第6讲 有限元建模专题二

关于结果输出
默认情况下，变量输出为整体坐标方向。解释困难。
建立局部随动坐标系，结果容易解释。
结构单元
壳单元——用来模拟那些一个方向的尺寸(厚度) 远小于其他方向的尺寸，并且沿厚度方向的应 力可以忽略的结构。 杆件单元——用来模拟那些一个方向的尺寸 （长度）远大于其他两个方向的尺寸，并且仅 沿长度方向的应力比较显著的构件。
•一次单元模 拟精度较差， 在精细网格 的情况下仍 不能获得较 精确的结果。
•二次单元结 果较理想。
应力集中部位网格划分
采用二次单元时， 应力集中部位尽 量采用形状较规 则的单元进行划 分，同时推荐减 缩积分以减少运 算量。
通常插值的阶数由单元采用的节点数目决定。



仅在角点处布置节点的单元，如8节点实体单元，在 每一方向上采用线性插值，常常称它们为线性单元 或一阶单元。 在每条边上有中间节点的单元，如20节点实体单元， 采用二次插值，常常称它们为二次单元或二阶单元。 在每条边上有中间节点的修正三角形或四面体单元， 如10节点四面体单元，采用修正的二阶插值，常常 称它们为修正的单元或修正的二次单元或二阶单元。

The distance between supports or point loads The distance between gross changes in cross section The wavelength of the highest vibration mode
插值的阶数


梁单元（Beam） 桁架单元 (Truss)：不能承受弯曲，铰接框架结构 近似模拟缆索、弹簧

实体单元建立有限元模型通常规模较大，尤其对于三维 实体单元 如果选用适当的结构单元 (shells and beams) 会得到一 个更经济的解决方案

模拟相同的问题，用结构体单元通常需要的单元数量比实体单元 少很多
不能承受弯曲铰接框架结构近似模拟缆索弹簧实体单元建立有限元模型通常规模较大尤其对于三维实体单元如果选用适当的结构单元shellsbeams会得到一个更经济的解决方案模拟相同的问题用结构体单元通常需要的单元数量比实体单元少很多shellthicknessbeamcrosssectiondimensionsshouldlessthan110typicalglobalstructuraldimensiondistancebetweensupportspointloadsdistancebetweengrosschangescrosssectionhighestvibrationmode仅在角点处布置节点的单元如8节点实体单元在每一方向上采用线性插值常常称它们为线性单元或一阶单元

ideal
okay
bad
undistorted
distorted
应力集中问题举例一
应力集中模拟结果讨论
单元类型 CPS3 CPS4 CPS4I CPS4R CPS6 CPS8 CPS8R
s yy (D处目标值=100.0)
粗网格 55.06 71.98 63.45 43.67 96.12 91.2 92.56 精细网格 76.87 91.2 84.37 60.6 101.4 100.12 97.16
优点

使用非协调单元模拟弯曲问题 (CPS4I, …)


对于模拟以弯曲变形为主的问题或许是最高效且低 成本的一种实体单元 综合了一阶和二阶单元的优点


正确模拟剪切行为—纯弯曲变形下不存在剪切变形. 厚度方向只需一个单元即可模拟弯曲问题. 不存在沙漏模式。

在单元过分扭曲的情况下，模拟精度下降（低于一 次减缩积分单元）；然而， 所有单元在单元形状过 分扭曲的情况下都将下降。
积分方式
完全积分 减缩积分

单元类型
实体单元

3维实体单元
六面体 楔形 四面体


2维实体单元
平面应力 平面应变 轴对称

平面应变(plain strain)单元假设离面应变为零，可以用来模拟厚结构。 平面应力(plain stress)单元假设离面应力为零，适合用来模拟薄结构。 轴对称单元——CAX类单元——可模拟360o的环,适合于分析具有轴对称 几何形状和承受轴对称载荷的结构。


二次单元可以以 更少的单元更好 的反应结构的几 何特征
Physical model
Model with first-order elements—element faces are straight line segments
Model with secondorder elements— element faces are quadratic curves
单元扭曲的影响：悬臂梁弯曲
Parallel distortion
Trapezoidal distortion
总结
单元类型 Physical behavior Second-order First-order, full integration First-order, reduced integration xx 0 0 0 0 yy 0 0 0 0 xy 0 0 0 0 OK Shear locking Hourglassing if too few elements through thickness 备注
应力奇异的处理
如果离感兴趣区域较远，可以在查看结果时通 过不激活受影响的区域忽略它的影响 如果位于感兴趣区域，需要如下纠正:

