【必考题】高一数学下期中一模试题(及答案)

【必考题】高一数学下期中一模试题(及答案)
一、选择题
1．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若m α⊂，则m β⊥
B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α
D ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥
2．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）
A ．26
B ．36
C ．23
D ．22 3．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上
存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）
A ．42
B ．32
C ．
322
D ．22 4．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．正方形
D ．正六边形 5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A ．814π
B ．16π
C ．9π
D ．274
π 6．一锥体的三视图如图所示,则该棱锥的最长棱的棱长为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若方程21424x kx k -=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．13,34⎛⎤ ⎥
⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124
8．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．13
B ．12
C ．16
D ．1
9．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．3π
C ．4π
D ．3π 10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线
③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为
43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π
12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12
．则下列结论中正确的个数为
①AC ⊥BE ；
②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；
④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.
14．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.
15．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.
16．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.
17．已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l⊥m，则
①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.
由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．
18．若直线:20l kx y --=与曲线()2
111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.
19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.
20．在正方体1111ABCD A B C D -中，
①BD 平面11CB D ②直线AD 与1CB 所成角的大小为60︒ ③1AA BD ⊥ ④平面11A BC ∥平面1ACD
请把所有正确命题的序号填在横线上________．
三、解答题
21．如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE '位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .
（1）求证：A E BC '⊥；
（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.
22．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.
（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；
（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.
23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．
（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；
（Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．
24．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AAC
C ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .
（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;
（2）若四棱锥B ACMN -的体积为32
，求1A AC ∠的正弦值. 25．如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，12
AB AD BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，并连接DB ，DC ，得到如图所示的几何体D-ABCE ，在图中解答以下问题：
（1）设G 为AD 中点，求证：//DC 平面GBE ；
（2）若平面DAE ⊥平面ABCE ，且F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥．
26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，
1AC BC CC ==，M ､N 分别是1A B ､11B C 的中点.
（1）求证：MN ⊥平面1A BC ；
（2）求直线1BC 和平面1A BC 所成角的大小.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.
故选C.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意作出图形：
设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，
延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=2333⨯=， ∴11613OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263
，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =3， ∴1326236S ABC V -=
⨯⨯=三棱锥．
考点：棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】
本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.
【详解】
由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m
,故32m =.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 4．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
画出截面图形如图
显然A 正三角形C 正方形：
D 正六边形
可以画出三角形但不是直角三角形；
故选A ．
用一个平面去截正方体，则截面的情况为：
①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；
②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；
③截面为五边形时，不可能是正五边形；
④截面为六边形时，可以是正六边形．
故可选A ．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，
记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ，
在Rt △1AOO 中，12AO =，
由勾股定理()2224R R =+-得94R =
， ∴球的表面积814
S π=，故选A.
考点：球的体积和表面积
6．C
解析：C
【解析】
试题分析：该几何体为一个侧面与底面垂直，底面为正方形的四棱锥（如图所示），其中底面边长为，侧面平面，点在底面的射影为，所以
,所以,,,,底面边长为，所以最长的棱长为，故选C.
考点：简单几何体的三视图．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求
得k 的范围.
【详解】
如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半
圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，
设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，
AD 221k =+，解得512
AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
. 故选：D
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．
【详解】 由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323
⨯
⨯⨯⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′­BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.
【详解】 设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，
因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD
又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形 所以DE 为球体的半径
3DE = 2343S ππ== 故选A
【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．
【详解】
把平面展开图还原原几何体如图：
由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；
CN 与BE 平行，故②错误；
连接BE ，则BE CN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；
由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．
∴正确命题的个数是2个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知可得三角形ABC 为直角三角形，斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆圆心，利用三棱锥O ABC -的体积，求出O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．
【详解】
在ABC 中，∵2AB =，4AC =，25BC =AB AC ⊥，
则斜边BC 的中点O '就是ABC 的外接圆的圆心，
∵三棱锥O ABC -的体积为43
， 11424323
OO '⨯⨯⨯⨯=，解得1OO '=，221(5)6R =+= 球O 的表面积为2424R ππ=．
故选C ．
【点睛】
本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.
