江苏省无锡一中2010-2011学年高二下学期期中考试(数学理)

江苏无锡一中2010—2011学年度高二（下）期中考试
数学（理）试题
命题：杜惠锋 审核：谢文
一、填空题：（共15小题，每小题5分，共75分）
1．“因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形ABCD 的对角线互相垂直”，补充以上推理
的大前提为 ．
2．已知复数134z i =-和24z i =-在复平面内所对应的向量分别为12,OZ OZ （其中O 为坐标原点），记向量
12Z Z 所对应的复数为z ，则z 的共轭复数为_____________．
3．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购买方案共有______种．
4．87868+除以87所得的余数为________．
5．已知复数10543i i
-+的虚部为m ，则3m 的值为________． 6．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60︒”时， 假设部分的内容应为____________________________． 7．在72
)1)(2(+-x x 的展开式中，2x 项的系数为 ．（用数字作答） 8．已知在ABC ∆中，,,a b c 为内角,,A B C 所对的边长，r 为内切圆的半径，则ABC ∆
的面积1()2
S a b c r =++⋅，将此结论类比到空间，已知在四面体ABCD 中， ______________________________________________，则________________________．
9．已知复数51(1)z i i =-，复数z 满足1z i -=，则1z z -的最大值为_________．
10．已知在二项式321()n x x
-的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 则第四项为_____________．（系数用数字作答）
11．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主
任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有_________种．
（用数字作答）
12．已知9992399901239992)x a a x a x a x a x =++++
+，
则22024998135999()()a a a a a a a a ++++-+++
+13．如右图，某地有南北街道5条，东西街道7角的邮局A 出发，送信到西南角的B 地，且途经C 路程最短，则共有__________种不同的走法．（用数字作答）
14．有两排座位，前排9个座位，后排10个座位，现安排2规定前排中间的3个座位不能坐，且这2人不能相邻，
则不同排法的种数为_________．（用数字作答）
15．已知实数0x >，从不等式221442,322x x x x x x x +
≥+=++≥启发我们推广为()1()n x n n N x
++≥+∈，则“（ ）”中应填写___________．
二、解答题：（共6题，共85分）
16．（本题共2小题，第一小题4分，第二小题8分，共12分）
在学习二项式定理时，我们知道杨辉三角中的数具有两个性质：① 每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，；② 图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．我们也知道，性质①对应于组合数的一个
性质：m n m n n C C -=．
（1）试写出性质②所对应的组合数的另一个性质；
（2）请利用组合数的计算公式对（1）中组合数的另一个性质作出证明．
17．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题4分，第三小题7分，共15分）
已知复数22
(6)(2)()z m m m m i m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A ．
（1）若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值；
（2）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；
（3）求z 的最小值及此时实数m 的值．
18．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）
用5,4,3,2,1,0这六个数字组成无重复数字．．．．．
的正整数． （1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？
（2）比4301大的四位数有多少个？
（3）能被3整除的四位数有多少个？
注：以上结果均用数字作答
19．（本题共12分）
试问函数()sin f x x x =+是否为周期函数？请证明你的结论．
20．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）
在
n -的展开式中，已知第5项的系数与第3项的系数之比是3:56． （1）求展开式中所有项的系数之和及奇数项的二项式系数之和；
（2）求展开式中的所有有理项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项．
注：所涉及的系数均用数字作答
21．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题6分，第三小题4分，共14分） 已知)(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++
=N n n
n f ． 经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32),222f f f f f =>>>>，通过观察，我们可以得到一个一般性的结论．
（1）试写出这个一般性的结论；
（2）请证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数a ，试问是否存在正整数m ，使得111123a m +
++⋅⋅⋅+>？ 若存在，请给出符合条件的正整数m 的一个值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题：（共15小题，每小题5分，共75分）
1．菱形的对角线互相垂直 2．13i - 3．7 4．7 5．8-
6．三角形的三个内角都大于60︒ 7．41-
8．已知在四面体ABCD 中，1234,,,S S S S 分别为四个面的面积，r 为内切球的半径， 则四面体ABCD 的体积12341()3
V S S S S r =+++⋅．
91 10．15120x - 11．420 12．1 13．90 14．214 15．n n
二、解答题：（共6题，共85分）
16．（本题共2小题，第一小题4分，第二小题8分，共12分）
（1）11m m m n n n C C C -+=+………………………………………………………………………4分
（2）因为1(1)!!(1)!
