第1章插值

显然有 又由
(t) f (t) L1(t) k(x)(t t0 )(t t1) (x0 ) (x1) 0 (x) 0 说明函数有三个零点，不妨设 x0 x x1
分别在两个区间上应用洛尔定理：[x0 , x],[x, x1] ，可知导函数 (x) 在每个区间上至少有一个零点，不妨设为 1,2 ，即
且 要求插值函数的三个插值基函数，满足如下性质：
函数值 节点
函数
x0
l0(x)
1
l1(x)
0
l2(x)
0
x1
x2
0
0
1
0
0
1
注意：问题的关键是求出三个基函数。
分析：由于
l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0 , l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0 , l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1 .
2!
2
你认为上面计算有问题吗？
内插与外插：一般内插的效果优于外插。 例：给定
sin11 0.190809 ,sin12 0.207912 ,sin13 0.224951 构造二次插值函数并计算 sin1130 ?
解：由
L2
(x)
y0
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
R(x)
f
(x) L1(x)
1 2!
f ( )(x x0 )(x x1),
[a, b]
证明：令 R(x) f (x) L1(x) 因为 R(x0 ) 0, R(x1) 0,
说明x0 ，x1是 R(x) 的两个零点，所以可设
R(x) k(x)( x x0 )( x x1) 说对任何一个固定的点 x ，引进辅助函数
返回本节
§1.2 拉格朗日插值多项式
1.2.1 线性插值 1.2.2 二次插值 1.2.3 n次插值 1.2.4 拉格朗日算法
返回本章
1.2.1 线性插值(n=1)
已知函数 f(x) 有两个插值点(x0 , y0 ), (x1, y1) ，构造线性插值函数
L1(x)=ax + b （1）
使它满足插值条件： L 1(x0) = y0 ,
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
l2 (x)
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
所以二次拉格朗日插值函数
L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
L2 (x)
y0
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
(
2!
)
(
x
xi
1
)(
x
xi
)
sin
2
(x xi1)( x xi )
1 2
(x
xi1)( x
xi )
1 2
( xi1 2
xi
xi
1
)(
xi
1 2
xi
xi )
1 8
( xi 1
xi )(xi
xi 1 )
1 h2 8
1 104 2
返回本节
1.2.3 n次插值
给定 x x0 x1 ···xn y y0 y1 ···yn
不难发现这样 l0(x) 含有 x-x1 , x-x2 两个因子，因此令
l0(x)= λ(x-x1)(x-x2)
只需将 l0(x0)=1 代人上式得
1
(x0 x1)( x0 x2 )
所以有
l0 (x)
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
类似的可以得出 l1(x)， l2(x) :
0, i j
l j (xi) 1, i j
构造n次插值函数
Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+······+ynln(x)
其中
li
(x)
(x x0 ) (xi x0 )
(x ( xi
xi 1 )( xi 1 )(
x xi1) xi xi1)
(x xn ) (xi xn
)
或写成
n
x l j ( x) x x i0
x i
j
i
i j
n
Ln
(x)
y i
li
(x)
i0
插值多项式Ln(x)称为拉格朗日(Lagrange)插值多项式。
类似地有误差公式：
f (n1)
( ) Rn (x) f (x) n (x) (n 1)! n1(x)
n1(x) (x x0 )( x x1)...( x xn )
),
[a,
b]
要求：上述公式证明和线性误差误差的证明类似，自己
完成。
例：给定 sin11 0.190809 ,sin12 0.207912 构造线性插值
函数并计算 sin1130 ?,sin1030 ? ，并估计误差。
解：由
L1(x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
y1
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
y2
(x ( x2
x0 )( x x2 ) x0 )( x2 x1)
L2 (x)
y0
(x 12)(x 13) (11 12)(11 13)
y1
(x (12
11)(x 13) 11)(12 13)
y2
(x (13
11)(x 12) 11)(13 12)
y1
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y2
(x ( x2
x0 )(x x2 ) x0 )(x2 x1)
整理一下讨论过程。
你能由线性及二次插值说说n次插值的表达式吗？
返回本节
二次插值函数误差
回顾线性插值的误差。
R(x)
f
(
3!
)
(
x
x0
)(x
x1
)(x
x2
1...F(xi ) 0, (i 0,1,2, , n) 2...[a,b]F (n1)
证明过程也可类似讨论。
（1） Pn (xi ) f (xi ), Rn (xi ) 0, (i 0,1,2, , n)
说明插值节点都是 Rn (x) 的零点，所以设
Rn (x) K (x)n1 (x)
（2）作辅助函数
F (t) f (t) Pn (t) K (x)n1 (t)
可以看出有以下特点：
L1
(10.5)
0.19080910.5 12 1112
0.20791210.5 11 12 11
0.182236
因为
R(x)
f
(
2!