12．B
解析：B
【解析】
试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
二、填空题
13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析：3π
【解析】
【分析】
利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．
【详解】
先把三棱锥P ABC -3,所以球的半径为32
， 所以球的表面积为2
34π3π⨯=⎝⎭
．
【点睛】
本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：222l a b c =++（其中,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．
14．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上 解析：2 【解析】
【分析】
首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.
【详解】
当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，
当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度， ∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，
点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，
∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，
连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，
∴点C 到BD 的距离的最小值22
CO =.
故答案为：
22
【点睛】 本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.
15．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得
因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个 解析：20π
【解析】
【分析】
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =
PB =PBC 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径
R ===O 的表面积． 【详解】
本题主要考查空间几何体．
由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，
2PA AB ==，4AC =，PC =PB =
因为PBC 为直角三角形，
因此BC =BC =（舍）．
所以只可能是BC =
此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，
所以平面ABC 所在小圆的半径即为22
AC r =
=， 又因为2PA =，
所以外接球O 的半径R === 所以球O 的表面积为24π20πS R ==．
【点睛】
本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．
16．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1
解析：4
【解析】
【分析】
将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数．
【详解】
解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1．
第一条：AC 1是满足条件的直线；
第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线；
第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线；
第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=，AC 4是满足条件的直线．
故答案为4．
【点睛】
本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．
17．②④【解析】【分析】对每一个选项分析判断得解【详解】根据已知可得面β和面γ可成任意角度和面α必垂直所以直线m 可以和面β成任意角度①不正确；l ⊂γl⊥m 所以l⊥α②正确；③显然不对；④因为l ⊂βl⊥α 解析：②④
【解析】
【分析】
对每一个选项分析判断得解.
【详解】
根据已知可得面β和面γ可成任意角度，和面α必垂直．所以直线m 可以和面β成任意角度，①不正确；l ⊂γ，l⊥m，所以l⊥α，②正确；③显然不对；④因为l ⊂β，l⊥α，所以α⊥β，④正确．
故答案为②④
【点睛】
本题主要考查空间线面垂直和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则
解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
由题意可知，曲线C 为圆()()22
111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可
知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.
【详解】
对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，
对于曲线
()2
:111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥，
曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，
则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：
当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =， 当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.
结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
19．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面
PACP A∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A
解析：菱形
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．
∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形
∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形
20．①③④【解析】【分析】利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④【详解】对于①如下图所示由于则四边形为平行四边形则面面所以平面故①正确； 解析：①③④
【解析】
【分析】
利用线面平行的判定定理判断①；由异面直线所成角判断②；由线面垂直的性质判断③；由面面平行的判定定理判断④.
【详解】
对于①，如下图所示，由于1111,DD BB DD BB =，则四边形11DD B B 为平行四边形，则11D B BD
11D B ⊂面11D B C ，BD ⊄面11D B C ，所以BD
平面11CB D ，故①正确；
对于②，由于AD BC ∥，则直线AD 与1CB 所成角为145B CB ∠=︒，故②错误； 对于③，1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，则1AA BD ⊥，故③正确；
对于④，在正方体中，1111,AA CC AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形 所以1111,AC AC AC ⊄平面1ACD ，AC ⊂平面1ACD ，所以11A
C ∥平面1ACD
同理1A B 平面1ACD ，1111111,,AC A B A AC A B ⋂=⊂平面11A BC
所以平面11A BC ∥平面1ACD ，故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】
本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，利用线面垂直的性质证明线线垂直，异面直线所成角，属于中档题.
