1.4.3正切函数的性质与图象(教学设计)

1.4.3正切函数的性质与图象（1）（教学设计）
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。

授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学. 教学过程：
一、复习回顾，新课引入： 问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线?
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数图象． 二、师生互动，新课讲解：
1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
2．正切函数是不是周期函数？
()tan tan ,,2x x x R x k k z π
ππ⎛
⎫+=∈≠+
∈ ⎪⎝
⎭
Q 且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z π
π⎛
⎫
=∈≠+
∈ ⎪⎝
⎭
且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2,2ππ的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”。

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()x k k Z π
π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
； （2）值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π，2
π+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于
()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→−
2
时，-∞−→−
x tan 。

（3）周期性：π=T ；
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

π2
3
-π-π
2
π-
2
ππ2
3O
y
x
5.例题选讲： 例1:比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-
413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-517tan π的大小 解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-， 又：⎪⎭
⎫
⎝⎛=<
<
2,0tan ,524
0πππ
在x y 内单调递增， ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4
tan
即 变式训练1：不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数 ∴tan135°＜tan138°
例2:讨论函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=4tan πx y 的性质 略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+
≠∈z k k x R x x ,4|π
π且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+-
4,43ππππk k 上是增函数 图象：可看作是x y tan =的图象向左平移4
π
单位 变式训练2：（1）求函数y ＝tan2x 的定义域
解：由2x ≠k π＋
2π
，(k ∈Z ) 得x ≠2πk ＋4
π，(k ∈Z )
∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠
2πk ＋4
π
，k ∈Z ｝ （2）求下列函数的周期：
（1）3tan 5y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ 答：T π=。

（2）tan 36y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ 答：3T π=。

说明：函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T πω
=．
例3（课本P44例6）求函数y=tan(2
3
x π
π
+
)的定义域，周期和单调区间。

变式训练3：求函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性。

解：由233πππ+≠-k x 得18
53π
π+
≠k x ， ∴所求定义域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≠
∈z k k x R x x ,1853,|ππ且，值域为R ，周期3π=T ，是非奇非偶函数，在区间()z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。

课堂巩固练习（P45练习NO ：1；2；3；4；5；6）
例4
：用图象求函数y =
的定义域。

解：由tan 0x ≥ 得
tan x ≥ 利用图象知，所求定义域为(),3
2k k k Z π
πππ⎡⎫
++
∈⎪⎢⎣
⎭
，
变式训练4．函数y =
(),2
4k k k Z π
πππ⎛
⎤
-+
∈ ⎥⎝
⎦
．
三、课堂小结，巩固反思：
1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2
,|{Z k k x R x x ∈+≠∈π
π，所以它的图象被, (2)
3
,2ππ
±±
=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

3．讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y ＝tan(ωx )，x ≠ωπω
π
2+
k (k ∈Z )的周期T ＝ω
π；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的
四、课时必记：
1．要求记住正切函数y=tanx 的图象与性质。

2、正切函数x y tan =的定义域是},2
,|{Z k k x R x x ∈+
≠∈π
π
3、y ＝tan(ωx+ϕ)，的最小正周期T ＝||
π
ω；
五、[分层作业]： A 组：
1、（课本P46习题1.4 A 组 NO ：6）
2、（课本P46习题1.4 A 组 NO ：7）
3、（课本P46习题1.4 A 组 NO ：8）
4、（课本P46习题1.4 A 组 NO ：9）
5、（课本P46习题1.4 A 组 NO ：10） B 组：
1、求函数y=3tan(2x-4
π
)的单调区间。

2、(tb0137501)求函数y=tan(x-3
π
)-2的定义域、值域和周期。

3、（课本P46习题1.4 B 组 NO ：2） C 类：
1、(tb12169273)关于函数f(x)=4sin(2x+3
π
) (x ∈R)，有下列命题： (1) 由f(x 1)=f(x 2)=0，可得x 1-x 2必是π的整数倍；
(2) y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(-6
7π
2x)；
(3) y=f(x)的图象关于点(65π
,0)对称；
(4)
y=f(x)的图象关于x= -6
7π
对称； 其中正确的是（B ）。

（A ）（1）、（2） （B ）（2）、（3） （C ）（1）、（3） （D ）（2）、（4）。