高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第四章 平面向量与复数第3课时 平面向量的数量积及平面向量

《最高考系列高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章平面向量与复数第3课时平面向量的数量积
及平面向量
页)
考情分析考点新知
① 理解平面向量数量积的含义及其物理意
义.
②掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量
数量积的运算；能利用数量积表示两个向量
夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量
是否垂直．
①平面向量的数量积及其几何意义，数量积
的性质及运算律，数量积的坐标表示.
②了解用平面向量的数量积可以处理有关
长度、角度和垂直的问题.
1. (必修4P77练习第2(1)题改编)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________．
答案：－3 2
解析：a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
2
2
＝－3 2.
2. (必修4P80练习第3题改编)已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a 与b的夹角为________．
答案：
π
3
解析：∵ cos〈a，b〉＝
a·b
|a||b|
＝
1
2
，∴〈a，b〉＝
π
3
.
3. (必修4P81习题2.4第2题改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．
答案： 3
解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.
4. (必修4P81习题2.4第3(1)题改编)已知两个单位向量e1、e2的夹角为
π
3
，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
答案：－6
解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22.因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝
π
3
，所以b1·b2＝3－2×
1
2
－8＝3－1－8＝－6.
5. (必修4P 84习题4改编)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →
＝0，则该四边形一定是________． 答案：菱形
解析：四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0知其为平行四边形，(AB →－AD →)·AC →＝0即DB →·AC →
＝0知该平行四边形的对角线互相垂直，从而该四边形一定是菱形．
1. 向量数量积的定义 (1) 向量a 与b 的夹角
(2) 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，并规定零向量与任一向量的数量积为0.
2. 向量数量积的性质
设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则 (1) e ·a ＝a ·e .
(2) a ⊥b a ·b ＝0．
(3) 当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a||b|；
特殊的，a ·a ＝|a |2
或|a |＝a·a .
(4) cos θ＝a ·b
|a ||b |
.
(5) |a ·b |≤|a |·|b |. 3. 向量数量积的运算律 (1) 交换律：a ·b ＝b ·a .
(2) 分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .
(3) 数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． 4. 平面向量数量积的坐标表示
(1) 若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.故a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2
＝0.
(2) 设a ＝(x ，y)，则|a |＝x 2
＋y 2
．
(3) 若向量a ＝(x 1，y 1)与向量b ＝(x 2，y 2)的夹角为θ，则有cos θ＝a ·b
|a ||b |
＝
x 1x 2＋y 1y 2x 2
1＋y 2
1·x 2
2＋y 2
2
.
[备课札记]
题型1 向量平行与垂直的充分条件
例1 已知平面向量a ＝(1，x)，b ＝(2x ＋3，－x)，x ∈R . (1) 若a⊥b ，求x 的值；
(2) 若a∥b ，求|a －b|的值． 解：(1) 若a⊥b ，
则a·b ＝(1，x )·(2x＋3，－x)＝1×(2x ＋3)＋x(－x)＝0，
整理得x 2
－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2) 若a∥b ，则有1×(－x)－x(2x ＋3)＝0， 即x(2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.
当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －b ＝(－2，0)， ∴ |a －b|＝（－2）2
＋02
＝2；
当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)， ∴ |a －b|＝22
＋（－4）2
＝2 5. 综上，可知|a －b|＝2或2 5. 变式训练
已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)，x ＝a ＋(t 2
＋1)b ，y ＝－k a ＋1t b ，m ∈R ，k 、t 为正
实数．
(1) 若a∥b ，求m 的值； (2) 若a⊥b ，求m 的值；
(3) 当m ＝1时，若x⊥y ，求k 的最小值．
解：(1) 因为a∥b ，所以1·m－2·(－2)＝0，解得m ＝－4. (2) 因为a⊥b ，所以a·b ＝0， 所以1·(－2)＋2m ＝0，解得m ＝1. (3) 当m ＝1时，a ·b ＝0. 因为x⊥y ，所以x·y ＝0.
则x·y ＝－k a 2
＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1t －k （t 2＋1）a ·b ＋(t ＋1t )b 2＝0.
因为t ＞0，所以k ＝t ＋1
t ≥2，当t ＝1时取等号，
即k 的最小值为2.
题型2 向量的夹角与向量的模
例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1) 求a 与b 的夹角θ； (2) 求|a ＋b|；
(3) 若AB →＝a ，BC →
＝b ，求△ABC 的面积． 解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61，
∴ 4|a |2－4a·b －3|b |2
＝61.
又|a |＝4，|b |＝3，∴ 64－4a·b －27＝61， ∴ a·b ＝－6.
∴ cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－1
2
.
又0≤θ≤π，∴ θ＝2π
3.
(2) 可先平方转化为向量的数量积．
|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2
＝42＋2×(－6)＋32
＝13， ∴ |a ＋b|＝13.
(3) ∵ AB →与BC →
的夹角θ＝2π3，
∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π
3.