三、解答题
21．（1）证明见解析（23【解析】
【分析】
（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明A E '⊥面A BC '，再根据直线与平面垂直的性质可得A E BC '⊥；
（2）依题意得就是直线A B '与面BCDE 所成角，延长EO 交BC 于H ，连接A H '，在直角三角形A EH '中得60A EH '=︒，在直角三角形A EO '中得32
A O '=，在直角三角形A O
B '中得3sin A BO '∠=
. 【详解】 （1）证明：∵A E A B ''⊥，A E A C ''⊥
又∵A B A C A '''⋂=
∴A E '⊥面A BC '
∴A E BC '⊥.
（2）∵点A '在底面上的射影为O .
∴AO '⊥面BCDE
∴A BO '∠就是直线A B '与面BCDE 所成角.
延长EO 交BC 于H ，连接A H '
如图：
∵A E BC '⊥，AO BC '⊥
且A O A E A '''⋂=
∴BC ⊥面A EO '
∴BC EO ⊥
∵E 为AD 中点
∴H 为BC 中点
∵1A E '=，2EH =
由（1）知A E A H ''⊥
∴60A EH '=︒ ∴32
A O '= ∴3
32sin 2A O BO A A B '∠==''=所以直线A B '与平面BCDE 3【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题.
22．（1）证明见解析（2）26
-
【解析】
【分析】
（1）由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE ∥BC ，故而DE ⊥平面ACD ，从而得证面面垂直；
（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.
【详解】
（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，
∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
∴DC ⊥BC ，又DC ∩AC ＝C ，
∴BC ⊥平面ACD ，
∵DC ∥EB ，DC ＝EB ，
∴四边形DCBE 是平行四边形，∴DE ∥BC ，
∴DE⊥平面ACD，
又DE⊂平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE.
（2）当C点为半圆的中点时，AC＝BC＝22，
以C为原点，以CA，CB，CD为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则D（0
，0，1），E（0，22，1），A（22，0，0），B（0，22，0），
∴AB=（﹣22，22，0），BE=（0，0，1），DE=（0，22，0），DA=（22，0，﹣1），
设平面DAE的法向量为m=（x1，y1，z1），平面ABE的法向量为n=（x2，y2，z2），
则
m DA
m DE
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，
n AB
n BE
⎧⋅=
⎨
⋅=
⎩
，即11
1
220
220
x z
y
⎧-=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，22
2
22220
x y
z
⎧-+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
令x1＝1得m=（1，0，22），令x2＝1得n=（1，1，0）.
∴cos
12
6
32
m n
m n
m n
⋅
===
⨯
<，>.
∵二面角D﹣AE﹣B是钝二面角，
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为
2
6 -.
【点睛】
本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.
23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取PD中点G，连接AG、FG，由题意结合中位线性质可得//
FG AE且
FG AE
=，即可得四边形FGAE为平行四边形，进而可得//
FE AG，再由线面平行的判定即可得证；
（Ⅱ）由线面垂直的性质和正方形的性质可得DO⊥平面PAC，进而可得DO AF
⊥，由平面几何知识可得AF PO
⊥，再由线面垂直的判定即可得证.
【详解】
（Ⅰ）证明：取PD中点G，连接AG、FG，
E ，
F 分别为AB ，PC 的中点，底面ABCD 为正方形
∴//FG CD 且12FG CD =，//AE CD 且12AE CD =， ∴//FG AE 且FG AE =，∴四边形FGAE 为平行四边形，
∴//FE AG ,
又FE ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，
∴//EF 平面PAD .
（Ⅱ）证明：底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，
∴PA DO ⊥，AC DO ⊥，
PA AC A =，∴DO ⊥平面PAC ， ∴DO AF ⊥，
在PAC 中，设PO AF H =，如图，
由题知90PAC ∠=， O ，F 分别为AC ，PC 的中点，
∴AF FC =即CAF FCA ， 设PA a =，则2AC a =，2AO =， ∴APO ACP ∽，∴APO
PCA ， ∴90AHP ∠=即AF PO ⊥，
又PO OD O =，∴AF ⊥平面POD .
【点睛】
本题考查了线面平行和线面垂直的判定，考查了空间思维能力，属于中档题.
