高考数学 第六章 第五节 合情推理与演绎推理课件 文 北师大版
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a0
x1
x2
a1 a0
，
由此类推方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的三个根是
x1,x2,x3，则x1+x2+x3=( )
（A） a1
a0
（B） a2
a1
（C） a3
a2
（D） a3
a0
【解析】选A.由给出的一次方程、二次方程的根之和与系数的
关系可得.
考向 1 归纳推理 【典例1】（1）（2012·江西高考）观察下列事实： |x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整 数解(x,y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为 12，…，则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( ) （A）76 （B）80 （C）86 （D）92
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论 一定正确.( ) （2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种 合情推理.( )
（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为 类比对象较为合适.( ) （4）某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52 人，由此得高三所有班级人数均超过50人.( )
(A)C4H7 (B)C4H8
(C)C4H9
(D)C4H10
（2）（2013·太原模拟）若等差数列{an}的首项为a1，公差
为d，前n项的和为Sn，则数列 {Sn }为等差数列，且通项为
n
Sn n
＝a1＋
n－1gd ，
2
类似地，请完成下列命题：若各项均为正数
的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则
【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得3
3
方法一：f(-2 012)+f(2 013)= 3 ,
3
f(-2 011)+f(2 012)= 3 ,
3
故f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)
= 2 013 3 671 3.
其中类比得到的结论正确的个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【解析】选C.由复数以及实数的性质可知①②是正确的类比， 其结果是正确的，而类比③得到的结论是错误的，例如： a=2+i,b=1+i，有a-b=1>0，但不能有2+i>1+i，因为虚数 不能比较大小.
3.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是 无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) (A)使用了归纳推理 (B)使用了类比推理 (C)使用了“三段论”，但大前提错误 (D)使用了“三段论”，但小前提错误 【解析】选C.该推理符合“三段论”的形式，但大前提是错误 的，因为并不是所有的有理数都是无限循环小数.
1 1
x
x x
1
1 1
x，
x
x 1
所以f5(x)=f1(x)，f6(x)=f2(x)，…，f2 012(x)=f4(x)=x，
故f2 012(0)=0.
5．已知a0≠0，a1≠0，a2≠0,a3≠0,设方程a0x+a1=0的一个根
是x1,则
x1
a1 ；方程a0x2+a1x+a2=0的两个根是x1,x2，则
【变式备选】(1)（2013·鹰潭模拟）观察下列等式： 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-44=-10 … 由以上等式推测到一个一般的结论，对于n∈N*，12-22+3242+…+（-1）n+1n2=_______.
【解析】由上述已知等式的特点，可得12-22+32-42+…+
考向 3 演绎推理 【典例3】已知函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1)．若函数f(x)的 一个零点为1，且函数y＝f(x)＋1有零点． （1）证明：－3<c≤－1且b≥0. （2）若m是函数y＝f(x)＋1的一个零点，判断f(m－4)的正负 并加以证明．
【思路点拨】（1）由函数f(x)的一个零点为1，代入可得b与c 的关系式，由函数y＝f(x)＋1有零点，可用判别式建立不等式 从而得到c与b的范围. （2）将f(m-4)用m与c表示，结合（1）判断符号.
1．下列推理是归纳推理的是( )
(A)A，B为定点，动点P满足||PA|-|PB||=2a＜|AB|（a＞0），
则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
(B)由a1=2，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n
项和Sn的表达式
(C)由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆
__________．
【思路点拨】（1）观察C，H的变化特点，类比出后一个化合
物的分子式.
（2）“除”与“开方”相类比，即 n
Tn
类比
Sn n
，
q类比
d， 2
“加”与“乘”相类比，即b1
q
n
1
类比a1
n
1
d 2
.
