2021届广东省梅州市高三下学期二模数学试题(解析版)

2021届广东省梅州市高三下学期二模数学试题
一、单选题
1．若复数z 满足()()325z i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为 A ．2i + B ．2i -
C ．5i +
D ．5i -
【答案】D 【详解】5
3235,2z i i i
=
+=++=+-所以5.z i =- 【考点定位】复数除法运算中的分母实数化是必考点，而共轭复数既是运算的帮手，又是考查的目标.每年高考都将会对基本概念进行考查. 2．设A ，B 是两个集合，则“A B A ⋂=”是“A B ⊆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】试题分析：若A B A ⋂=，对任意x A ∈，则x A B ∈⋂，又A B B ⋂⊆，则
x B ∈，所以A B ⊆，充分性得证，若A B ⊆，则对任意x A ∈，有x B ∈，从而x A B ∈⋂，反之若x A B ∈⋂，则x A ∈，因此A B A ⋂=，必要性得证，因此应选
充分必要条件．故选C ． 【解析】充分必要条件．
3．设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 A ．0PA PB += B ．0PC PA +=
C ．0
PB PC +=
D ．0++=PA PB PC
【答案】B 【详解】
移项得
.故选B
4．1F ，2F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左，右焦点，点
(2,3)P 在C 上，且122F F F P ⊥，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．
12
【答案】A
【分析】利用已知条件求出a ，b 的值，利用双曲线的性质求解离心率即可．
【详解】1F 、2F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，
点P 在双曲线C 上，122F F F P ⊥，
所以，23=b a
，22491a b -=，可得1a =，3b =，2c =，
所以2c
e a
=
=． 故选：A
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值，代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（直接由题得到关于离心率的方程解方程即得解）. 5．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高9.8cm ，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径5.9cm ，外径19.6cm ，试估计该仿古玉琮的体积约为（ ）（单位：3cm ）
A ．3300
B ．3700
C ．3900
D ．4500
【答案】A
【分析】根据题中条件，得到该几何体约为长方体的体积减去内部圆柱的体积，结合题中数据，即可得出结果.
【详解】根据题中条件可得：该玉琮的体积为底面边长为19.6cm 、高为9.8cm 的长方体的体积减去底面直径为5.9cm 、高为9.8cm 的圆柱的体积，
因此2
2
3
5.919.69.89.83497cm 2V π⎛⎫=⨯-⨯⨯≈ ⎪
⎝⎭
. 结合该玉琮外面方形偏低且去掉雕刻的部分，可估计该玉琮的体积约为33003cm .
故选：A.
6．函数2()1cos 1x f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
的图象大致形状是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】根据()f x 的奇偶性和当02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，时()0f x >可选出答案.
【详解】由2()1cos 1cos 11x x x
e f x x x e e ⎛
⎫=-=⋅ ⎪++⎝-⎭
， 得1()cos()c s 1o ()11
x x
x
x e e f x x x f x e e ----=⋅-=⋅=-+-+， 则函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A ，B ， 当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时()0f x >，排除C ， 故选：D.
7．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取1
2
BC AB =
，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .则点E 即为线段
AB 的黄金分割点.若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为
5 2.236≈）
A ．0.618
B ．0.472
C ．0.382
D ．0.236
【答案】D
【分析】由已知条件及勾股定理求出AE ,BE ，则0.764 1.236AF ≤≤，利用几何概型中的线段型计算公式计算即可. 【详解】由勾股定理可得22215,1AC CD =
+==，则51 1.236AD =-≈，
1.236,20.764AE BE AE ==-=，所以0.764 1.236AF ≤≤，
由几何概型中的线段型可知使得BE AF AE ≤≤的概率约为
1.2360.764
0.2362
-=. 故选：D
8．设1x ，2x ，3x 均为正数，且1212log 0x x +=，
22212log 0x x +=，32312log 0x
x -=，则（ ） A ．123x x x << B ．321x x x <<
C ．312x x x <<
D ．213x x x <<
【答案】A
【分析】根据题中条件，得到1x ，2x ，3x 分别为函数2log y x =与2x y =-，2x y -=-，
2x y -=交点的横坐标，利用数形结合的方法，即可得出结果.
