福建省晋江市季延中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题文

福建省晋江市季延中学20212021学年高二数学下学
期期中试题文
考试时刻：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 若复数满足(34)z i i =+，(i 为虚数单位）则z 的实部为（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4
2.有一段“三段论”推理：关于可导函数()f x ，若()f x 在区间(,)a b 上是增函数，则'()0f x > 对(,)x a b ∈恒成立，因为函数3()f x x =在R 上是增函数，因此2
'()30f x x =>对x R ∈恒成立． 以上推理中( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．推理正确 3．直线23(1为参数）
－=+⎧⎨
=+⎩
x t
t y t 上对应0,1==t t 两点间的距离是 ( ) A ． 1 B.10 C ． 10 D ．2 2
4．已知圆锥曲线的参数方程为：1(1为参数）
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
x t t t y t t ，则的离心率为( ) A ．
B ．1
C 2
D ．1
2
5．若直线2sin 30 1sin 30x t y t =-︒
=-+︒⎧⎨
⎩
（t 为参数）与曲线22ρ=B ，C 两点，则BC 的
值为（ ）
A ．27
B 60
C ．72
D 306．在极坐标系中，圆cos 3πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的圆心的极坐标为（ ） A. 1,23π⎛⎫-
⎪⎝⎭ B. 1,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,3π⎛⎫
⎪
⎝⎭
7．设2a =
，73b =，62c =，则a ，b ，c 间的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
8．设a ，b ，c 大于0，则3个数
a b ，b c ，c
a
的值（ ） A ．至多有一个不大于1 B ．都大于1 C ．至少有一个不大于1 D ．都小于1 9．若实数x 、y 满足： 2
2
916144x y +=，则10x y ++的取值范畴是（ ） A. [5， 15] B. [10， 15] C. [15-， 10] D. [15-， 35] 10．在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到如下数据：
x
4 m
8 10 12 y
1
2
3
5
6
由表中数据求得y 关于x 的回来方程为0.65.8ˆ1y
x =-，则()4,1， (),2m ， ()8,3这三个样本点中落在回来直线下方的有( )个
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
11.执行如图的程序框图,若9p =,则输出的S = （ ） A ．
910 B ．718 C ．89 D ．2
5
12.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长为()1,2,3,4i a i =，此四边形内在一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若
3124
1357
a a a a k ====，则12342357S
h h h h k
+++=
.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,
若
31241357S S S S K ====,1234357H H H H +++=（ ）
.A. 2V
K B. 2V K C. 3V K
D. 3V K 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．在复平面内，复数(
)
2
28i z m m m =+--对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范畴是__________．
14.洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传奇中有神龟出于洛水，
其甲壳上有此图案，如图结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足,以五居中，洛书中包蕴的规律奥妙无穷，比如： 222222492816++=++，据此你能得到类似等式是__________．
15．曲线1C 的极坐标方程2
cos sin ρθθ=，曲线2C 的参数方程为3 1x t
y t =-=-⎧⎨⎩
，以极点为
原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点最近的距离为__________．
16．德国数学家科拉茨1937年提出一个闻名的猜想：任给一个正整数n ，假如n 是偶数，就将它减半（即2
n ）；假如n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复如此的运算，
通过有限步后，一定能够得到 1.关于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：假如对正整数n （首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1能够多次显现），则n 的所有不同值的个数为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(10分) 已知复数z 满足: 13z i z =+-． （1）求z 并求其在复平面上对应的点的坐标；
（2）求22
(1)(34)2i i z
++的共轭复数.
18.（12分）为了解青年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：
已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415
． （1）请将上面的列表补充完整.
（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由.
（3）4名调查人员随机分成两组，每组2人，一组负责问卷调查，另一组负责数据处理，
求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率． 参考数据：
（参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++）
19．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：2
2
(1)1x y -+=，直线l 通过点(,0)P m ，且
倾斜角为
6
π
，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且1PA PB ⋅=，求实数m 的值．
20．（12分）已知函数()2
2
1x f x x
=+. （1）分别求()()()1112,3,4234f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值，并归纳猜想一样性结论（不要求证明）；
()()()()()()222
111(2)2223......22018][......]232018111[23......2018].232018
求值[⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫+++++
++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭++++f f f f f f f f f
21.（12分）在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy .
