊥ ，即可说明
1DE AB ⊥，由底面为正方形，可求得
EB AB =111
4
; （Ⅱ）以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面11AB C 的法向量为n ，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解． 【详解】
（Ⅰ）证明：取AB 中点M ,连接CM MD ，,有//MD AB 1
,
因为AC BC =，所以CM AB ⊥, 又因为三棱柱111ABC A B C =为直三棱柱， 所以ABC ABB A ⊥11平面平面, 又因为=ABC
ABB A AB 11平面平面,
所以CM ABB A ⊥11平面， 又因为11DE ABB A ⊂平面 所以CM DE ⊥ 又因为,DE CD CD
MD D ⊥=,CD ⊂平面CMD ,CM ⊂平面CMD ,
所以DE CMD ⊥平面，又因为MD ⊂平面CMD , 所以DE MD ⊥, 因为//MD AB 1， 所以1DE AB ⊥,
连接1A B ,设11A B AB O ⋂=，因为11ABB A 为正方形，
所以11A B AB ⊥,又因为,,DE AA B B A B AA B B ⊂⊂平面平面11111 所以1//DE A B , 又因为D 为1BB 的中点， 所以E 为1OB 的中点,
所以
EB AB =111
4
.
（Ⅱ）
如图以M 为坐标原点，分别以,,MA MO MC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
设2AB a =,由（Ⅰ）可知CDM ∠=45， 所以AB a =122， 所以DM CM a ==2,
所以(,,),(,,),(,),(,,),(,,)A a B a a C a a D a a E a a ---111300*********
, 所以(,,),(,,),(,,)AB a a B C a a DE a a =-==1111122002022
， 设平面11AB C 的法向量为()x,y,z =n ，
则1110,0
AB n B C n ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩即220
,20x y x z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 则n 的一组解为(2,2,1)n =-．
所以
cos ,DE DE DE →
⋅=
=
=
⨯225
52
52
n n n
所以直线DE 与平面11AB C 25
. 【点睛】
本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
20．已知椭圆2
2:15
x C y +=的右焦点为F ，
原点为O ，椭圆C 的动弦AB 过焦点F 且不垂直于坐标轴，弦AB 的中点为N ，过F 且垂直于线段AB 的直线交射线ON 于点
M ．
（1）证明：点M 在定直线上；
（2）当OMF ∠最大时，求MAB ∆的面积．
【答案】(1)证明见解析；330
. 【解析】试题分析：（1）设AB 所在直线为()2y k x =-，联立方程组，得到
1212,x x x x +，进而得到,ON FM 所在直线方程，再联立方程组，即可得到顶点M 的
坐标．
（2）由（1）得点M 的坐标为5
1,22k ⎛⎫-
⎪⎝⎭
，求得向量则,MF MO ，利用向量的夹角公式，求解cos OMF ∠的最小值，得到此时12121
2,2
x x x x +==-，求得,AB FM ，即可求得三角形的面积． 试题解析：
（1）显然椭圆2
2:15
x C y +=的右焦点F 的坐标为()2,0，
设AB 所在直线为：()()20y k x k =-≠，且()()1122,,,A x y B x y ．
联立方程组：()22
215y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
，得：()()2222
51202050k x k x k +-+-=； 其中2212122220205
,5151
k k x x x x k k -+==
++， 点N 的坐标为22
2102,,5151k k ON k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
所在直线方程为：1
5y x k =-． FM 所在的直线方程为：()1
2y x k
=-
-， 联立方程组：()1215y x k
y x
k ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，得52M x =，
故点M 在定直线5
2
x =
上；
（2）由（1）得：由52M x =
得点M 的坐标为51,22k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，且()2,0F ，
则1151,,,2222MF MO k k ⎛⎫⎛⎫
=-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
， 251
·cos ·MF MO OMF MF MO
k
+∠=
=
=
11+=-2
15k =不等式取等号），
若cos OMF ∠取得最小值时，OMF ∠
最大，此时12121
2,2
x x x
x +==-
； 12
5AB x
=-=
=
； FM
===
； 12MAB S AB MF ∆=
⨯⨯=
． 点睛：本题主要考查直线过定点问题、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21．已知函数()2
1ln 2
f x x ax x =-
+，a ∈R . （1）若()10f =，求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值；
（3）若2a =-，正实数1x ，2x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明：125
e
x x +>. 【答案】（1）()1,+∞； （2）2； （3）证明见解析.