又|AB →|＝|a |＝4，|BC →
|＝|b |＝3，
∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×3
2
＝3 3.
备选变式（教师专享）
已知非零向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0 ，向量a 、b 的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a 与c 的夹角为________．
答案：90°
解析：由题意，得c ＝－a －b ，a ·c ＝－a 2－a·b ＝－|a|2－|a||b|cos120°＝－|a|2
＋12
|a||b|＝－|a|2
＋12
|a|·2|a|＝－|a|2＋|a|2
＝0，所以a⊥c ，即a 与c 的夹角为90°.
题型3 平面向量与三角函数的交汇
例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c)·BC →·BA →＋cCA →·CB →
＝0.
(1) 求角B 的大小；
(2) 若b ＝23，试求AB →·CB →
的最小值． 解：(1) 因为(2a ＋c)BC →·BA →＋cCA →·CB →
＝0， 所以(2a ＋c)accosB ＋abccosC ＝0， 即(2a ＋c)cosB ＋bcosC ＝0，
所以(2sinA ＋sinC)cosB ＋sinBcosC ＝0， 即2sinAcosB ＋sin(B ＋C)＝0. 因为sin(B ＋C)＝sinA ≠0， 所以cosB ＝－12，所以B ＝2π
3
.
(2) 因为b 2＝a 2＋c 2－2accos 2π3
，所以12＝a 2＋c 2
＋ac≥3ac，即ac≤4，
所以AB →·CB →
＝accos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，
所以AB →·CB →
的最小值为－2.
备选变式（教师专享）
(2013·山东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝79
.
(1) 求a ，c 的值；
(2) 求sin(A －B)的值．
解：(1) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得b 2＝(a ＋c)2
－2ac(1＋cosB)，又a ＋c ＝6，b ＝2，cosB ＝7
9
，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.
(2) 在△ABC 中，sinB ＝1－cos 2
B ＝
429， 由正弦定理得sinA ＝asinB b ＝22
3
，因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cosA ＝1－sin 2
A ＝13，因此sin(A －B)＝sinAcos
B －cosAsinB ＝
102
27
. 例4 (2013·泰州市期末)已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ、θ∈R .
(1) 求|a|2＋|b|2
的值； (2) 若a⊥b ，求θ；
(3) 若θ＝π
20
，求证：a∥b.
(1) 解：∵ |a |＝cos 2
λθ＋cos 2
（10－λ）θ，
|b |＝sin 2（10－λ）θ＋sin 2
λθ，
∴ |a |2＋|b |2
＝2. (2) 解：∵ a⊥b ，
∴ cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0， ∴ sin[(10－λ)θ＋λθ]＝0，∴ sin10θ＝0， ∴ 10θ＝k π，k ∈Z ，∴ θ＝k π
10，k ∈Z .
(3) 证明：∵ θ＝π
20
，
cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin[(10－λ)θ]
＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，∴ a ∥b .
备选变式（教师专享）
(2013·陕西卷)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx ，－12，b ＝(3sinx ，cos2x)，x ∈R, 设函数f(x)
＝a·b .
(1) 求f (x)的最小正周期.
(2) 求f (x) 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．
解：(1) f(x)＝a·b ＝cosx ·3sinx －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.最小
正周期T ＝2π
2
＝π.
所以f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，最小正周期为π. (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sinx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象知，
f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 所以，f (x) 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.
探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件． 【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)
设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
学生错解：
解： ∵ e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos60°＝2×1×1
2
＝1，
∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)
＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2
＋7)e 1·e 2
＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2
＋15t ＋7.
因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋te 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0， 即2t 2
＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12
.
审题引导： 当(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0时，其夹角一定为钝角吗？ 规范解答： 解： ∵ e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos60°＝2×1×1
2
＝1，(2分)
∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)
＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2
＋7)e 1·e 2
＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2
＋15t ＋7.(4分)
因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0， 即2t 2
＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.(9分)
当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时， 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，
则⎩⎪⎨
⎪⎧2t ＝λ，λt ＝72t 2
＝7
t ＝－
142或t ＝14
2
(舍)．(12分)
故t 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－142，－12.(14分) 错因分析： 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，可得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但由(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，并不能推出向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角．如
t ＝－
14
2
时，(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为π，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0仅是向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件．探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．
1. (2013·南通三模)在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝ 3.若AD →·BC →＝15，则AC →·BD →
＝________．
答案：13
解析：2EF →＝AB →＋DC →，平方并整理得AB →·DC →＝2，即AB →·(AC →－AD →)＝AB →·AC →－AB →·AD →
＝2，①由AD →·BC →＝15，得AD →·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →
＝15，②
②－①，得AC →·BD →＝AC →·(AD →－AB →
)＝13.
2. (2013·山东)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →
＋AC →，且AP →⊥BC →
，则实数λ＝________．
答案：7
12
解析：∵ AP →⊥BC →，∴ AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝－λAB →2＋AC →2＋(λ－1)AC →·AB →
＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝0，解之得λ＝712.