【详解】由1212log 0x
x +=，22212log 0x
x +=，32312log 0x
x -=，可得
121log 2x x =-，222log 2x x -=-，323log 2x x -=，
因此1x ，2x ，3x 分别为函数2log y x =与2x y =-，2x y -=-，2x y -=交点的横坐标， 在同一直角坐标系中作出函数2log y x =，2x y =-，2x y -=-，2x y -=的大致图象如下：
由图象易知，123x x x <<. 故选：A.
二、多选题 9．若
11
0a b
>>，下列不等式中正确的是（ ） A ．2(1)(1)a b ab a +<+ B ．3322a b ab +>
C ．
D ．21log 3log 3a b ++>
【答案】AC
【分析】根据题中条件，先得到0a b <<；由特殊值2a =，3b =，可排除BD ；
利用作差法比较2
(1)a b +与(1)ab a +，可判断A 正确；作差比较
2
与
2
，可判断C 正确.
【详解】因为
11
0a b
>>，所以0a b <<； A 选项，()2
2
2
2
0(1)(1)a b ab a b a a a ab b a a b ++-+=--=-<，即A 正确； B 选项，若2a =，3b =，则33228273610a b ab +-=+-=-<，故B 错；
C 选项，因为
2
2
0-=-0>0>，
<C 正确；
D 选，若2a =，3b =，则2414log 3log 3log 3log 30a b ++-=-=，故D 错. 故选：AC.
10．函数()sin 21f x x x =+，下列选项中说法正确的是（ ） A ．()23f x f x π⎛⎫+-=
⎪⎝⎭
B ．3f x π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的图象关于12x π=-对称
C ．若125012
x x π
<<<
，则()()12f x f x < D ．存在123,,,32x x x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()()123f x f x f x +< 【答案】ABC
【分析】先将函数转化为()2sin 213f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，然后逐项判断.
【详解】()sin 2212sin 213f x x x x π⎛⎫
=+=-
+ ⎪⎝
⎭
A.2()(
)2sin 212sin 21333
3f x f x x x π
ππ
π⎛⎫⎛⎫+-=-++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 22sin 22233x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故正确；
B. 因为2(
)2sin 212sin 213333f x x x π
πππ⎛⎫⎛⎫-=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 且2sin 212sin 133
122πππ⎛⎫
⎛⎫-⨯-+=+= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；
C. 因为50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
，因为sin y x =在,32ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，故正确；
D.由选项C 知()f x 在5,312ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上递增，在5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，
所以()max 55(
)2sin 21312123f x f πππ⎛⎫
==⨯-+= ⎪⎝⎭
， ()
min ()2sin 212sin 113333f x f ππππ⎛⎫
==⨯-+=+= ⎪⎝
⎭，
因为)
2
13>，所以不存在 1.223,,32x x x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()()123f x f x f x +<，
故错误； 故选：ABC.
【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．
2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ω
π
=
，y ＝tan(ωx ＋φ)的最
小正周期为T πω
=
.
3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．
11．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，13AA =，点M ，N 分别在棱AB 和1BB 上运动（不含端点），若1D M MN ⊥，下列命题正确的是（ ）
A ．1MN A M ⊥
B ．MN ⊥平面1D MC
C ．线段BN 长度的最大值为3
4
D ．三棱锥111C A D M -体积不变
【答案】ACD
【分析】以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立坐标系，设出动点M ，N 的坐标，利用空间向量运算判断选项A ，B ，C ，利用等体积法的思想判断选项D 即可得解.