【规范解答】（1）选D.由前三种化合物的结构式及分子式规
律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C和两个H，故后
【解析】（1）错误.归纳推理和类比推理所得到的结论都不一 定正确. （2）正确.这是类比推理，属于合情推理. （3）错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较 为合适，而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作为类 比对象较为合适. （4）错误.不能断定高三所有班级人数均超过50人. 答案：（1）× （2）√ （3）× （4）×
3
方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(2 013)
则S=f(2 013)+f(2 012)+…+f(-2 012)， ∴2S=4 026［f(-2 012)+f(2 013)］=4 026× 3 ,
3 S 2 013 3 671 3.
3
【拓展提升】归纳推理的步骤与技巧 (1)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题. (2)归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进 一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越 大．因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地 分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论.
x2 a2
y2 b2
1
的面积
S=πab
(D)科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
【解析】选B.A为演绎推理，C，D为类比推理.
2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为 复数集) ①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C， 则a－b＝0⇒a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类 比推出“若a，b，c，d∈Q，则 a＋b 2＝c＋d 2 ⇒a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C， 则a－b＞0⇒a＞b”．
…
(2)等差数列与等比数列的类比
等差数列 两项之和 两项之差 前n项之和
…
等比数列 两项之积 两项之比 前n项之积
…
【变式训练】（1）在平面上，若两个正三角形的边长的比为
1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正
四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为_______．
【解析】
V∶1 V2＝13 S1h∶1 (
n Tn＝b1
n－1
q
【拓展提升】 1.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性. (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题(猜想).
2.熟悉常见的类比对象
(1)平面与空间的类比
平面 点 线 圆
三角形 角
面积 周长
…
空间 线 面 球
三棱锥 二面角
体积 表面积
1 3 S2h2
)＝S1 S2
h1 h2
＝1∶8.
答案：1∶8
（2）（2013·宁德模拟）若{an}是等差数列，m,n,p是互不相 等的正整数，则有：(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0，类比上述性 质，相应地，对等比数列{bn}，m,n,p是互不相等的正整数， 有________. 【解析】由等差数列与等比数列的性质易得结论. 答案：bmp n gbnmp gbpnm 1
(2)设 f x 1 ，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)
3x 3
+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
【思路点拨】（1）分析每一个方程中等号右边的数值与方程 解的个数的倍数关系，发现其中的规律. （2）由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2), f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x)的值.
由_部__分__到_整__体__、由_个__别__ 到_一__般__的推理
类比推理
由于两类不同对象具有某些 _类__似__特征，在此基础上， 根据一类对象的_其__他_特__征__， 推断另一类对象也具有类__似__
的其他特征的推理
由_特__殊__到_特__殊__的推理
一般 步骤
归纳推理
(1)通过观察_个__别__情况发 现某些_相__同__性__质__
【规范解答】（1）选B.由已知条件得，|x|+|y|=n（n∈N+） 的整数解(x,y)个数为4n，故|x|+|y|=20的整数解(x,y)的个数
为80.
(2) f 0 f 1 1 1 1 1
30 3 31 3 1 3 3(1 3)
3 1 3，
3(1 3) 3(1 3) 3
同理可得：f 1 f 2 3 ,f 2 f 3 3 .
(2)从已知的相同性质中推 出一个明确的_一__般__性__命__题_
(猜想)
类比推理 (1)找出两类事物之间的_相__ _似__性__或_一__致__性__
(2)用一类事物的性质去推
测另一类事物的性质，得出
一个明确的命题(猜想)
3.演绎推理 （1）形式：大前提：_一__般__性__道__理__ 小前提：_研__究__对__象__的__特__殊__情__况__ 结论：_由__大__前__提__和__小__前__提__作__出__的__判__断__ （2）特点：由_一__般__到_特__殊__的推理.
4.设 f x 1 x , 记f1
f2012(0)=( )
（A）0
（B）1
（C）-1
（D）不存在
【解析】选A.
f1 x
1 x 1 x
,f2 x
1 1 1
11
x
x x
1 x
,
1 x
f3
x
1 1
( (
1) x 1)
x x
1 1
,
f
4
x
第五节 合情推理与演绎推理
1.推理 （1）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的_思__维__过__程__. （2）分类：推理一般分为_合__情__推__理__与_演__绎__推__理__两类.
