函数的应用教案(新人教必修1第三章)6个教案

3.1.1方程的根与函数的零点
教学目的：使学生了解零点的概念，理解方程的根与零点的关系，会利用函数的图象指出函数零点的大致区间。

教学重点：方程的根与函数的零点的关系。

教学难点：求函数零点的个数问题
教学过程
考察几个一元二次方程及其相应的二次函数的关系
方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1 方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3，函数图象如上图，你能发现什么？
二、新课
（1）当△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点。

（2）当△＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的一个个交点。

（3）当△＜0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴无交点。

对于函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫函数y＝f（x）的零点。

方程f（x）＝0有实数根
二次函数在区间（2,4）上有零点x＝3
而f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0
一般地，函数f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f（a）·f（b）＜0，那么函数f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。

例1、求函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点的个数。

分析：用计算机辅助作图象，可得函数在区间（2,3）内有零点，再观察图象在（0，＋∞）上是增函数，因此，该函数只有一个零点。

练习：P103
作业：P1086B组 4
3.1.2用二分法求方程的近似解
教学目的：使学生了解什么是二分法，会用二分法求一个函数在给定区间内的零点。

从而求得方程的近似解。

教学重点：用二分法求方程的近似解。

教学难点：二分法的理解。

教学过程
一、复习提问
什么是函数的零点？函数在区间（a ，b ）内有零点，则有什么性质？ 二、新课 1、新课引入
中央电视台由李咏主持的节目《幸运52》中有一项猜商品价格的游戏，首先给出 了商品价格的范围，如果是你，你将用什么方法快速猜中商品的真实价格呢？现实中 还有这种方法运用的实例吗？
一元二次方程可以用公式求根，但没有公式可用来求方程lnx ＋2x －6＝0的根， 联系函数的零点与相应方程的关系，能否利用函数有关知识求出它的根呢？ 2、取中点法求方程lnx ＋2x －6＝0的根
方程lnx ＋2x －6＝0在区间（2,3）内有零点，
2
1
（2＋3）＝2.5 f （2.5）·f （3）＜0，所以零点在区间（2.5，3）内，2
1
（2.5＋3）＝2.75
f （2.5）·f （2.75）＜0，所以零点在区间（2.5，2.75）内。

如此下去，零点范围越来越小，当区间的端点的差的绝对值小于0.01时，可以将端点 作为零点的近似值。

P105表3－2。

对于在区间［a，b］上连续不断，且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法（bisection）。

给定精确度ε，用二分法求函数f（x）零点近似值的步骤：
1、确定区间［a，b］，验证f（a）·f（b）＜0，给定精确度ε；
2、求区间（a，b）的中点x1；
3、计算f（x1）；
（1）若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；
（2）若f（a）·f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））
（3）若f（x1）·f（b）＜0，则令a＝x1（此时零点x0∈（x1，b））
4、判断是否达到精确度ε，：即若∣a－b∣＜ε，则达到零点近似值a（或b）；否则重复2――4。

一般用计算机设计一定的程序来完成求零点。

例2、借助计算机或计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.1）。

练习：P106
作业：P1081、2、3、4、5
3.2.1几类不同增长的函数模型（1）
教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。

教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。

建立实际问题的函数模型是难点。

教学过程
一、复习提问
写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？
二、新课
例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择哪种投资方案？
解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：
比其它2个方案快得多，称为“指数爆炸”。

投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。

再看累计回报数表P114。

投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。

例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。

现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝x
log＋1，y＝1.002x。

其中哪个模型
2
能符合公司的要求？
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数
不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。

不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。

练习：P116
作业：P1261、2
3.2.1几类不同增长的函数模型（2）
教学目的：使学生进一步了解三种函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数的增长情况，通过函数图象对比它们的增长速度。

教学重难点：观察指数函数、对数函数、幂函数模型的图象，对比它们的增长速度，了解它们的增长情况。

教学过程
一、复习提问
指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？，哪个函数的增长速度最快？
二、新课
探究函数y＝x2，y＝2x，y＝x
log的增长速度。

2
教学中，用电子表格Excel列出下列表格，并画出函数图象：
在区间（2,4），有x
2log ＜x 2＜2x
在区间（0,2）和（4，＋∞）有x
2log ＜2x ＜x 2
可以在更大范围内观察函数y ＝x 2，y ＝2x 的图象的增长情况。