)
(
x
x0
)(x
x1
),
[a,
b]Leabharlann R(x) sin (x 11)(x 12)
2!
| R(11.5) | sin (11.5 11)(11.5 12) 1 0.5 (0.5) 0.125
L1(x1) = y1 ,
为确定 a , b ，把两点代入方程（1），得
aaxx01
b b
y0 y1
只要 x0 不等于 x1，即可以解出 a，b。从图上看出，就是用真线L 1近似
代替 f(x)
不难算出：
a y0 y1 x0 x1
b x0 y1 x1 y0 x0 x1
解之有
L1(x)
将 sin11 0.190809 ,sin12 0.207912 将代入上式，有
L1 ( x)
0.190809
x 12 11 12
0.207912
x 11 12 11
所以有
11.5 12
11.5 11
L1(11.5) 0.190809
1112
0.207912 12 11
0.199361
插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。在生产 和实验中，函数f(x)或者其表达式复杂不便于计算或者没有解析式而 只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个 简单的而便于计算的函数(x)，使其近似的代替f(x)。
例如：温度变化、化学反应速度、山体的地形、股市变化、销售情 况等函数情况。
在多项式插值中，设所求的插值函数为：
Pn (x) a0 a1x a2x2 anxn
(1)
这时插值问题变为:求 n 次多项式Pn(x)，使满足插值条件
Pn(xi ) yi, i 0,1,2, ,n
(2)
将（2）代入（1）得具有方程组 考察它的系数行列式
aa00
a1x0 a1x1
a2
x
2
如何建立函数来逼近或近似地代替这些已知函数呢？
数学上常用的方法有： ➢ 插值 ➢ 一致逼近 ➢ 均方逼近（最小二乘）。 本章讨论插值法。
返回本节
1.1.2 插值函数
设由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x) 在互异点x0 , x1, ... , xn 处 的值 函数值为 y0 , y1 , … , yn ,
)
(
x
x0
2! )(x
x1
),
[a,
b]
返回本节
1.2.2 二次插值
类似地，已知插值点 (xi , yi ), i 0,1,2
构造函数 f(x)的插值函数 L2(x)
注意：类似于线性插值的特点 L1(x) yol0 (x) y1l1(x)
不妨构造 L2 (x) y0l0 (x) y1l1(x) y2l2 (x)
(1) 0, (2 ) 0,
继续对 (x) 在区间 [1,2 ] 应用洛尔定理，至少有一个
使
( ) 0
现在考察函数的二阶导数
(t) f (t) L1(t) k(x)(t t0 )(t t1)
(t) f (t) 2!k(x)
所以有
k(x) f ( )
R(x)
f
(
2!
x x x 1
2 ... n
n
n
n
n i1
(xi xj) i1 j0
由于xi互异，所以上式右端不为零，从而方程组的解 a0 ,a1 ,…an 存在且 唯一； 所以这样的多项式 Pn(x)存在且唯一 。
遗憾的是方程组(1)是病态方程组，当阶数n越高时，病态越重。为 此 我 们将从另一途径来寻求获得Pn(x) 的方法。
基函数
L1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
所以线性插值函数是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数 就是对应点上的函数值。
显然两个基函数有如下特点：
l0 (x0) 1 l0(x1) 0
l1(x0) 0 l1(x1) 1
因为
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
数的计算代替。
自然问：这样构造的插值函数是否存在？是否唯一？如何构造？
构造的插值函数可以是什么类型的？三角函数？对数函数？
返回本节
1.1.3 多项式插值函数
虽然插值函数种类可以有多种，但由于代数多项式具有形式简单和一 些良好的特性，例如多项式曲线是光滑的，且容易计算它的导数与积分， 所以实际上常选用代数多项式作为插值函数。
构造一个简单函数 (x) 作为函数 y=f(x) 的近似表达式
y= f(x) (x)
（1）
使
(x0)=y0 , (x1)=y1 , , (xn)=yn ,
则称函数 (x) 为插值函数； f(x) 称为被插值函数； x0 , x1, ... , xn 称为插 值节点；（1）式称为插值条件。
这样对函数 y=f(x)在区间 [a,b] 上的各种计算，就可以对插值 (x) 函
0
a2x12
an
x
n
0
an
xn 1
y0 y1
a0
a1xn
a2
x
2
n
an
x
n
n
yn
而ai(i=0,1,2,…,n)的系数行列式是Vandermonde行列式
x x x 1
2 ... n
0
0
0
1
2 ... n
x x x V( , ,..., )
1
1
1
x x x 0 1 n ... ... ... ... ...
至此我们有 L1(x) f (x) ，显然近似比较粗糙；我们问近似程度有多高？
如果度量呢？
线性插值的误差
定理：记 L1(x) 为以 (x0 , y0) , (x1,y1) 为插值点的插值函数，x0, x1 在区间 [a,b]上。这里 y0 = f(x0) , y1=f(x1)，设 f(x) 一阶连续可导， 二阶导数存在(a,b)，则对任意给定的 x，有以下的
第1章 插 值
1.1 插值 1.2 拉格朗日插值 1.3 牛顿插值 1.4 埃尔米特插值 1.5 分段插值 1.6 三次样条插值 本章小结 思考题
§1.1 插 值
1.1.1 问题的提出 1.1.2 插值函数 1.1.3 多项式插值
返回本章
§1.1 插值
1.1.1 插值问题的提出
例：要制作三角函数 sinx 的函数值表，已知表值有四位小数，要求用 线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试决定其最大允许步长。
分析：要求表值有四位小数，也即要求表值有四位有效数字，也即表 值的舍入误差为末位的半个单位即。
也即要求截断误差满足该条件。 线性插值的误差为截断误差
R(x)
f
x0 x0
y1 x1
x
x0 y1 x1 y0 x0 x1
整理得：
L1 ( x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
(2)
可以看出上式是两个线性函数的组合： x x1 , x x0 x0 x1 x1 x0
不妨设
l0 (x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0