高考物理一轮复习学案 第第16讲 万有引力定律与航天（解析版）

第四部分 曲线运动 万有引力定律
第16讲 万有引力定律与航天（解析版）
1．掌握万有引力定律的内容、公式及其应用． 2．理解环绕速度的含义并会求解． 3．了解第二和第三宇宙速度．
一、万有引力定律及其应用
1．开普勒行星运动定律
(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

(3)开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3
T
2＝k 。

2．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比．
(2)公式：F ＝G m 1m 2r 2，其中G ＝6.67×10－
11N ·m 2/kg 2，叫引力常量。

(2)公式适用条件：
①此公式适用于质点间的相互作用。

当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

②均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。

二、卫星运行规律及宇宙速度
1．地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24h ＝86 400 s 。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

(4)高度一定：据G Mm
r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝3GMT 24π2＝4.24×104 km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈6R (为恒量)。

(5)速率一定：运动速度v ＝2πr /T ＝3.07 km/s(为恒量)。

(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

2．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s 。

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

3．三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s)
意义
第一宇宙速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若7.9 km/s ≤v ＜11.2 km/s ，物体绕地球运行(环绕速度)
第二宇宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若11.2 km/s ≤v ＜16.7 km/s ，物体绕太阳运行(脱离速度)
第三宇宙速度
16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若v ≥16.7 km/s ，物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间运行(逃逸速度)
1．关于万有引力公式F ＝G m 1m 2
r
2，以下说法中正确的是
( )
A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 【答案】 C
【解析】 万有引力公式F ＝G m 1m 2
r ，虽然是牛顿由天体的运动规律得出的，但牛顿又
将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力．当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律．公式中引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的．故正确答案为C.
2．一宇航员在某星球上以速度v 0竖直上抛一物体，经t 秒落回原处，已知该星球半径为R ，
那么该星球的第一宇宙速度是
( ) A.v 0t
R B.
2v 0R
t
C.
v 0R t
D.
v 0Rt
【答案】 B
【解析】 设该星球表面重力加速度为g ，由竖直上抛知识知，t ＝2v 0g ，所以g ＝2v 0
t ；
由牛顿第二定律得：mg ＝m v 2
R
，所以v ＝gR ＝
2v 0R
t
. 3．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。

假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比
A ．距地面的高度变大
B ．向心加速度变大
C ．线速度变大
D ．角速度变大 【答案】 A
【解析】 同步卫星运行周期与地球自转周期相同，由G Mm (R ＋h )2＝m (R ＋h )·
⎝⎛⎭⎫2πT 2有h ＝ 3GMT 24π2－R ，故T 增大时h 也增大，A 正确。

同理由GMm
(R ＋h )2＝ma ＝m v 2R ＋h
＝m (R ＋h )
ω2可得a ＝GM (R ＋h )2
、v ＝GM R ＋h 、ω＝GM
(R ＋h )3
，故h 增大后a 、v 、ω都减小，B 、C 、D 皆错误。

4．北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。

对于其中的5颗同步卫星，下列说法中正确的是
A ．它们运行的线速度一定不小于7.9 km/s
B ．地球对它们的吸引力一定相同
C ．一定位于赤道上空同一轨道上
D ．它们运行的加速度一定相同 【答案】 C
【解析】 根据r
GM
v =
可知，同步卫星运行的线速度一定小于7.9 km/s ，选项A 错误；由于5颗同步卫星的质量不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，选项B 错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不相同，选项C 正确、D 错误。

要点一 天体质量和密度的计算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G Mm r 2＝ma 向＝m v 2r ＝m ω2
r ＝m 4π2r T
2。

(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R
2＝mg (g 表示天体表
面的重力加速度)。

2．重力加速度的计算
(1)在行星表面重力加速度：G Mm R 2＝mg ，所以g ＝GM
R
2。

(2)在离地面高为h 的轨道处重力加速度：G Mm (R ＋h )2＝mg h ，所以g h ＝GM
(R ＋h )2。

3．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2
G
，
天体密度ρ＝M V ＝M 43
πR 3
＝3g
4πGR 。

(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。

①由万有引力等于向心力，即G Mm
r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2
；
②若已知天体半径R ，则天体的平均密度
ρ＝M V ＝M
43
πR 3＝3πr 3GT 2R 3；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，
则天体密度ρ＝3π
GT
2。