【详解】在正方体1111ABCD A BC D -中，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
A 1(3,0,3)，D 1(0,0,3)，C (0,3,0)，
B (3,3,0)，设M (3,y ,0)，N (3,3,z )，,(0,3)y z ∈，
1(3,,3),(0,3,)D M y MN y z =-=-，而1D M MN ⊥
则11
(3)30(3)3
D M MN y y z z y y ⋅=--=⇒=
-， 对于A 选项：1(0,,3)AM y =-，则11
(3)30AM MN y y z AM MN ⋅=--=⇒⊥，
1MN A M ⊥，A 正确；
对于B 选项：(3,3,0)CM y =-，2(3)(3)(3)0CM MN y y y ⋅=--=--<，即CM 与MN 不垂直，从而MN 与平面D 1MC 不垂直，B 不正确；
对于C 选项：(0,0,)BN z =，则线段BN 长度2
1393
|
|[()]32
44
BN z y ==--+≤，当且仅当3
2
y =
时取“=”，C 正确； 对于D 选项：不论点M 如何移动，点M 到平面A 1D 1C 1的距离均为3，而
111111C A D M M A D C V V --=111
1
933
2
A D C S
=⋅⋅=
， 三棱锥111C A D M -体积为定值，即D 正确. 故选：ACD 12．曲线()
3
22
22:16C x y x y +=为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，
这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．给出下列结论正确的是（ ）
A ．曲线C 只有两条对称轴
B ．曲线
C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C ．曲线C 上任意一点到标原点O 的距离都不超过2
D ．曲线C 上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2 【答案】CD
【分析】先由图象，确定A 错；再联立()
22
32222
416x y x y x y
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，确定()32222
16x y x y +=
内切于圆224x y +=；从而可判断C 正确；考虑圆224x y +=内位于第一象限的整点，验证是否满足曲线C ，进而可判断B 错；由题意得到曲线C 上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积为xy ，结合基本不等式，可判断D 正确. 【详解】根据图形可得，曲线C 有四条对称轴0x =，0y =，y x =±；即A 错；
由()22
3
2222
416x y x y x y
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得222x y ==；即圆224x y +=与曲线()
3
2
2
22:16C x
y x y +=
相切于点
，
，(
，(，
()3
2
22216x y x y +=内切于圆224x y +=；
故曲线C 上任意一点到坐标原点O
2=，即C 正确； 又圆224x y +=位于第一象限的整点只有()1,1，但()
3
22
11816+=≠，所以曲线C 在
第一象限不过整点，根据对称性可得，曲线C 在二三四象限也不过整点； 又()0,0显然在曲线()
3
222216x y x y +=上，
所以曲线()3
222216x y x y +=只过一个整点，故B 错；
设曲线C 上的任一点的坐标为(),x y ，则过该点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩
形面积xy ；由()
3
22
2216x y
x y +=可得()3
3
3
2222168x y x y x y =+≥
，当且仅当
x y ==时，等号成立，所以2xy ≤，即D 正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于，先确定(
)
3
2
22216x y
x y +=内切于圆224x y +=；进而即可根
据圆的特征，求出曲线C 上的点到原点的距离的最值，以及曲线C 所过整点个数.
三、填空题
13．二项式6
23x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中含3x 项的系数为______________． 【答案】540
【分析】写出展开式通项公式，由指数为3求出项数，再得系数. 【详解】由题意()
6212316
633r
r
r
r r r
r T C
x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，1233r -=，3r =，
展开式中的3x 项的系数33
63540C =， 故答案为：540.
14．为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了《进一步加强中小学课外阅读指导的实施方案》，有序组织学生开展课外阅读活动，某校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如下图．若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”称号，其他学生得到“诗词爱好者”称号，根据该次比赛的成绩，按照称号的不同，进行分层抽样抽选15名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为______________．
【答案】6
【分析】根据题中条件，先分别得到各称号的总人数，根据分层抽样的方法即可得出结果.
【详解】由茎叶图可得，获得“诗词爱好者”称号的学生总数为16；获得“诗词能手”称号的学生总数为16；获得“诗词达人”称号的学生总数为8人；
因此，按照称号的不同，进行分层抽样抽选15名学生，抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为16
15616168
⨯=++.
故答案为：6.
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则
8
12
12
8
S S S a a a +++
=______________． 【答案】502
【分析】由1n n a S +=，推得
11
(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12
，公比为1
2
的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n n n S a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解.
【详解】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=， 当2n ≥时，111n n a S --+=，
两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即
11(2)2
n n a n a -=≥， 令1n =，可得11121a S a +==，解得112
a =
， 所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
， 则11122111212
n
n n
S ⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112n
n n n n S a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，
所以(
)
88
8
23
12123
222(111)S S S S a a a a +
+++
=+++-++
+
(
)89
21282
1050212
-=
-=-=-.
