内蒙古自治区赤峰市松山区红旗中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

内蒙古自治区赤峰市松山区红旗中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 将A、B、C、D、E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有（）种．
A．192 B．144 C．288
D．240
参考答案：
D
略
2. 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
A．
B．
C．
D．
A. 关于原点对称
B. 关于直线y=x对称
C. 关于x轴对称
D. 关于y轴对称
参考答案：
A
3. 已知x，y满足线性约束条件，若=（x，﹣2），=（1，y），则z=?的最大值是（）
A．﹣1 B．C．7 D．5
参考答案：
考点：简单线性规划；平面向量数量积的运算．
专题：计算题．
分析：作出不等式组表示的可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过点C时，z最大值即可．
解答：解：由题意可得，=x﹣2y
由z=x﹣2y，可得y=，则﹣表示直线在y轴上的截，则截距越大，z越小
作出不等式组表示的平面区域，如图所示
直线z=x﹣2y过点C时，z取得最大值
由可得C（3，﹣1）
此时z=5
故选D
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4. 已知函数y=f(x)是定义在数集R上的奇函数，且当x∈(－∞,0)时，成立，若
,,,则a,b,c的大小关系是（）
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.a>c>b
参考答案：
A
5. 某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
A．y=0.7x+5.25 B．y=﹣0.6x+5.25 C．y=﹣0.7x+6.25 D．y=﹣0.7x+5.25
参考答案：
D
【考点】回归分析的初步应用．
【分析】先求样本中心点，利用线性回归方程一定过样本中心点，代入验证，可得结论．
【解答】解：先求样本中心点，，
由于线性回归方程一定过样本中心点，代入验证可知y=﹣0.7x+5.25，满足题意
故选D．
6. 定义域为D的函数f(x)同时满足条件①常数a，b满足a<b，区间[a，b]D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb]（k∈N+），那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k级矩阵”函数，函数f(x)=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
参考答案：
C 7. 已知定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）?tanx恒成立，则（）
A． f（）＞f（）B． f（）＜f（）C． f（）＞f（）D．f（1）＜2f（）?sin1
参考答案：
B
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）＜g（）＜g（1）＜g （），整理后即可得到答案．
【解答】解：解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，
即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．
令g（x）=，x∈（0，），则g′（x ）=＞0．
所以函数g（x ）=在x∈（0，）上为增函数，
则g （）＜g （）＜g （1）＜g （），即
，
对照选项，A．应为＞，C．应为＜f（），
D．应为f（1）2f（）sin1，B正确．
故选B．
8. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行
调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支
出在
（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右
图所示，则的值为 …………………………………………（ ） A ．100 B ．120 C ．130
D ．390
参考答案：
A 略 9. 设 ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．b ＞a ＞c
参考答案：
D
【考点】4M ：对数值大小的比较． 【分析】a=log 54∈（0，1），b=＞1，c=
=
＜log 53＜log 54，即可得
出．
【解答】解：∵a=log 54∈（0，1），b=＞1，c=
=
＜log 53
＜log 54， ∴b＞a ＞c ． 故选：D ．
10. 执行如图所示的程序框图，若输入的x ，t 均为2，则输出的S=（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
参考答案：
D
【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．
【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论． 【解答】解：若x=t=2， 则第一次循环，1≤2成立，则M=
，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，
此时3≤2不成立，输出S=7， 故选：D ．
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f （x ）=sin x+cos x ，f′（x ）是f （x ）的导函数．若f （x ）=2f′（x ），则
=
．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．
【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=cosx﹣sinx，结合题意可得sin x+cos x=2（cosx﹣sinx），变形可得tanx=，由同角三角函数的基本关系式分析可得
=，将tanx=代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=sin x+cos x，则f′（x）=cosx﹣sinx，
又由f（x）=2f′（x），即sin x+cos x=2（cosx﹣sinx），
变形可得cosx=3sinx，即tanx=，
==，
又由tanx=，
则===；
故答案为：．
12. 函数的单调增区间为______．
参考答案：
(－∞，1)
13. 表示不超过x的最大整数，已知，当x时，有且仅有三个零点，则a 的取值范围是
参考答案：
14. 在直角三角形中,,点是斜边上的一个三等分点,则
_______________.参考答案：
4
15. 学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的概率
为．
参考答案：
所有基本事件数为3，包含甲的基本事件数为2，所以概率为．
16. 已知S n为{a n}的前n项和，若，则等于．参考答案：
2332
由题意当时，即；
当时，，即
，
故答案为2332．
17. 已知随机变量服从正态分布若,则函数
的值域是
参考答案：
易知正态曲线关于直线对称，所以则有
,令函数
在上是增函数，所以
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。

（1）从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；
（2）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；
（3）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当放回记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。

参考答案：
解：（Ⅰ）因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，
设事件A为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数” ……2分
或4分
（Ⅱ）设表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，
由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为，……6分
则．……8分
（Ⅲ）依题意，的可能取值为．
，
，
，…………………11分
所以的分布列为
．…………………12分
略
19. 设函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围；
（Ⅲ）若k，n∈N*，且1≤k≤n，证明：++…++…+＞．
参考答案：
（Ⅰ）解：求导函数，可得（x＞0）
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＞0时，由f′（x）＞0可得0＜x＜，由f′（x）＞0可得x＞，
∴当a≤0时，函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调增区间是
（0，），单调减区间是（）；
（Ⅱ）解：lnx＜ax对于x∈（0，+∞）上恒成立，等价于f（x）max＜0
由上知，a≤0时，不成立；
a＞0时，，∴；
（Ⅲ）证明：∵函数f（x）=lnx﹣ax，由（Ⅱ）知，a=1时，
∴lnx﹣x＜﹣1
∴lnx＜x﹣1
令，则，∴，∴
∴，∴
∴++…++…+＞+…+=
当n→+∞时，→．
∴++…++…+＞．
略
20. （12分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a3+1，a4成等差数列．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（II）若数列{a n}满足a n?b n=a n2﹣1，求数列{b n}的前几项和T n．
参考答案：
见解析
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】（I）数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n=2a n﹣1．由a1，a3+1，a4成等差数列，可得2（a3+1）=a4+a1，代入解出a1，利用等比数列的通项公式即可得出．（II）利用（I）的结论求得{b n}的通项公式，然后由分组求和法来求T n．
【解答】解：（I）数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣a1，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，
∴a n=2a n﹣1（n≥2）．
∵a1，a3+1，a4成等差数列，∴2（a3+1）=a4+a1，
∴8a1+2=8a1+a1，
解得a1=2，
∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴a n=2n．
（II）由（I）知，a n=2n．
∵a n b n=a n2﹣1，
∴2n?b n=（2n）2﹣1，
∴b n=2n﹣（）n，
∴T n=b1+b2+b3+…+b n
=[21﹣（）1]+[22﹣（）2]+…+2n﹣（）n
=（2+22+23+…+2n）﹣[+﹣（）2+（）3…+（）n]
=﹣
=2n+1+﹣3．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21. 计算（1）（2）
参考答案：
解: 原式=
==
22. （本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线
的焦点重合，过点且不垂直于轴直线与椭圆相交于、两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
参考答案：
(Ⅰ)解：由题意知，∴，即……2分
又双曲线的焦点坐标为，，………………3分
∴故椭圆的方程为………………6分
(Ⅱ)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为
由得：
由得：…………9分
设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则①
∴…………7分
-+=…11分
，，…………9分的取值范围是…………15分。