可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天
体的密度。

要点二 人造卫星的运行规律
1．一种模型
无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。

2．两条思路
(1)万有引力提供向心力即G Mm
r
2＝ma 。

(2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm
R
2＝mg 或gR 2＝GM (R 、g 分别
是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”。

3．三个比较
求解卫星运行问题时，要认清赤道上的物体、近地卫星、同步卫星之间的关系。

比较内容 赤道表面的物体 近地卫星 同步卫星 向心力来源 万有引力的分力
万有引力
向心力方向 指向地心
重力与万有 引力的关系 重力略小于万有引力
重力等于万有引力 线速度
v 1＝ω1R
v 2＝
GM
R
v 3＝ω3(R ＋h )＝
GM
R ＋h
v 1<v 3<v 2(v 2为第一宇宙速度)
角速度
ω1＝ω自
ω2＝
GM
R 3
ω3＝ω自＝
GM
（R ＋h ）3
ω1＝ω3<ω2
向心加速度
a 1＝ω21R
a 2＝ω22R ＝GM
R
2 a 3＝ω23(R ＋h ) ＝
GM
（R ＋h ）2
a 1<a 3<a 2
4.四个关系
“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系。

GMm
r 2
＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫
ma →a ＝GM r 2→a ∝1
r
2
m v 2
r →v ＝GM r →v ∝
1
r m ω2
r →ω＝GM r 3
→ω∝
1r
3
m 4π2
T 2
r →T ＝4π2r 3
GM
→T ∝r 3
越高越慢
要点三 卫星的变轨问题
1．卫星轨道的渐变：当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻
力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时，G Mm r 2<m v 2
r
，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离
心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝
GM
r
可知其运行速度比原轨道时减小。

(2)当卫星的速度突然减小时，G Mm r 2>m v 2
r
，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做
近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v ＝
GM
r
可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理。

2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。

如图4－4－4所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
图4－4－4
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ；
(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，变轨时在P 点点火加速，短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；
(3)卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。

要点四 双星或多星模型(物理模型)
1．双星模型
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1
，Gm 1m 2
L 2
＝m 2ω22r 2。

(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2。

(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L 。

(4)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即 m 1m 2＝r 2
r 1。

(5)双星的运动周期T ＝2π L 3
G (m 1＋m 2)。

(6)双星的总质量公式m 1＋m 2＝4π2L 3
T 2G。

2．三星模型
(1)如图4－4－7所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。

这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡，运转的行星
由其余两颗行星的引力提供向心力：Gm 2r 2＋Gm 2
(2r )2
＝ma 向。

图4－4－7
两行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

(2)如图4－4－8所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。

每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。

图4－4－8
Gm 2
L 2
×2×cos 30°＝ma 向 其中L ＝2r cos 30°。

三颗行星运行的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

要点一 天体质量和密度的计算
【例题1】假设地球可视为质量均匀分布的球体。

已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G 。

地球的密度为( )
A.3πGT 2·g 0－g g 0
B.3πGT 2·g 0g 0－g
C.3πGT 2
D.3πGT 2·g 0g
【答案】B
【解析]】物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，，mg ＋m (2πT )2R ＝G Mm
R 2
以上两式联立解得地球的密度)
(3020
g g GT g -=
πρ。

故选项B 正确，A 、C 、D 错误。

针对训练1．（2018年高考浙江卷）土星最大的卫星叫“泰坦”（如图），每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为
，已知引力常量，则土星
的质量约为
A. B. C.
D.
【答案】 B
【解析】卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，设土星的质量为M ，
根据R T m R GMm 2224π=，解得2
224GT
R M π=，带入数据解得kg M 26
105⨯≈，故B 正确，A 、C 、D 错误。

要点二 人造卫星的运行规律
【例题2】有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b 是近地轨道卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图4－4－3所示，则
图4－4－3
A ．a 的向心加速度等于重力加速度g
B ．在相同时间内b 转过的弧长最长
C ．c 在4小时内转过的圆心角是π
6
D ．d 的运动周期有可能是20小时 【答案】 B
【解析】 a 与c 的角速度相等，由a 向＝ω2R 知a 的向心加速度小于c 的，c 的向心加速度小于g ，所以a 的向心加速度小于g ，A 错。

