专题14 推理与证明、新定义(第01期)-决胜2016年高考全国名校试题理数分项汇编(北京特刊)(解析版)

一．基础题组
1.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）理8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为012a a a ，其中{0,1}i a ∈（0,1,2i =），传输信息为00121h a a a h ，001h a a =⊕，102h h a =⊕，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．例如原信息为111，则传输信息为01111．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ ）
（A ）11010 （B ）01100 （C ）10111 （D ）00011
【答案】C
考点：1.创新题;2.推理.
2.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试理7）“指数函数(1)x y a a =>是增函数，
(1)y x αα=>是指数函数，
所以y x α=(1)α>是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是（ ） A ．推理完全正确 B.大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．推理形式不正确
【答案】C
【解析】
试题分析：以上推理中，(1)y x α
α=>是幂函数，不是指数函数，所以小前提不正确，故选C. 考点：演绎推理. 二．能力题组
1.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理8）有四张卡片，每张卡片有两个面，一
个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母.现规定：当卡片的一面为字母P 时，它的另一面必须是数字2. 如图，下面的四张卡片的一个面分别写有,
,2,3P Q ，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（ ）
A.第一张，第三张
B.第一张，第四张
C.第二张，第四张
D.第二张，第三张
【答案】B 考点：推理与证明 2.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试理16）“整数对”按如下规律排成一列: (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4), (2,3),(3,2),(4,1),……,则第50个数对是 .
【答案】)6,5(
【解析】
试题分析：根据题中所给的“整数对”的规律可以发现，和为2的整数对有1个，和为3的有2个，以此类推，和为1n +的整数对有n 个，所以有(1)502
n n +≤，解得9n ≤，所以一直到和为10的整数对排完，总共有45个，第50个数对是和为11的第5个，故为)6,5(.
考点：数列的有关问题.
3.（北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）理14）已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：
①1{(,)|}M x y y x
==； ②2{(,)|log }M x y y x ==； ③{(,)|2}x M x y y e ==-； ④{(,)|sin 1}M x y y x ==+．
其中是“垂直对点集”的序号是 ．
【答案】③④
Q P
2 3
对于{(,)|sin 1}M x y y x ==+，结合sin 1y x =+的图象可知，在图象上任取点A ，图象上总存在点B ，使OA OB ⊥，即对任意11(,)x y M ∈，都存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，所以，④是“垂直对点集”；
综上知，答案为③④.
考点：1.集合的概念；2.新定义问题；3.函数的图象和性质.
三．拔高题组
1.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理14）已知平面上的点集A 及点P ，在集合A 内任取一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到集合A 的距离，记作(,)d P A ．如果集合
={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤，点P 的坐标为(2,0)，那么(,)d P A =1；如果点集A 所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集{|0(,)1}D P d P A =<≤所表示的图形的面积为__ __．
【答案】6π+
【解析】
试题分析：根据题意，点P (,)20到线段={(,)|1(01)}A x y x y x +=≤≤最短距离为1，如图所示，
考点：新定义题.
2.（北京市东城区2015届高三5月综合练习（二）理14）如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”．
给出下列四个命题：
① 若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个．
② 若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个．
③ 若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个．
④ 若p q =，则点M 的轨迹是一条过O 点的直线．
其中所有正确命题的序号为 ．
【答案】①②③
考点：1.平面点和直线的位置关系;2.分类讨论思想.
3.（北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试理17）（Ⅰ）证明：
sin 1cos 1cos sin αααα-=+. （Ⅱ）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=，类比上述性质，试写出椭圆22
221x y a b
+=类似的性质． 【答案】（Ⅰ）证明略； （Ⅱ）椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b +=一点00(,)P x y 的切线方程为0
0221x x y y a b
+=. 【解析】
试题分析：第一问应用分析法证明等式即可，第二个类比着可以得出结果，属于基础题，很简单. 试题解析：（Ⅰ）证明：欲证
sin 1cos 1cos sin αααα-=+， 只需证2sin (1cos )(1cos )ααα=-+，
即证22sin 1cos αα=-，
上式显然成立，故原等式成立． ……5分
（Ⅱ）圆的性质中，经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用00(,)M x y
考点：分析法证明等式，类比推理.
：。