第三章 2二维随机向量数字特征

例3 设随机变量XN(0,1)，YU(0,1)， ZB(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机
变量U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望 解:因为X，Y，Z独立，2X+3Y和 4Z-1 也相互独立 E (U ) E(2 X 3Y ) E(4 Z 1) 3 E (2 X 3Y ) 2 EX 3 EY 2 E (4 Z 1) 4 EZ 1 9
a b 2
(b a ) 2 12
E( )
0

1
2
1
N(, 2)
2 1 ( ) x f ( x) exp( ) 2 2 2 , 0

2
3.2 随机向量的数字特征 一、定义3.8 设（Ｘ1，Ｘ2 ，…Ｘｎ）是 n维的随机向量，而且每一个随机变量Xi 的数学期望都存在，i=1,2, …,则称
(2)如果随机变量Y是X的线性函数，即
Y aX b, 当a>0时， =1，
当a<0时， =－1 (3) X 和Y 独立 = 0; 但其逆不真
无 关 未 必 独 立!
若 X， Y 1 ，存在常数a,b(b≠0），
使P{Y=a+bX}=1， 即X与Y的之间以概率1存在线性关系
P( )
k P ( X k) e
0 , k 0, 1,
k!


分布
U( a , b )
分布列或分布密度
1 , a x b ; f ( x ) b a 其它 0,
e x , x0 f ( x) 0, x0
期望 方差
解 EX x f X ( x ) dx 0 x 2 f ( x ) (2 x y ) dy
X



3 x 即 f X ( x) 2 0
0 x 2 其他
3 x 2

2 0
(2 x y ) dy
3 x f ( x ) dx EX X x x dx 1 0 2 3 Eg （x， y） = g( x, y ) f ( x, y )dxdy 。
EX2 = 3 , DX2 = 3 , EX3 = 0， DX3 = 4 ,
EY =E(X1 - 2X2 + 3X3 ) = EX1 -2 EX2 + 3 EX3 = -3 .
EX1 = 6/2 = 3 , DX1 = 62/12 = 3 , EX2 = 3 , DX2 = 3 , EX3 = 0， DX3 = 4 , DY =D(X1 - 2X2 + 3X3 ) = DX1 + 4 DX2 + 9 DX3 = 51 .
复习
两个重要的数字特征 1. 期望 ——随机变量取值的平均水平 随机变量期望 EX xk pk , 离散型 随机变量函数的期望
EX x f ( x )dx ,

k 1
连续型
X 离散型 k 1 g( x k ) pk , E[ g( X )] g( x ) f ( x )dx , X 连续型
D( X Y ) D( X ) D(Y )
例2 设 X1, X2, X3 相互独立， 且 X1 ~ U[0, 6], X2 ~ P( 3 ), X3 ~N(0, 22), 记 Y = X1 - 2X2 + 3X3 , 求EY DY .
解 EX1 = 6/2 = 3 , DX1 = 62/12 = 3 ,
1 n 1 n E[ X i ] E ( X i ) n i 1 n i 1
性质2. 假设X、Y相互独立，且EX 、EY 存在，则E(XY )= EX EY ; 设Ｘ1，Ｘ2 ，…Ｘｎ相互独立且期望都存 在，则
E ( X1 X 2 X n ) E ( X1 ) E ( X 2 ) E( X n )

E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
定义： 假设随机变量XY的相关系数为
（1）若 0， 则称X与Y为相关的，
0， 称X与Y为正相关的， 0， 称X与Y为负相关的，
（2）若 0，则称X与Y不相关
2. 相关系数的性质
(1) | XY | 1.
反之未必成立:
D( X n )
2 2 证明: D( X Y ) E{( X Y ) } [ E( X Y )]
E{ X 2 XY Y }
2 2
{[ E ( X )] 2[ E ( X )][ E (Y )] [ E (Y )] }
2 2
D( X ) D(Y ) 2 E ( XY ) 2 E ( X ) E (Y ) X与Y独立 E ( XY ) E ( X ) E (Y )
且 g( xi , y j ) Pij 绝对收敛；则
i , j 1

EZ= g( xi , y j ) Pij 。
i , j 1
例4 已知随机变量(X,Y)的分布律求E(XY)
x 0 1 y 1 2 0.15 0.15 0.45 0.25
解: E ( XY ) 0 1 0.15 0 2 0.15
8DX 16cov X ,Y 6cov Y , X 12DY
8 3 16 (1) 6 (1) 12 22
二、相关系数
1. 若DX >0, DY >0, 则称 XY cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
D( X ) D(Y ) 为X 和Y的相关系数， 简记为 . 相关系数是表示X与Y的之间线性关系紧 密程度的量
离散型：
cov( X , Y ) ( xi EX )( yj EY ) pij
i 1 j 1