由r
GM
v =
可知，a 、b 、c 、d 四颗卫星中，b 的线速度最大，所以在相同时间内b 转过的弧长最长，B 正确。

c 的周期为24小时，
c 在4小时内转过的圆心角θ＝ωt ＝2π24×4＝π3，C 错。

由T ＝ 4π2r 3
GM
知d 的周期大于c
的周期，大于24小时，D 错。

针对训练2．（2018年高考江苏卷）我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高．今年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km ，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km ，它们都绕地球做圆周运动．与“高分四号冶相比，下列物理量中“高分五号”较小的是（ ） A.周期 B. 角速度 C. 线速度
D. 向心加速度 【答案】 A
【解析】设地球的质量为M,人造卫星的质量为m ，人造卫星做匀速圆周运动时，根据万有引
力提供向心力有ma r T
m r m r v m r Mm G ====2222)2(π
ω，得r GM v =，2r GM =ω，
GM
r T 3
2π
=，2r GM a =，因为“高分四号”的轨道半径比“高分五号”的轨道半径大，故选项A 正确，B 、C 、D 错误。

要点三 卫星的变轨问题
【例题3】如图所示，假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞行器在距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则( )
A ．飞行器在
B 点处点火后，动能增加
B ．由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期
C ．只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B 点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B 点的加速度
D ．飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π R g 0
【答案】 D
【解析】 飞行器在轨道Ⅱ的B 点变轨进入近月轨道Ⅲ，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需的向心力，故点火后动能减小，故A 错误；设飞行器在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T 3，则：mg 0＝mR 4π2
T 3
2，解得：T 3＝2π
R
g 0
，根据几何关系可知，轨道Ⅱ的半长轴a ＝2.5R ，根据开普勒第三定律a 3
T 2＝k 以及在轨道Ⅲ上的周期，可求出飞行器在
轨道Ⅱ上的运行周期，故B 错误，D 正确；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B 点的加速度与在轨道Ⅲ上通过B 点的加速度相等，故C 错误。

针对训练3．（2016年高考北京卷）如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。

下列说法正确的是
A ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同
B ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同
C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量 【答案】B
【解析】 从轨道1变轨到轨道2，需要加速逃逸，故A 错误；根据ma R Mm
G
=2
，可得2R
GM
a =
，故只要半径相同，加速度就相同，由于卫星在轨道1 做椭圆运动，运动半径在变化，所以运动过程的加速度在变化，B 正确，C 错误；卫星在轨道2做匀速圆周运动，运动过程中的速度方向时刻在变化，所以动量方向不同，D 错误。

要点四 双星或多星模型(物理模型)
【例题4】（多选）（2018年高考理综全国卷I ）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（ ） A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和
D. 各自的自转角速度 【答案】 BC
【解析】 双中子星做匀速圆周运动的频率f =12Hz （周期T =1/12s ），由万有引力等于向心力，可得，221r m m G
=m 1r 1（2πf ）2，2
21r m m G =m 2r 2（2πf ）2
，r 1+ r 2=r =40km ，联立解得：（m 1+m 2）=（2πf ）2
Gr 3
，选项B 正确A 错误；由v 1=ωr 1=2πf r 1，v 2=ωr 2=2πf r 2，联立解得：v 1+ v 2=2πf r ，选项C 正确；不能得出各自自转的角速度，选项D 错误。

针对训练4．(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，
可忽略其他星体对它们的引力作用。

已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上。

已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星体中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体与三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等。

引力常量为G ，则( )
A ．三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为v ＝ Gm R
B ．三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝1
2R
5Gm
R
C ．三星系统B 的运动周期为T ＝4πR
R 5Gm
D ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L ＝ 312
5R
【答案】 BCD
【解析】三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，外侧两颗星体围绕中央星体在半径为R 的同一圆轨道上运行，外侧的其中一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的万有引力的合力提供向心力，有G m 2R 2＋G
m 2
2R 2＝m v 2
R ，
解得v ＝5Gm
4R
，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πR
v ＝4πR
R
5Gm ，则外侧两颗星体的角速度为ω＝2πT ＝12R
5Gm
R
，B 正确；由题意知三星系统B 的运动周期为T ＝4πR
R
5Gm
，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，对其中一颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律，有2Gm 2L 2cos 30°＝m L
2cos 30°·4π2T 2，解得L ＝ 3125R ，D
正确。