3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上．若AB →·AF →
＝2，则AE →·BF →
＝________．
答案： 2
解析：(解法1)由AB →·AF →
＝2，
得|AB →|·|AF →
|·cos ∠FAB ＝ 2. 由矩形的性质，得|AF →
|·cos ∠FAB ＝DF. ∵ AB ＝2，∴ 2·DF ＝2，∴ DF ＝1. ∴ CF ＝2－1.
记AE →和BF →
之间的夹角为θ，∠AEB ＝α，∠FBC ＝β，则θ＝α＋β. 又∵ BC＝2，点E 为BC 的中点，∴ BE ＝1. ∴ AE →·BF →＝|AE →|·|BF →
|·cos θ ＝|AE →|·|BF →
|·cos (α＋β)
＝|AE →|·|BF →
|·(cos αcos β－sin αsin β) ＝|AE →|cos α·|BF →|·cos β－|AE →|sin α·|BF →
|sin β
＝BE·BC－AB·CF＝1×2－2(2－1)＝ 2.
(解法2)以A 为坐标原点、AB 为x 轴建立直角坐标系，则B(2，0)，D(0，2)，C(2，2)，E(2，1)，可设F(x ，2)．
由AB →·AF →＝2，计算可得x ＝1，AE →·BF →
＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.
4. 设点O 是△ABC 的三边中垂线的交点，且AC 2－2AC ＋AB 2
＝0，则BC →·AO →的范围是__________．
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－14，2 解析：BC →·AO →＝BC →·(AD →＋DO →)＝BC →·AD →＋BC →·DO →＝BC →·AD →＝12(AC →－AB →)·(AB →＋AC →)＝12
(AC →
2
－AB → 2
)．
∵ AC 2
－2AC ＋AB 2
＝0，即AB 2
＝2AC －AC 2
，
∴ BC →·AO →＝12AC 2－12(2AC －AC 2)＝AC 2
－AC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC －122－14.
∵ AB 2
≥0，∴ 2AC －AC 2
≥0，∴ 0＜AC ＜2， ∴ BC →·AO →∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－14，2.
1. 已知a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，求x 、y 的值使(x a ＋y b )⊥a ，且|x a ＋y b |＝1. 解：由a ＝(3，4)，b ＝(4，3)，有x a ＋y b ＝(3x ＋4y ，4x ＋3y)．
(x a ＋y b )⊥a (x a ＋y b )·a ＝03(3x ＋4y)＋4(4x ＋3y)＝0，即25x ＋24y ＝0.①
又|x a ＋y b |＝1|x a ＋y b |2
＝1，
有(3x ＋4y)2＋(4x ＋3y)2
＝1，
整理得25x 2＋48xy ＋25y 2
＝1，
即x(25x ＋24y)＋24xy ＋25y 2
＝1，②
由①②有24xy ＋25y 2
＝1，③ 将①变形代入③可得y ＝±5
7，
再代回①得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2435，y ＝－57和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2435
，y ＝5
7.
2. 已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1) 求证：(a －b )⊥c ；
(2) 若|k a ＋b ＋c |＞1(k∈R )，求k 的取值范围． (1) 证明：(a －b )·c ＝a ·c －b ·c
＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0，∴(a －b )⊥c .
(2) 解：|k a ＋b ＋c |＞1|k a ＋b ＋c |2＞1k 2a 2＋b 2＋c 2
＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b ·c ＞1.
∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 夹角均为120°， ∴a 2＝b 2＝c 2
＝1，a ·b ＝b ·c ＝a ·c ＝－12
.
∴k 2
－2k ＞0，即k ＞2或k ＜0.
3. 设两向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
解：由已知得e 21＝4，e 2
2＝1，e 1·e 2＝2×1×cos60°＝1.
∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2
＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2
＋15t ＋7＜0，得－7＜t ＜－12
.
设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)，
∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝tλ. ∴ 2t 2＝7， ∴ t ＝－14
2
，此时λ＝－14. 即t ＝－
14
2
时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝
⎛
⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.
4. (2013·辽宁卷)设向量a ＝(3sinx ，sinx)，b ＝(cosx ，sinx)，x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.
(1) 若|a|＝|b|.求x 的值；
(2) 设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值． 解：(1) 由|a |2
＝(3sinx)2
＋(sinx)2
＝4sin 2
x.
|b |2＝(cosx)2＋(sinx)2
＝1.
由|a |＝|b |，得4sin 2
x ＝1，
又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sinx ＝12，所以x ＝π6.
(2) f(x)＝a·b ＝3sinx ·cosx ＋sin 2
x
＝32sin2x －12cos2x ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1，所以f(x)的最大值为32.
1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝
a·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．
2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．
3. 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题，其中转化是关键．
4. 向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一，其中用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法．
请使用课时训练（A ）第3课时（见活页）.
[备课札记]。