2.合情推理
定义 特点
归纳推理
由某类事物的部分事物具 有某种属性，推断该类事 物中_每__一_个__事__物__都__有__这__种__ _属__性__的推理
（-1）n+1n2=（ 1）n1gn（n 1）.
2
答案：（1）n1gn（n 1）
2
(2)（2012·长沙模拟）下列一组不等式：
2234
53 54
22 23
5 5
2 52 2 53
, ,
将上述不等式在左右两端仍为两项和
5 5
1
1
22 52 22 52 22 52 ,
的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特
一种化合物的分子式为C4H10.
（2）因为Tn=b1·b2·b3·…·bbn1n= ·q1+2+3+…+(n-1)
nn1
b1n gq 2 ，所以n
Tn b1所q n2以1 数b1列 q n1是，首
{n Tn }
项为b1，公比为 q的等比数列，其通项为 n Tn＝b1
n－1
q.
答案：数列 {n T为n }等比数列，且通项为
3
3
由此猜想f x f 1 x 3 .
3
证明：f x f 1 x 1 1
3x 3 31x 3
1 3x 3x 3 3 3g3x
1
3x
3 3x
3
.
3x 3 3( 3 3x ) 3( 3 3x ) 3
【互动探究】利用本例第(2)题中的结论计算f(-2 012)+
f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)的值.
例，则推广的不等式为_________. 【解析】观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的 次数之间的关系可得. 答案：am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)
考向 2 类比推理 【典例2】（1）（2013·西安模拟）按照下面三种化合物的结 构式及分子式规律，写出后一种化合物的分子式是( )
x1
x2
a1 a0
，
由此类推方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的三个根是
x1,x2,x3，则x1+x2+x3=( )
（A） a1
a0
（B） a2
a1
（C） a3
a2
（D） a3
a0
【解析】选A.由给出的一次方程、二次方程的根之和与系数的
关系可得.
考向 1 归纳推理 【典例1】（1）（2012·江西高考）观察下列事实： |x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4，|x|+|y|=2的不同整 数解(x,y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为 12，…，则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为( ) （A）76 （B）80 （C）86 （D）92
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论 一定正确.( ) （2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种 合情推理.( )
（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为 类比对象较为合适.( ) （4）某校高三（1）班有55人，（2）班有54人，（3）班有52 人，由此得高三所有班级人数均超过50人.( )
(A)C4H7 (B)C4H8
(C)C4H9
(D)C4H10
（2）（2013·太原模拟）若等差数列{an}的首项为a1，公差
为d，前n项的和为Sn，则数列 {Sn }为等差数列，且通项为
n
Sn n
＝a1＋
n－1gd ，
2
类似地，请完成下列命题：若各项均为正数
的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则
【解析】由本例第(3)题中的结论f(x)+f(1-x)= 得3
3
方法一：f(-2 012)+f(2 013)= 3 ,
3
f(-2 011)+f(2 012)= 3 ,
3
故f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)
= 2 013 3 671 3.
其中类比得到的结论正确的个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【解析】选C.由复数以及实数的性质可知①②是正确的类比， 其结果是正确的，而类比③得到的结论是错误的，例如： a=2+i,b=1+i，有a-b=1>0，但不能有2+i>1+i，因为虚数 不能比较大小.
3.命题“有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是 无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) (A)使用了归纳推理 (B)使用了类比推理 (C)使用了“三段论”，但大前提错误 (D)使用了“三段论”，但小前提错误 【解析】选C.该推理符合“三段论”的形式，但大前提是错误 的，因为并不是所有的有理数都是无限循环小数.
1 1
x
x x
1
1 1
x，
x
x 1
所以f5(x)=f1(x)，f6(x)=f2(x)，…，f2 012(x)=f4(x)=x，
故f2 012(0)=0.