（1）求1C 和2C 的参数方程； （2，将1l 逆时针旋转
，且1l 与1C 交
于,O P 两点，2l 与2C 交于,O Q 两点，求取得最大值时点P 的极坐标.
22.(12分) 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率12e =，右焦点到右顶点距离为1.
(1)求椭圆C 的方程；
(2),A B 两点为椭圆C 的左右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，记直线,PA PB 斜率分别为,PA PB k k ，求PA PB k k ⋅的值.
(3)由此，你还能提出什么一样性的结论？（不要求证明）
季延中学2020年春高二年期中考试文科数学试卷
参考答案：
1--12：DABAD ADCAB DC
13. ()2,0-
14. 222222438276++=++ 15.
16.7
17.（1）设(,)z x yi x y R =+∈
13()(1)(3)i x yi x y i =+-+=-+-，
103x y
=-∴=-⎪⎩，解得
4
433x z i y =-⎧∴=-+⎨
=⎩
，
其在复平面上对应的点的坐标为(4,3)-…………5分 （2）由（1）知
22(1)(34)2(92416)247433422(43)43i i i i i
z i i
z i i
++⨯+-+=-+∴===+-+-，
i z 43-=.。

10分
18. （1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，15
4
302=+x ，6x =
（2）由已知数据可求得：2
2
30(61824)8.5227.8791020822
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ．．．．．．．．．．．．．．7分 （2）设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情形如下表
分组的情形总有6中，工作人员甲 负责收集数据且工作人员乙负责处理数据占两种， 因此工作人员甲负责收集数据且工作人员处理数据的概率是21
63
P ==． ．
．．
．．．．．
12分 19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）曲线C 的一般方程为：2
2
(1)1x y -+=，即2
2
2x y x +=，∴2
2cos ρρθ=,
∴曲线C 的极坐标方程为：2cos ρθ=………………………………………………（3分）
直线l
的参数方程为：(12
x m t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)……………………………………（6分） （Ⅱ）设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入2
2
2x y x +=中得：
2220t t m m +-+-=……………………………………………………（8分）
∴2
122t t m m ⋅=-…………………………………………………………………（9分）
依题意得：2
21m m -=，…………………………………………………………（10分） 解得：1m =，1m =+1m =12分）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
20：（1）利用函数()2
2
1x f x x =+，代入运算，可得结论；（2）利用
()()222211111x f x f x x x x ⎛⎫
+=+= ⎪+⎝⎭
， ()11f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，即可得出结论. 试
题
解
析
：
（1）
∵
()2
2
1x f x x =
+，∴
()2
222222
112212212121212112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
， 同理可得()()1131,4134f f f f ⎛⎫⎛⎫
+=+= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，猜想()11f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
. （2）∵()()222211111x f x f x x x x ⎛⎫
+=+= ⎪+⎝⎭
，又由（1）得， ()11f x f x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，则 ()()()()()()22
2
1111
11
2223220172320172320172
32017
f f f f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫++
++
++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭ ()()][()()2
21111112233222333f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
()()2
111201720172201640322017
20172017f f f f ⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫+++=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
. 21（Ⅰ）2{
(22x cos y sin βββ==+为参数）;（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为()2
224x y -+= 因此1C 参数方程为22{
(2x cos y sin α
αα
=+=为参数）.
曲线2C 的直角坐标方程为()2
224x y +-=. 因此2C 参数方程为2{
(22x cos y sin β
ββ
==+为参数）
（Ⅱ）设点P 极坐标为()1,ρα,即14cos ρα=,
点Q 极坐标为
则
0,2
πα⎛∈ ⎝
取最大值，现在P 点的极坐标为22．(1) 由题有
1
,12
c a c a =-=，解得2,1a c ==，因此2223b a c =-=，因此椭圆C 的方程为22
143
x y +=.----------------(2分) 参数方程..............4分
(2)由(1)有,A B 两点坐标为(2,0),(2,0)A B -， 设P 坐标为(,)x y ，则直线,PA PB 斜率分别为,22
PA PB y y
k k x x ==
+-， 因此2
24
PA PB
y k k x ⋅=-，----------------(8分) 又因为点P 在椭圆C 上，因此22143x y +=，化为222
3(4)3(1)44
x x y -=-=
， 因此223(4)
3444
PA PB x k k x -⋅==-
-.----------------(10分) (3)12分。