随堂巩固
1．（2018年高考理综全国II 卷）2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T =5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。

以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为
（ ） A. B. C.
D.
【答案】 C
【解析】设脉冲星质量为M ，密度为ρ，根据天体运动规律知，
R T
m R GMm 22
24π≥，密度
33
4R M
V M πρ=
=
，代入可得： ，故C 正确。

2．(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。

已知探测器的质量约为1.3×103 kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2。

则此探测器
A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 【答案】 BD
【解析】 月球表面重力加速度大小g 月＝G M 月R 2月＝3.7281·G M 地R 2地＝3.72
81g 地＝1.66 m/s 2，则探
测器在月球表面着陆前的速度大小v t ＝2g 月h ＝3.6 m/s ，A 项错；悬停时受到的反冲作用力
F ＝mg 月＝2×103 N ，B 项正确；从离开近月圆轨道到着陆过程中，有发动机工作阶段，故机械能不守恒，C 项错；在近月圆轨道上运行的线速度v 月＝ g 月R 月<g 地R 地，故D 项正确。

3．(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空.与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km 的圆轨道上飞行，则其( ) A.角速度小于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
【答案】 BCD
【解析】 根据万有引力提供向心力得，G
Mm R ＋h 2＝m (R ＋h )ω2
＝m v 2R ＋h ＝m (R ＋h )4π2
T 2
＝ma ，解得，v ＝
GM
R ＋h
，ω＝GM R ＋h
3，T ＝
4π2R ＋h
3
GM
，a ＝
GM R ＋h
2，由
题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于地球的自转周期，选项A 错误，C 正确；由第一宇宙速度为
GM
R
可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B 正确；由地面的重力加速度g ＝GM
R 2可知，“天舟一号”的向心加速度小于
地面的重力加速度，选项D 正确.
4．马航客机失联后，西安卫星测控中心紧急调动海洋、风云、高分、遥感4个型号近10颗卫星，为地面搜救提供技术支持。

特别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关建技术。

如图4－4－12为“高分一号”与北斗导航系统中的两颗卫星在空中某一面内运动的示意图。

北斗导航系统中两颗卫星“G 1”和“G 3”以及“高分一号”均可认为绕地心O 做匀速圆周运动。

卫星“G 1”和“G 3”的轨道半径均为r ，某时刻两颗卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置，“高分一号”在C 位置。

若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力。

则以下说法正确的是
图4－4－12
A ．卫星“G 1”和“G 3”的加速度大小相等，均为R 2
r
g
B ．卫星“G 1”由位置A 运动到位置B 所需的时间为2πr 3R r
g
C ．如果调动“高分一号”卫星到达卫星“G 3”所在的轨道，必须对其减速
D ．“高分一号”是低轨道卫星，其所在高度处有稀薄气体，运行一段时间后，高度会降低，速度增大，机械能会减小
【答案】 D
【解析】 由G Mm R 2＝mg ，G Mm r 2＝mg ′，得g ′＝R 2
r
2g ，A 错；卫星“G 1”由位置A 运
动到位置B 所需时间为t ＝T 6＝πr 3R r
g
，B 错；若想使“高分一号”到达卫星“G 3”所在轨
道，必须对其加速，C 错；稀薄气体对“高分一号”有阻力，做负功，所以“高分一号”机械能减小，在引力作用下，高度降低，速度增大，D 正确。

5．(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。

在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。

设某双星系统A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图4－4－9所示。

若AO ＞OB ，则
图4－4－9
A ．星球A 的质量一定大于
B 的质量 B ．星球A 的线速度一定大于B 的线速度
C ．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大
D ．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 【答案】 BD
【解析】 设双星质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，两者间距为L ，周期为T ，角速度为ω，由万有引力定律可知：
Gm A m B
L 2＝m A ω2R A ① Gm A m B
L
2＝m B ω2R B ② R A ＋R B ＝L ③
由①②式可得m A m B ＝R B
R A
，而AO ＞OB ，故A 错误。

v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，B 正确。

联立①②③得G (m A ＋m B )＝ω2L 3，又因为T ＝2π
ω
，可
知D 正确、C 错误。

课时检测
一、选择题(每小题7分，共70分)
1．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原地。

若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原地。

已知该星
球的半径与地球半径之比为R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为g ，设该星球表面附近的重力加速度为g ′，空气阻力不计。