连续型：
cov( X , Y )




( x EX )( y EY ) f ( x, y ) dxdy
cov(X,Y)= E[(X-EX)(Y-EY)]
=EXY – EXEY – EYEX + EXEY
数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C;
2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);
3. E(aX+b)=aEX+b
2.方差——度量随机变量取值在其中心 附近的离散程度 X为离散型，
2 [ x E ( X )] pk k D( X ) k 1 [ x E ( X )]2 f ( x )dx
2



E(XY)



2 0


xy f ( x , y )dx dy

1 0

xy (2 x y ) dx dy 0 .
二、随机向量和与差的数学期望和方差
性质1 设Ｘ1，Ｘ2 ，…Ｘｎ每一个随机变 量Xi 的数学期望都存在，则
E ( X1 X n ) E ( X1 ) E( X n )
0.3 0.7
E ( X ) 0.3 0 0.7 1 0.7 E (Y ) 0.6 1 0.4 2 1.4 cov( X , Y ) EXY EXEY 0.95 0.7 1.4 0.03
推论：如果随机变量X和Y独立，且 协方差存在，则 Cov(X,Y)=0 2）简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) Cov(X,X)= DX ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数 ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) (4) D(X±Y )= DX + DY ±2 cov(X,Y) (5) D(aX±bY )=a2 DX + b2 DY ±2ab cov(X,Y)
若 X， Y 越接近于 0，

例1 二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
2 x y, f ( x, y) 0,
求 EX, E(XY).
例1 二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
2 x y, f ( x, y) 0,

求 EX, E(XY).
0 x 2 , 0 y 1, 其 他.
cov V ,W cov 4 X 3Y , 2 X 4Y cov 4 X , 2 X 4Y cov 3Y , 2 X 4Y
cov 4 X , 2 X cov 4 X , 4Y cov 3Y , 2 X cov 3Y , 4Y
反之未必成立: E(XY)=E(X )E(Y) ≠ X,Y 独立
性质3. 假设X、Y相互独立，且方差 存在，则
D( X Y ) D( X ) D(Y )
设Ｘ1，Ｘ2 ，…Ｘｎ相互独立且方差都存 在，则 D( X X X )
1 2 n
D( X 1 ) D( X 2 )
= E(XY) – EXEY ,
例4 已知 (X,Y)的分布律求Cov(X，Y)
x 0 1 y 1 2 0.15 0.15 0.45 0.25
解: cov( X , Y ) EXY EXEY
E ( XY ) 0.95
x 0 1
y 1 0.15 0.45 0.6
2 0.15 0.25 0.4
例5:设随机变量XB（12,0.5),Y N(0,1), COV(X,Y)= -1,求V=4X+3Y与W=-2X+4Y 的方差与协方差 解： DV 16 DX 9 DY 24cov( X , Y )
16 3 9 24 1 33 DW 4 DX 16 DY 16cov( X , Y ) 4 3 16 16 1 44
11 0.45 1 2 0.25
0.95
(2). 若 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ， 且

g( x, y) f ( x, y)dxdy 绝对收敛，




则：EZ=
g( x, y) f ( x, y)dxdy 。
0 x 2 , 0 y 1, 其 他.
( EX1 , EX 2 ,
, EX n )是（X 1 , X 2 ,
, X n）
T
的期望或均值
定理 2：若 ( X , Y ) 是二维随机变量， g( x, y) 是 二元连续函数，且 Z g( x, y ) (1). 若 ( X ,Y ) 的分布律为 P{ X xi ,Y y j } Pij ，

P(X=xk)=pk
DX = EX 2 -(EX )2
X为连续型，
X~f(x)
方差的性质 1. 设C是常数,则D(C)=0;
反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X);
2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); 3. 若C是常数,则D(X+C)= D(X); 4. D(X)=E(X2)-[E(X)]2
27 E (U ) E (2 X 3Y ) E (4 Z 1) 2
三、随机变量的相关系数和相关性 两个变量的相关性是概率论与数理 统计中的重要概念，从理论上对两变量 的相互关系加以研究. 比如：吸烟和患肺癌有什么关系？
受教育程度和失业有什么关系？
1、协方差 1）定义 任意两个随机变量X和Y的期望 和方差都存在，则称 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 为X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),
3 常用随机变量的期望与方差 分布 (0—1)
B(n, p)
分布列或分布密度
P ( X k ) pk q1k
k 0,1 , 0 p 1, pq 1
n k n k P ( X k ) Ck pq
期望 方差
p np
pq npq
k 0,1, , n , 0 p 1, p q 1