故答案为：502. 【点睛】关键点睛：
由1n n
a S +=，利用1,1
=,2
n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.
16．已知
F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中点O 为坐标原点）
，则ABF 面积的最小值是______________． 【分析】先设直线方程和点的坐标联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及2OA OB ⋅=消元，最后把ABF 面积表示出来，探求其最值 【详解】解：设直线AB 的方程为x ty m =+，点1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(,0)M m ，
由2x ty m y x =+⎧⎨=⎩，得2
0y ty m --=，则1212
y y t y y m +=⎧⎨=-⎩，
因为2OA OB ⋅=，所以12122x x y y +=，则()2
12122y y y y +=，即
()
2
121220y y y y +-=，
因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-， 所以2m =，即(2,0)M ，则74
MF =， 由抛物线2y x =得焦点1(,0)4
F ， 所以211
2
ABF
S
MF y y =
⋅-
12=
1728=⨯=0t =时取等号，
所以ABF
【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系，解题的关键是利用2OA OB ⋅=，得()2
121220y y y y +-=，从而可求出直线恒过定点
(2,0)M ，进而可表示出三角形面积，然后求其最小值，考查计算能力，属于中档题
四、解答题
17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ，已知22cos a b c B +=． （1）求角C ；
（2）若CD 是角C 的平分线，AD =DB =CD 的长． 【答案】（1）
23
π
；（2）2. 【分析】（1）根据题中条件，由正弦定理，先得到2sin sin 2sin cos A B C B +=，推出()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，化简整理，求出1
cos 2
C =-
，即可得出结果； （2）根据题中条件，先得到sin 2sin B A =，推出2b a =，结合余弦定理，求出,a b ，再由ABC ACD BCD S S S =+△△△，根据三角形面积公式，即可求出结果.
【详解】（1）由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=， 则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以
2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，
整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,B C π∈，
因此1cos 2C =-
，所以23
C π=； （2）因为C
D 是角C
的平分线，AD =
DB =，
所以在ACD △和BCD △中，由正弦定理可得，
sin sin
3
AD
CD A π
=
，sin sin 3
BD CD
B π=
，
因此
sin 2sin AD B
BD A
==，即sin 2sin B A =，所以2b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-
，即(2
22242a a a =++，解得3a =，
所以6b =，
又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 22222
C C ab C b C
D a CD =⨯⨯+⨯⨯， 即189CD =，所以2CD =. 【点睛】思路点睛：
求解三角形的相关问题时，一般需要利用正余弦定理，将题中所给条件化简整理，求出所需的角或边，再结合设问进行求解即可.
18．已知等差数列{}n a 的公差为1d >，前n 项和为n S ，满足39S =，125,,a a a 成等比数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）若1
2
n n b -=，判断n a 与()
n b n N *
∈的大小，并说明理由．
【答案】（1）21n a n =-；）（2）当3n ≤时，n n b a ≤；当4n ≥时，n n b a >. 【分析】（1）根据题中条件，列出关于首项与公差的方程组求解，得出首项与公差，即可得出结果；
（2）先由（1）得1
221n n n n b a ---+=，令()1
212
n f n n --+=，判断其单调性，即
可得出结果.
【详解】（1）根据题中条件，可得()312
21539
1S a d a a a d ⎧=+=⎪=⎨⎪>⎩，即()()12111341a d a d a a d d +=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，
解得11
2
a d =⎧⎨=⎩，所以12(1)21n a n n =+-=-；
（2）由（1）知21n a n =-， 则1
2
21n n n n b a ---+=，令()1212n f n n --+=，
则()()()1
1121122222
1n
n n f n f n n n --+--++-+-=-=，
当3n ≥时，()()1
2120n f n f n -=+-->，即()1212n f n n --+=在3n ≥上单调递
增；
所以()()34611f n f ≥-+=-=； 又()11
12
120f --+==，()24121f -+=-=，()36141f -+=-=，
()48181f =-+=，
所以当4n ≥时，()0f n >，即n n b a >； 当2n =或3时，()0f n <，即<n n b a ； 当1n =时，()0f n =，即n n b a =；
综上，当3n ≤时，n n b a ≤；当4n ≥时，n n b a >. 【点睛】关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于构造函数()1
212n f n n --+=，判断出其单调性，即可比较
出n a 与n b 的大小.