5．已知a0≠0，a1≠0，a2≠0,a3≠0,设方程a0x+a1=0的一个根
是x1,则
x1
a1 ；方程a0x2+a1x+a2=0的两个根是x1,x2，则
【变式备选】(1)（2013·鹰潭模拟）观察下列等式： 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-44=-10 … 由以上等式推测到一个一般的结论，对于n∈N*，12-22+3242+…+（-1）n+1n2=_______.
【解析】由上述已知等式的特点，可得12-22+32-42+…+
考向 3 演绎推理 【典例3】已知函数f(x)＝x2＋2bx＋c(c<b<1)．若函数f(x)的 一个零点为1，且函数y＝f(x)＋1有零点． （1）证明：－3<c≤－1且b≥0. （2）若m是函数y＝f(x)＋1的一个零点，判断f(m－4)的正负 并加以证明．
【思路点拨】（1）由函数f(x)的一个零点为1，代入可得b与c 的关系式，由函数y＝f(x)＋1有零点，可用判别式建立不等式 从而得到c与b的范围. （2）将f(m-4)用m与c表示，结合（1）判断符号.
1．下列推理是归纳推理的是( )
(A)A，B为定点，动点P满足||PA|-|PB||=2a＜|AB|（a＞0），
则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
(B)由a1=2，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n
项和Sn的表达式
(C)由圆x2+y2=r2的面积S=πr2，猜想出椭圆
__________．
【思路点拨】（1）观察C，H的变化特点，类比出后一个化合
物的分子式.
（2）“除”与“开方”相类比，即 n
Tn
类比
Sn n
，
q类比
d， 2
“加”与“乘”相类比，即b1
q
n
1
类比a1
n
1
d 2
.
【规范解答】（1）选D.由前三种化合物的结构式及分子式规
律可知，后一种化合物比前一种化合物多一个C和两个H，故后
【解析】（1）错误.归纳推理和类比推理所得到的结论都不一 定正确. （2）正确.这是类比推理，属于合情推理. （3）错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较 为合适，而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作为类 比对象较为合适. （4）错误.不能断定高三所有班级人数均超过50人. 答案：（1）× （2）√ （3）× （4）×
3
方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+…+f(2 013)
则S=f(2 013)+f(2 012)+…+f(-2 012)， ∴2S=4 026［f(-2 012)+f(2 013)］=4 026× 3 ,
3 S 2 013 3 671 3.
3
【拓展提升】归纳推理的步骤与技巧 (1)归纳推理的一般步骤： ①通过观察个别情况发现某些相同性质； ②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题. (2)归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进 一步证明，一般地，考察的个体越多，归纳的结论可靠性越 大．因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地 分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论.
x2 a2
y2 b2
1
的面积
S=πab
(D)科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
【解析】选B.A为演绎推理，C，D为类比推理.
2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为 复数集) ①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C， 则a－b＝0⇒a＝b”； ②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类 比推出“若a，b，c，d∈Q，则 a＋b 2＝c＋d 2 ⇒a＝c，b＝d”； ③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C， 则a－b＞0⇒a＞b”．
…
(2)等差数列与等比数列的类比
等差数列 两项之和 两项之差 前n项之和
…
等比数列 两项之积 两项之比 前n项之积
…
【变式训练】（1）在平面上，若两个正三角形的边长的比为
1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正
四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为_______．
【解析】
V∶1 V2＝13 S1h∶1 (
n Tn＝b1
n－1
q
【拓展提升】 1.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性. (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题(猜想).
2.熟悉常见的类比对象
(1)平面与空间的类比
平面 点 线 圆
三角形 角
面积 周长
…
空间 线 面 球
三棱锥 二面角
体积 表面积
1 3 S2h2
)＝S1 S2
h1 h2
＝1∶8.