则( )
A ．g ′∶g ＝5∶1
B ．g ′∶g ＝5∶2
C ．M 星∶M 地＝1∶20
D ．M 星∶M 地＝1∶80
【答案】D
【解析】 由速度变化的对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t ＝
2v 0g ，5t ＝2v 0
g ′
，因此得g ′g ＝t 5t ＝15，A 、B 错误；由G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2
G ，因而M 星M 地＝g ′R 星2gR 地2＝15×⎝⎛⎭⎫142＝180，
C 错误，
D 正确。

2．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么
A ．地球公转周期大于火星的公转周期
B ．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C ．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D ．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 【答案】 D
【解析】 据太阳对行星的引力提供行星运动所需的向心力得GMm
r 2＝m v 2r
＝m ω2r ＝
m (2πT )2r ＝ma 向，解得v ＝ GM r ，ω＝ GM r 3
，T ＝2πr 3GM ，a 向＝GM r 2，由题意知，地<r 火，所以v 地>v 火，ω地>ω火，T 地<T 火，a 地>a 火，D 项正确。

3．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线点O 做匀速圆周运动。

由此可知，冥王星绕O 点运动的
A ．轨道半径约为卡戎的1
7
B ．角速度大小约为卡戎的1
7
C ．线速度大小约为卡戎的7倍
D ．向心力大小约为卡戎的7倍 【答案】 A
【解析】 设两星轨道半径分别为r 1、r 2，由GMm
L 2＝M ω2r 1＝m ω2r 2，故r 1∶r 2＝m ∶M
＝1∶7，选项A 正确；由于双星周期相同，由ω＝2π
T
知角速度相同，选项B 错误；线速度
v ＝ωr ，知v 1∶v 2＝1∶7，选项C 错误；根据a ＝ω2r 知a 1∶a 2＝1∶7，选项D 错误。

4．卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，运动周期为T ，地球半径为R ，引力常量为G ，下列说法正确的是
A ．卫星的线速度大小为v ＝2πR
T
B ．地球的质量为M ＝4π2R 3
GT 2
C ．地球的平均密度为ρ＝3π
GT
2
D ．地球表面重力加速度大小为g ＝4π2r 3
T 2R
2
【答案】 D
【解析】 卫星的线速度大小v ＝2πr T ，则A 错；由GMm
r 2＝m 4π2T
2r ，得地球的质量M
＝4π2r 3GT 2，则B 错；地球的密度ρ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3，则C 错；由GMm r 2＝m 4π2T 2r ，G Mm R
2＝mg ，得地球表面重力加速度大小g ＝4π2r 3
T 2R
2，则D 正确。

5．（2018年高考全国III 卷）为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍。

P 与Q 的周期之比约为
A. 2:1
B. 4:1
C. 8:1
D. 16:1 【答案】 C
【解析】设地球半径为R ，根据题述，地球卫星P 的轨道半径为R P =16R ，地球卫星Q 的轨
道半径为R Q =4R ，根据开普勒定律，6422
2Q 2==Q
P
P R R T T ，所以P 与Q 的周期之比为T P ∶T Q =8∶1，
选项C 正确。

6．“嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球。

如图4－4－13所示是绕地飞行的三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，2和3是变轨后的椭圆轨道。

A 点是2轨道的近地点，B 点是2轨道的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7 km/s ，则下列说法中正确的是
图4－4－13
A ．卫星在2轨道经过A 点时的速率一定小于7.7 km/s
B ．卫星在2轨道经过B 点时的速率一定大于7.7 km/s
C ．卫星在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能
D ．卫星在3轨道所具有的最大速率大于在2轨道所具有的最大速率 【答案】 D
【解析】 卫星在近地圆形轨道的A 点加速做离心运动才能进入轨道2或3，且进入轨
道3加速获得的速率大于进入轨道2的，由此推知A 、C 错误，D 正确。

由v ＝ GM
r
可
知，卫星在2轨道经过B 点时的速率可能小于7.7 km/s 。

7．如图4－4－14所示，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。

据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。

以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小。

以下判断正确的是
图4－4－14
A ．a 2>a 3>a 1
B ．a 2>a 1>a 3
C ．a 3>a 1>a 2
D ．a 3>a 2>a 1
【答案】 D 【解析】 地球同步卫星受月球引力可以忽略不计，表明地球同步卫星距离月球要比空。