上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区高三模拟数学(理)试题(解析版)
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【答案】
【解析】
试题分析：首项 的无穷等比数列 ，设公比为 ,由各项和等于4.即 .解得 .
考点：无穷等比数列的求和公式.
9．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 为坐标原点， 为 上的动点， 点满足 ，点 的轨迹为曲线 ．则 的参数方程为.
10.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为.
学期望是 .
考点：1.概率问题.2.数学期望.
12．【上海静安】设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数.已知数列 的前 项和 ， （ ），则数列 的变号数为.
【答案】3
【解析】
13.已知定义在 上的函数 满足 .当 时 .设 在 上的最大值为 ，且数列 的前 项和为 ，则 .（其中 ）
【答案】（1） ；（2）参考解析
【解析】
装饰总费用为 ，
所以花坛的面积与装饰总费用的比 ，
令 ，则 ，当且仅当t=18时取等号，
此时 ．
答：当 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分
【答案】D
【解析】
16．“ ”是“函数 的最小正周期为 ”的…………（）.
充分必要条件 充分不必要条件
必要不充分条件 既不充分又必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 可化为 .所以可得 是函数 最小正周期为 的充分条件.由于函数的最小正周期为 ,则 .所以必要性不成立.故选B.
考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.
（3）若 是实数集 上的奇函数，且 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）参考解析；（3）
【解ห้องสมุดไป่ตู้】
试题分析：（1）由于函数 ， ，所以解方程 .通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.
（2）由于 即得到 .所以 .所以两个一组的和为1，还
所以， ，
．
= ．
（3）因为 是实数集上的奇函数，所以 .
已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的端点分别为 ,且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 且斜率为 的直线 交椭圆于 两点，弦 的垂直平分线与 轴相交于点 .设弦 的中点为 ，试求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
解得 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）依题意直线 的方程为 .
由 得 .
直线 的方程为 ，
某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点 为圆心的两个同心圆弧 、弧 以及两条线段 和 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧 所在圆的半径为10米．设小圆弧 所在圆的半径为 米（ ），圆心角为 弧度．
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为 ，当 为何值时， 取得最大值？
【答案】
【解析】
14．正方形 和 内接于同一个直角三角形 中，如图所示，设 ，若 ， ，则 .
【答案】
【解析】
二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15.在实数集 上定义运算 ： ．若关于 的不等式 的解集是集合 的子集，则实数 的取值范围是…………………（）.
（2）若以 为坐标原点，射线 、 、 分别是 轴、 轴、 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得 是平面 的法向量，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）参考解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）需证明 平面 ，转化为证明AD⊥AC,AD⊥PA.因为PA垂直平面ABCD，由题意可得AD⊥AC,AD⊥PA显然成立，即可得结论.
（2）如图建立空间直角坐标系，因为 是平面 的法向量，所以求出平面PAF的法向量 ，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面 与平面 所成锐二面角的余弦值，
所求二面角的余弦值为 .
考点：1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
17.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 、 ,则 : =………………………………………………………………（）.
1:1 2:1 3:2 4:1
【答案】C
【解析】
18.函数 的定义域为实数集 ， 对于任意的 都有 .若在区间 上函数 恰有四个不同的零点，则实数 的取值范围是…………………………………………（）.
4.已知圆锥的母线长为 ,侧面积为 ,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留 )
【答案】
【解析】
5.已知集合 ， ，则 .
6.在平面直角坐标系 中，若圆 上存在 ， 两点，且弦 的中点为 ，则直线 的方程为.
【答案】
【解析】
7.已知 ，则 的最小值为_____________.
8.已知首项 的无穷等比数列 的各项和等于4，则这个数列 的公比是．
一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.二阶行列式 的值是.（其中 为虚数单位）
【答案】2
【解析】
2.已知 是方向分别与 轴和 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量 的模等于.
3．二项式 的展开式中含 项的系数值为_______________.
由 ，得 ，则 ，
所以 .
所以 .
又因为 ，所以 .
所以 .
所以 的取值范围是 .
考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
设函数 ， .
（1）解方程： ；
（2）令 ， ，求证：
【答案】D
【解析】
考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.
三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 平面 ， ， ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；
【解析】
试题分析：首项 的无穷等比数列 ，设公比为 ,由各项和等于4.即 .解得 .
考点：无穷等比数列的求和公式.