在尖角处增加倒角重新进行分析 代替点力载荷为等效压力载荷 “散布” 位移约束至一个节点集

6.4 应力集中问题

二次单元处理应力集中问题，明显优于一 次单元
无论是完全积分还是减缩积分都可以很好的 反映应力集中 减缩积分效率更高，而且计算结果往往优于 完全积分。

要由结构体单元得到合理的结果需要满足一定要求： the shell thickness or the beam cross-section dimensions should be less than 1/10 of a typical global structural dimension, such as:
0
0
0
OK if enough elements through the thickness
OK if not overly distorted
Incompatible mode
0
0
0
6.3 网格划分
应用足够细密的网格以保证模拟的结果具有足够 的精度是非常重要的。粗糙网格可能会产生不精 确的结果。随着网格密度的增加，模拟分析所产 生的数值结果会趋于一个唯一解．但是运行模型 所需耍的计算机资源也会增加。 学会判断网格细分到何种程度所得的结果是可以 接受的。当进一步细分网格所得到的解的变化可 以忽略不计时，可以说网格已经收敛了。 数值解是所模拟的物理问题的近似解答，取决于 模型的几何形状、材料特性、边界条件等描述的 准确程度。
所有的结果值都与由粗网格预测的结果值进行了无量纲化对比。
建议
对复杂的三维模拟而言，实际上可利用的计算 机资源常常限制了所采用的网格密度。在这种 情况下，必须非常小心地应用从分析中得到的 结果。粗糙的网格足以用来预测趋势。然而， 应用由粗糙网格计算得到的位移和应力的具体 量值应该很谨慎。 一般来说，没有必要对所分析的结构全部采用 均匀的细划网格。应该在出现高应力梯度的地 方采用细网格，而在低应力梯度或应力量值不 被关注的地方采用粗网格。例如，细划的网格 仅应用在高应力梯度的区域，而在其他地方则 采用粗网格。例如：
有限元建模专题二
金朝海 jch666@
有限元建模专题二
6.1 一致性的单位系统 6.2 单元选择 6.3 网格划分 6.4 应力集中问题

6.1 一致性的单位系统
Quantity Length SI m SI (mm) mm (mm) mm
Force
Mass Time Stress Energy Density

四种不同的网格密度
通过模型的三个特定结果来考察网 格密度的影响： • 孔底部的位移； • 孔底部的Mises应力峰值； • 连接环与母体结构连接处 的Mises应力峰值；
• 粗网格预测的孔底部位移是不准确 的，但是，采用正常网格、细网格和 很细的网格预测了基本相同的结果。 因此，正常网格对所关注的位移而言 是收敛的。 • 孔底部应力峰值的收敛比位移慢得 多，这是因为应力和应变是由位移的 梯度计算得到的。而要预测准确的位 移梯度比计算准确的位移所需的网格 更密。 • 网格的细分明显地改变了连接环在 固定端处的应力计算值。随着网格的 细分应力值继续增加。在连接环与母 结构连接的角点处存在应力奇异性。 从理论上讲，在这个区域的应力是无 限大的，因此，在此处增加网格密度 不会产生一个收敛的应力。
N
kg s Pa (N/m2) J kg/m3
N
tonne (103 kg) s MPa (N/mm2) mJ (10–3 J) tonne/mm3
KN
kg ms GPa(KN/mm2) J kg/mm3
6.2 单元选择

单元类型
实体单元 结构单元



插值阶数（节点数）

一次单元（线性）、二次单元
单元形状对精度的影响
一阶和二阶四边形单元（六面体单元）的精度 随初始单元的扭曲增加而下降，但一次单元对 单元扭曲的敏感性小于二次单元。因此当单元 形状扭曲严重时，一次单元可能是更好的选择。 二阶三角形单元（四面体单元）对单元的扭曲 敏感性较低。 建议：采用二次单元模拟应力集中问题，在应 力集中区域尽量使用形状较规则的单元

从表中可见，结果与整体划分很细网 格的结果相近。但是．这种局部细划 网格的模拟与应用很细网格的分析相 比大大节省了计算需要的CPU时间：
关于应力奇异


应力奇异是指在有限元模型中那些应力值无限大的点处。 例如： 点荷载，如集中力或力矩作用处 孤立的约束点导致支反力如同点荷载。 尖角（零倒角半径）处 在应力奇异点处网格越细化，应力值也随之增加且不收 敛

积分选择(模拟弯曲问题)
完全积分 减缩积分

完全积分
减缩积分
Same load and displacement magnification (1000×)
关于非协调模式单元

非协调模式单元的目的是克服在完全积分、 一阶单元中的剪力自锁问题。由于剪力自 锁是单元的位移场不能模拟与弯曲相关的 变形而引起的，所以在一阶单元中引人了 一个增强单元变形梯度的附加自由度。这 种对变形梯度的增强允许一阶单元在单元 域上对于变形梯度有一个线性变化。