【解析】（1）利用()10f =，确定a 的值，求出到函数，从而确定函数的单调性；
（2）构造函数()()()1g x f x ax =--，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解； （3）由()()12120f x f x x x ++=，整理得()()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-，令
12t x x =，由()ln t t t ϕ=-，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】 （1）由()1102
a
f =-
=，可得2a =，所以()2ln f x x x x =-+，0x >， ()()2121
210x x f x x x x x
-++'=-+=>，
由()0f x '<，得2210x x -->，解得1x >或2
1
x <-
， 又因为0x >，所以1x >，所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞. （2）令()()()()2
11ln 112
g x f x ax x ax a x =--=-
+-+， 所以()()()2111
1ax a x g x ax a x x
-+-+'=-+-=
. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上是递增函数. 又因为()()213
1ln11112022
g a a a =-
⨯+-+=-+>， 所以关于x 的不等式()1f x ax ≤-不能恒成立.
当0a >时，()()()2
1111a x x ax a x a g x x x
⎛
⎫-+ ⎪-+-+⎝
⎭
'==-， 令()0g x '=，得1x a =
.所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>；
当1,x a ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,
x a ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
上是减函数，
故函数()g x 的最大值为()2
111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
令()1ln 2h a a a
=
-，因为()1
102h =>，()12ln 204h =-<，
又因为()h a 在()0,a ∈+∞上是减函数，
所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2. （3）当2a =-时，()2
ln x f x x x =++，0x >，
由()()12120f x f x x x ++=，得22
11122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，
从而()()()2
12121212ln x x x x x x x x +++=-， 令12t x x =，则由()ln t t t ϕ=-，得()1
t t t
ϕ-'=
， 可知，()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增， 所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()2
12121x x x x +++≥，
因此12x x +≥
成立，
5
e
>，所以125e x x +>.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 22．选修4－4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
1cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩ (t 为参数，0απ≤<)．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线:4cos C ρθ=. (1)当4
π
α
=
时，求C 与l 的交点的极坐标； (2)直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且两点对应的参数12,t t 互为相反数，求||AB 的值．
【答案】（1）(0,0)，π
)4
（2）【解析】试题分析：（1）曲线C 的直角坐标方程为2
2
40x y x +-=，直线l 的普通方程为y x =，联立解出方程组即可；（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，根据
12AB t t =-结合韦达定理可得结果.
试题解析：（1）由4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，
所以224x y x +=，即22
40x y x +-=， \当π4α=时，直线l
的参数方程1,21,2
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），化为直角坐标方程为y x =，
联立22,40,y x x y x =⎧⎨+-=⎩
解得交点为()0,0或()2,2， 化为极坐标为()0,0
，π4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
（2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得()2220t sin cos t αα+--=，
可知120t t +=，122t t ⋅=-， 所以
12AB t t =-==
23．设函数()2121f x x x =-++.
（1）若存在0x R ∈，使得()2
05f x m m +≤-，求实数m 的取值范围； （2）若m 是（1）中的最大值，且正数a ，b 满足a b m +=，证明：221a b b a
+≥. 【答案】(1) 21m -≤≤.(2)见解析.
【解析】(1)先求出f(x)的最小值为3，再解不等式235m m +≤-得解；（2）利用基本
不等式证明22
a b a b b a
+++≥2a+2b,又因为a+b=1,不等式即得证. 【详解】
（1）∵()|21|2|1|212(1)3f x x x x x =-++≥--+=，
∵存在0x R ∈，使得()2
05f x m m +≤-，∴235m m +≤-，∴21m -≤≤. （2）由（1）知：m 的最大值为1，∴1a b +=，
∴22a b a b b a +++≥22a b =+，∴221a b a b b a +≥+=.
时取“=”.
当且仅当a b
【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查不等式的存在性问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。