9．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 为坐标原点， 为 上的动点， 点满足 ，点 的轨迹为曲线 ．则 的参数方程为.
10.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为.
学期望是 .
考点：1.概率问题.2.数学期望.
12．【上海静安】设各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为这个数列 的变号数.已知数列 的前 项和 ， （ ），则数列 的变号数为.
【答案】3
【解析】
13.已知定义在 上的函数 满足 .当 时 .设 在 上的最大值为 ，且数列 的前 项和为 ，则 .（其中 ）
【答案】（1） ；（2）参考解析
【解析】
装饰总费用为 ，
所以花坛的面积与装饰总费用的比 ，
令 ，则 ，当且仅当t=18时取等号，
此时 ．
答：当 时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
考点：1.扇形的面积.2.函数的最值.3.基本不等式的应用.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分
【答案】D
【解析】
16．“ ”是“函数 的最小正周期为 ”的…………（）.
充分必要条件 充分不必要条件
必要不充分条件 既不充分又必要条件
【答案】B
【解析】
试题分析：因为 可化为 .所以可得 是函数 最小正周期为 的充分条件.由于函数的最小正周期为 ,则 .所以必要性不成立.故选B.
考点：1.三角函数的恒等变形.2.充要条件的知识.
（3）若 是实数集 上的奇函数，且 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）参考解析；（3）
【解ห้องสมุดไป่ตู้】
试题分析：（1）由于函数 ， ，所以解方程 .通过换元即可转化为解二次方程.即可求得结论.
（2）由于 即得到 .所以 .所以两个一组的和为1，还
所以， ，
．
= ．
（3）因为 是实数集上的奇函数，所以 .
已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的端点分别为 ,且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 且斜率为 的直线 交椭圆于 两点，弦 的垂直平分线与 轴相交于点 .设弦 的中点为 ，试求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
解得 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）依题意直线 的方程为 .
由 得 .
直线 的方程为 ，
某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点 为圆心的两个同心圆弧 、弧 以及两条线段 和 围成的封闭图形．花坛设计周长为30米，其中大圆弧 所在圆的半径为10米．设小圆弧 所在圆的半径为 米（ ），圆心角为 弧度．
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为 ，当 为何值时， 取得最大值？
【答案】
【解析】
14．正方形 和 内接于同一个直角三角形 中，如图所示，设 ，若 ， ，则 .
【答案】
【解析】
二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15.在实数集 上定义运算 ： ．若关于 的不等式 的解集是集合 的子集，则实数 的取值范围是…………………（）.
（2）若以 为坐标原点，射线 、 、 分别是 轴、 轴、 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得 是平面 的法向量，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）参考解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）需证明 平面 ，转化为证明AD⊥AC,AD⊥PA.因为PA垂直平面ABCD，由题意可得AD⊥AC,AD⊥PA显然成立，即可得结论.
（2）如图建立空间直角坐标系，因为 是平面 的法向量，所以求出平面PAF的法向量 ，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面 与平面 所成锐二面角的余弦值，
所求二面角的余弦值为 .
考点：1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
17.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为 、 ,则 : =………………………………………………………………（）.
1:1 2:1 3:2 4:1
【答案】C
【解析】
18.函数 的定义域为实数集 ， 对于任意的 都有 .若在区间 上函数 恰有四个不同的零点，则实数 的取值范围是…………………………………………（）.
4.已知圆锥的母线长为 ,侧面积为 ,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留 )
【答案】
【解析】
5.已知集合 ， ，则 .
6.在平面直角坐标系 中，若圆 上存在 ， 两点，且弦 的中点为 ，则直线 的方程为.
【答案】
【解析】
7.已知 ，则 的最小值为_____________.
8.已知首项 的无穷等比数列 的各项和等于4，则这个数列 的公比是．
一、填空题(本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.二阶行列式 的值是.（其中 为虚数单位）
【答案】2
【解析】
2.已知 是方向分别与 轴和 轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量 的模等于.
3．二项式 的展开式中含 项的系数值为_______________.
由 ，得 ，则 ，
所以 .
所以 .
又因为 ，所以 .
所以 .
所以 的取值范围是 .
考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
设函数 ， .
（1）解方程： ；
（2）令 ， ，求证：
【答案】D
【解析】
考点：1.分段函数的性质.2.函数的周期性.3.函数的等价变换.
三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， 平面 ， ， ， 是 的中点.
(1)求证： 平面 ；