24．（1）见解析；（23 【解析】
（1）在平面ABC 中，过点B 作棱AC 的垂线，垂足为D ，平面11AAC C ⊥平面
ABC ，∴ BD ⊥平面11AAC C .
在平面11AA B B 中，过点B 作棱1AA 的垂线，垂足为E ，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ，∴BE ⊥平面11AAC C .
过点B 与平面11AAC C 垂直的直线有且只有一条，∴BE 与BD 重合，又∵平面ABC
平面11AA B B AB =,∴BE 与BD 重合于AB ，所以AB ⊥平面11AAC C .
（2）设BM 的中点为Q ，连接PQ ，NQ ，
点P 为棱BC 的中点，∴PQ ∥CM 且PQ =12
CM ， 1AA ∥1CC ，∴PQ ∥AN ，∴P 、Q 、N 、A 四点共面，
∵AP ∥平面BMN ，∴AP ∥NQ ，
∴四边形PQNA 是平行四边形，∴PQ =AN ，
∵M 为1CC 的中点且12AB AC AA ===，
∴1CM =，∴PQ =AN =
12， 设梯形ACMN 的高为h ，
2AB =， ∴111132×2322B ACMN h V h -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⨯==，∴3h = ∴13sin h A AC AC ∠=
=,∴1A AC ∠3 25．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG ，先证明四边形ABCE 为平行四边形，再通过证明//OG DC ，即可得到//DC 平面GBE ；
（2）通过证明AC ⊥平面DFH ，即可得到DF AC ⊥.
【详解】
（1）连接AC 交BE 于点O ，连接OG .
因为//AB CD ，12
AB AD BC CD a ===
=， E 为CD 中点 所以AB CE =，即四边形ABCE 为平行四边形
所以O 为AC 的中点
因为G 分别为AD 的中点，
所以//OG DC ， 又因为OG ⊂平面GBE ，DC ⊄平面GBE ，
所以//DC 平面GBE ；
（2）取AE 中点H ，连接,DH FH .
因为,F H 分别为,AB AE 中点，所以//FH BE ，
易知，四边形ABCE 为菱形，所以AC BE ⊥，
所以AC FH ⊥，
又因为DA DE =，H 为AE 中点，
所以DH AE ⊥，
又平面DAE ⊥平面ABCE ，
所以DH ⊥平面ABCE ，
所以DH AC ⊥，
又因为DH FH H ⋂=，
所以AC ⊥平面DFH ，则DF AC ⊥.
【点睛】
本题主要考查线面平行和线线垂直的判定，考查学生的空间想象能力和推理证明能力，体现了数形结合的数学思想.
26．（1）证明见解析.（2）6
π 【解析】 【分析】 （1）利用线面垂直的判定和性质可证得1AC ⊥平面1A BC ，由三角形中位线的性质可证得结论；
（2）以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法可求得结果.
【详解】
（1）连接11,AC AB ，
1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC CC ∴⊥，
又BC AC ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面11ACC A ，BC ∴⊥平面11ACC A ， 1AC ⊂平面11ACC A ，1BC AC ∴⊥，
由题意知侧面11ACC A 为正方形，11
AC AC ⊥∴， 又1,A C BC ⊂平面1A BC ，1AC BC C =，1AC ∴⊥平面1A BC .
,M N 分别为111,AB B C 中点，1//MN AC ∴，MN ∴⊥平面1A BC .
（2）以C 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
MN ⊥平面1A BC ，MN →∴为平面1A BC 的法向量，
设12AC BC CC ===，则()0,2,0B ，()10,0,2C ，()1,1,1M ，()0,1,2N ，
()10,2,2BC →∴=-，()1,0,1MN →=-，
设直线1BC 和平面1A BC 所成角为θ
，则111sin 2
BC MN
BC MN θ→→
→→⋅===⋅， 又0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，6πθ∴=，即直线1BC 和平面1A BC 所成角为6π. 【点睛】
本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解直线与平面所成角的问题；涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.。