m
n n C m n m ++=+-……………………………………………………………2分 1!!!()!(1)!(1)!
m m n n n n C C m n m m n m -+=+--+-………………………………2分 ![(1)]!(1)(1)!!(1)!!(1)!!(1)!
n n m m n n n m n m m n m m n m +-+++===+-+-+-………3分 所以11m m m n n n C C C -+=+………………………………………………………………1分
17．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题4分，第三小题7分，共15分）
（1）由2256020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩
…………………………………………………………………2分 解得6m =-……………………………………………………………………………2分 注：未舍解的扣2分
（2）由226020
m m m m ⎧+-<⎨+->⎩……………………………………………………………………2分 解得32m -<<-或12m <<………………………………………………………2分 （3）22222(6)(2)z m m m m =+-++-………………………………………………1分 令29
2[,)4
m m t +-=∈-+∞，……………………………………………………2分 则22224162(2)8z t t t =-+=-+………………………………………………2分
所以当2t =即m =时，……………………………………………………1分
z 有最小值．……………………………………………………………………1分
18．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）
（1）四位数：300个………………………………………………………………………3分
四位偶数：156个……………………………………………………………………3分
（2）83个……………………………………………………………………………………5分
（3）96个……………………………………………………………………………………5分
19．（本题共12分）
解：函数()sin f x x x =+不是周期函数．………………………………………………2分
证明如下：（反证法）
假设函数()f x 的一个周期为(0)T T ≠，则有()()f x T f x +=成立，
即sin()sin T x T x ++=对一切实数x 均成立．……………………………………3分 取0x =和x π=得，sin 00sin 0
T T T T T +=⎧⇒=⎨-=⎩………………………………………4分
此与0T ≠相矛盾………………………………………………………………………1分 所以假设不成立…………………………………………………………………………1分 于是可知，函数()sin f x x x =+不是周期函数………………………………………1分
20．（本题共3小题，第一小题6分，第二小题5分，第三小题5分，共16分）
（1）由4422(2):(2)56:3n n C C --=，解得10n =………………………………………2分
所有项的系数之和为10(12)1-=……………………………………………………2分 奇数项的二项式系数之和为1012
512-=……………………………………………2分 （2
）5510611010((2)r r
r r r r r T C C x --+==-………………………………………2分 556
r -应为整数，r 可取0,6...............................................................1分 于是有理项为51T x =和713440T = (1)
（3）由1110101110102222
r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎨≥⎩…………………………………………………………………2分 注：等号不写扣1分 解得223193r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩
，于是r 只能为7………………………………………………………2分 所以系数绝对值最大的项为5
6815360T x -=-………………………………………1分
21．（本题共3小题，第一小题4分，第二小题6分，第三小题4分，共14分）
（1）1(2)12
n f n ≥+（当且仅当1n =时取等号）………………………………………4分 注：漏等号扣1分
（2）证明：（数学归纳法）
1︒ 当1n =时，显然成立
2︒ 假设当n k =时成立，即11111112322
k k ++++≥+………………………2分 当1n k =+时，左边11111111123221222
k k k k +=++++++++++ 111111221222
k k k k +≥+++++++ 1112111112222
k k k k k +++>+++++共项
11122
k =++=右边 即当1n k =+时，也成立．……………………………………………………3分
由1︒2︒知，1(2)12n f n ≥+
成立．………………………………………………1分 （3）存在……………………………………………………………………………………1分 可取22a m =…………………………………………………………………………3分。