19．2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷金球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1目~9月9日连续9天的呼吸机日生产量为i y （单位：百台．．，1,2,,9i =），数据作了初步处理；
得到如图所示的散点图．
注：图中日期代码1~9分别对应9月1日~9月9日；表中i
y i z e =，1
9
19i i z z ==∑
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线ln()y bt a =+的附近，求y 关于t 的方程
ln()y bt a =+，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500
台．
参考公式：回归直线方程是ˆˆv βμα=+；1
1
2
2
2
1
1
()()
()
()
i
n
n
i
i i i
i i n n
i
i i v v v n v
n μ
μμμβμ
μμ
μ====---=
=
--∑∑∑∑，
ˆˆv α
βμ=-， 参考数据：5148.4e ≈． 【答案】（1）
3
5
；（2）ln(41)y t =-；38. 【分析】（1）由散点图读出不高于300台的点有5个，其中高于200台的点有4个，从而计算出所求概率；
（2）将对数表达式变成y z e bt a ==+，根据回归方程系数求解公式求得参数a ，b ，从而求得回归方程，并估算5y >对应的t 值即可.
【详解】（1）由散点图知，不高于300台的点有5个，其中高于200台的点有4个， 则在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，
2个样本点都高于200台的概率为2
4253
5
C P C ==.
（2）ln()y y bt a z e bt a =+⇔==+
则由回归方程系数求解公式知，12
2
2
1
10959519
428595()i
n
i i i n
i t z nt z
b t
n t ==--⨯⨯=
=
=-⨯-∑∑，
19451a z bt =-=-⨯=-，
故ln(41)y t =-，
5ln(41)541148.537.375y t t e t =->⇒->≈⇒>
需要38天呼吸机日生产量可超过500台．
【点睛】方法点睛：非线性回归方程，可以先转化为线性的数据，利用线性回归方程系数求解公式求解，从而求得非线性回归方程.
20．如图，在四棱锥B ACDE -中，平面ABC ⊥平面ACDE ，ABC 是等边三角形，在直角梯形ACDE 中，//AE CD ，AE AC ⊥，1AE =，2AC CD ==，P 是棱BD 的中点．
（1）求证：EP ⊥平面BCD ；
（2）设点M 在线段AC 上，若平面PEM 与平面EAB 所成的锐二面角的余弦值为15
5
，求MP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2MP =
.
【分析】（1）取BC 的中点Q ，连接PQ 、AQ ，由线面垂直判定定理可证AQ ⊥面BCD ，即可得证；
（2）以Q 为原点建立坐标系，利用向量法建立关系可求出.
【详解】（1）证明：如图，取BC 的中点Q ，连接PQ 、AQ ，因为ABC 是等边三角
形，所以AQ BC ⊥，
又平面ABC ⊥平面ACDE ，AE AC ⊥，平面ABC
平面ACDE =AC ，所以AE ⊥面
ABC ，又AQ ⊂面ABC ，所以AE AQ ⊥，
又//AE CD ，所以CD AQ ⊥，又CD BC C ⋂=，所以AQ ⊥面BCD ， 因为2BP PD =，又P 是棱BD 的中点，所以1
12
PQ DC =
=，//PQ DC ，又//AE CD ，
1AE =，
所以//AE PQ ，AE PQ =，即四边形AEPQ 是一个平行四边形，所以//EP AQ ， 所以EP ⊥平面BCD ；
（2）由（1）得PQ ⊥平面ABC ，所以以点Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()0,0,0Q ，(
)
3,0,0A
，()0,1,0B ，)
3,0,1E
，()0,0,1P ，
设平面EAB 的法向量为()111,,m x y z =，
由()
1113+0
1,3,00m AB y m m AE z ⎧⋅=-=⎪⇒=⎨
⋅==⎪⎩
，
因为点M 在线段AC
上，设其坐标为)
,,0M t -，其中01t ≤≤，
所以(
)
3,1EM t =
--，()
EP =-
设平面PEM 的法向量为()222,,n x y z
=，
由(()2222300,1,30
n EM x ty z n t
n EP ⎧⋅=--=
⎪
⇒=-⎨
⎪⋅=-=⎩， 由题意，设平面PEM 与平面EAB 所成的锐二面角为θ，
则1cos 5221m n t m n
θ⋅=
=
=
⇒=-⋅或1
2
t =，因为01t ≤≤， 所以1,02M ⎫
-⎪⎪⎝⎭
，所以MP =
.