答案：1∶8
（2）（2013·宁德模拟）若{an}是等差数列，m,n,p是互不相 等的正整数，则有：(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0，类比上述性 质，相应地，对等比数列{bn}，m,n,p是互不相等的正整数， 有________. 【解析】由等差数列与等比数列的性质易得结论. 答案：bmp n gbnmp gbpnm 1
(2)设 f x 1 ，先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)
3x 3
+f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.
【思路点拨】（1）分析每一个方程中等号右边的数值与方程 解的个数的倍数关系，发现其中的规律. （2）由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2), f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x)的值.
由_部__分__到_整__体__、由_个__别__ 到_一__般__的推理
类比推理
由于两类不同对象具有某些 _类__似__特征，在此基础上， 根据一类对象的_其__他_特__征__， 推断另一类对象也具有类__似__
的其他特征的推理
由_特__殊__到_特__殊__的推理
一般 步骤
归纳推理
(1)通过观察_个__别__情况发 现某些_相__同__性__质__
【规范解答】（1）选B.由已知条件得，|x|+|y|=n（n∈N+） 的整数解(x,y)个数为4n，故|x|+|y|=20的整数解(x,y)的个数
为80.
(2) f 0 f 1 1 1 1 1
30 3 31 3 1 3 3(1 3)
3 1 3，
3(1 3) 3(1 3) 3
同理可得：f 1 f 2 3 ,f 2 f 3 3 .
(2)从已知的相同性质中推 出一个明确的_一__般__性__命__题_
(猜想)
类比推理 (1)找出两类事物之间的_相__ _似__性__或_一__致__性__
(2)用一类事物的性质去推
测另一类事物的性质，得出
一个明确的命题(猜想)
3.演绎推理 （1）形式：大前提：_一__般__性__道__理__ 小前提：_研__究__对__象__的__特__殊__情__况__ 结论：_由__大__前__提__和__小__前__提__作__出__的__判__断__ （2）特点：由_一__般__到_特__殊__的推理.
4.设 f x 1 x , 记f1
f2012(0)=( )
（A）0
（B）1
（C）-1
（D）不存在
【解析】选A.
f1 x
1 x 1 x
,f2 x
1 1 1
11
x
x x
1 x
,
1 x
f3
x
1 1
( (
1) x 1)
x x
1 1
,
f
4
x
第五节 合情推理与演绎推理
1.推理 （1）定义：推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的_思__维__过__程__. （2）分类：推理一般分为_合__情__推__理__与_演__绎__推__理__两类.
2.合情推理
定义 特点
归纳推理
由某类事物的部分事物具 有某种属性，推断该类事 物中_每__一_个__事__物__都__有__这__种__ _属__性__的推理
（-1）n+1n2=（ 1）n1gn（n 1）.
2
答案：（1）n1gn（n 1）
2
(2)（2012·长沙模拟）下列一组不等式：
2234
53 54
22 23
5 5
2 52 2 53
, ,
将上述不等式在左右两端仍为两项和
5 5
1
1
22 52 22 52 22 52 ,
的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特
一种化合物的分子式为C4H10.
（2）因为Tn=b1·b2·b3·…·bbn1n= ·q1+2+3+…+(n-1)
nn1
b1n gq 2 ，所以n
Tn b1所q n2以1 数b1列 q n1是，首
{n Tn }
项为b1，公比为 q的等比数列，其通项为 n Tn＝b1
n－1
q.
答案：数列 {n T为n }等比数列，且通项为
3
3
由此猜想f x f 1 x 3 .
3
证明：f x f 1 x 1 1
3x 3 31x 3
1 3x 3x 3 3 3g3x
1
3x
3 3x
3
.
3x 3 3( 3 3x ) 3( 3 3x ) 3
【互动探究】利用本例第(2)题中的结论计算f(-2 012)+
f(-2 011)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2 013)的值.
例，则推广的不等式为_________. 【解析】观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的 次数之间的关系可得. 答案：am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)
考向 2 类比推理 【典例2】（1）（2013·西安模拟）按照下面三种化合物的结 构式及分子式规律，写出后一种化合物的分子式是( )