【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.
1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。

2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.
3、求：求出两个面的法向量.
4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值. 21．已知函数2
1
()2ln ()f x a x a R x =+
∈ （1）当1a =时，求证：函数()f x 没有零点；
（2）若存在两个不相等正实数1x ，2x ，满足()()12f x f x =，且121=x x ，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）(1,)∈+∞a
【分析】（1）证明函数min ()(1)10f x f ==>即可； （2）令120x x >>，由()12()f x f x =可得112
221
2ln
x x x a x x x =-，再利用换元法令1
2
(1)x t t x =
>，转化为研究关于t 的函数，再利用导数研究函数的性质，从而求得参数的取值范围；
【详解】（1）当1a =时，21()2ln f x x x =+，()
2332122()x f x x x x
'-=-=， ()01f x x '>⇒>，'()001f x x <⇒<<，
∴()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， ∴min ()(1)10f x f ==>， ∴函数()f x 没有零点；
（2）令120x x >>
，
()12122212
11
()2ln 2ln f x f x a x a x x x =⇒+
=+， ∴122221
11
2ln
x a x x x =-
，121=x x ，
∴221121221221
2ln x x x x x
a x x x x x -==-，
令1
2
(1)x t t x =
>， 1
2ln 0a t t t
∴-+=在1t >有解，
令1
()2ln g t a t t t
=-+，()10g =，
则22
21
()t at g t t -+'=-，
设12,t t 为方程2210t at -+=的两根，且121t t =，
∴方程2210t at -+=必有一根在(1,)+∞，
∴2440
1(1)220
a a g a ⎧∆=->⇒>⎨=-<'⎩或24401a a ⎧∆=-=⎨>⎩无解，
综上所述：(1,)∈+∞a
【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、零点，求解时注意利用换元法构造新函数，但要注意新元的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两焦点与短轴的一个
端点的连线构成等边三角形，
直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）BMN △是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为BMN △的重心，求点B 到直线MN 距离的取值范围．
【答案】（1）22
143x y +=；
（2
）⎤⎥⎣⎦
. 【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的标准方程； （2）对直线MN 的斜率是否存在进行讨论：
当MN 的斜率不存在，直接计算出点B 到直线MN 距离为3；
当MN 的斜率存在，用点差法求出MN 的斜率，表示出直线方程，利用得到直线距离公式表示出距离，根据椭圆上点的有界性求出范围.
【详解】（1）设椭圆22
22:1x y C a b
+=的右焦点()2,0F c ，则
以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆：()2
22
x c y a -+=，
所以圆心到直线10x y ++=
的距离d a =
=，
又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以2,a c b ==，
解得：2,1a b c ==，
所以椭圆的标准方程为22
143
x y +=；
（2）设(),B m n ，设,M N 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A,B 两点， 因为O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==,所以,22m n D ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍.
当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时B 在长轴的端点处. 由2OB =得：1OD =,则O 到直线MN 距离为1，B 到直线MN 距离为3；
当MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，则有：22
112
2
22143
14
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：
()()()()1212121204
3
x x x x y y y y +-+-+=，
第 21 页 共 21 页 因为D 为,M N 的中点，所以1212,x x m y y n +=-+=-，所以121234y y m k x x n -==--， 所以直线MN 的方程为3242n m m y x n ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭
，即2268430mx ny n m +++=， 所以原点O 到直线MN
距离22
d =. 因为22
143
m n +=，所以223124m n =-，
所以22
d ===.
因为203n <≤
，所以3≤
13≤<
，所以33d ≤<
综上所述，332
d ≤≤. 即点B 到直线MN
距离的取值范围⎤⎥⎣⎦
. 【点睛】（1）待定系数法、代入法可以求二次曲线的标准方程； （2）“中点弦”问题通常用“点差法”处理；。