一般地，对于指数函数y ＝x a （a ＞1）和幂函数y ＝n x （n ＞0），通过探索可以发
现，在区间（0，＋∞）上，无论n 比a 大多少，尽管x 在一定范围内，x a 会小于n x 但由于x a 的增长速度快于n x ，因此总存在一个0x ，当x ＞0x 时，就会有x a ＞n x 。

同样地，对于对数函数y ＝x a log （a ＞1）和幂函数y ＝n x （n ＞0），在区间 （0，＋∞）上，随着x 的增大，x
a log 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平 行一样。

尽管x 在一定范围内，x a log 可能会大于n x ，但由于x
a log 的增长慢于n x ， 因此总存在一个0x ，当x ＞0x 时，就会有x
a log ＜n x 。

综上所述，在区间（0，＋∞）上，尽管函数y ＝x a （a ＞1）、y ＝x
a log （a ＞1） 和y ＝n x （n ＞0）都是增函数。

但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上 随着x 的增大，y ＝x a （a ＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝n x （n ＞ 0）的增长速度，而y ＝x
a log （a ＞1）的增长速度越来越慢。

因此总存在一个0x ，当x
＞0x 时，x
a log ＜n x ＜x a 。

练习：P119 作业：P127 3、4
3.2.2函数模型的应用实例（1）
教学目的：通过一些实例，让学生感受函数模型的广泛应用，体会解决实际问题中建 立函数模型的过程。

教学重点：两函数模型实例的讲解。

教学难点：通过观察图象，判断问题所适用的函数模型是难点。

教学过程
一、复习提问
我们学过的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的一般形式是什么？
二、新课
例3、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示。

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km ，试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数skm 与时间th 的函数解析式，并作出檅应的图象。

解：(1)阴影部分面积为：
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1＝36
阴影部分面积表示汽车在5小时内行驶的路程为 360km 。

（2）根据图有：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=542299)4(65432224)3(75322134)2(90212054)1(8010200450t t t t t t t t t t s
画出它的函数图象P121。

在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因 此，我们应当注意提高读图的能力。

本例题是分段函数是刻画现实问题的重要模型。

例4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长依据。

早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝rt e
，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，
y
r表示人口的年平均增长率。

表3－8是1950――1959年我国的人口数据资料
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001）用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表3－8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
分析：分别求出1950到1959年的每一年的增长率，再算出平均增长率，得到从口增长模型y=55196e0.0221t，作出原数据的散点图，作出模型的函数图象，可以看出
这个模型与数据是否吻合，用Excel电子表格作出图象展示给学生看。

第二问中，13 亿是130000万人，将y＝130000代入所求出的函数模型，即可用计算器算出大约要在39年后达到13亿人口。

练习：P123
作业：P1275、6、7
3.2.2函数模型的应用实例（2）
教学目的：使学生进一步掌握常用的函数模型，并会应用它们来解决实际问题，以及在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题。

教学重点：对实际问题建立函数模型。

教学难点：通过观察图象，判断问题所适用的函数模型是难点。

教学过程
一、复习提问
评讲作业。

二、新课
例5、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/ 元6789101112
日均销售量/桶480440400360320280240
请根据以上根据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解：由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为：
480－40（x－1）＝520－40x（桶）
由于x＞0，所且520－40x＞0，即0＜x＜13
y＝（520－40x）x－200＝－40x2＋520x－200，0＜x＜13
由二次函数的性质，易知，当x＝6.5时，y有最大值。

所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。

例6、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表所示：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
(1)根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未 成年男性体重ykg 与身高xcm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么 这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg 的在我校男生的体重是否正常？
解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图，根据点的分布特征，可 考虑用y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性体重ykg 与身高xcm 关系的函数模型。

不妨取其中的两组数据（70，7.90），（160,47.25）代入y ＝a ·b x 得：
⎪⎩⎪⎨⎧•=•=1607025.479.7b
a b a ，用计算器解得：⎩⎨⎧≈≈02.12b a 这样，我们就得到一函数模型：x y 02.12⨯=
将已知数据代入上述函数解析式，或作出函数的图象，可以发现，这个函数模型 与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高 的关系。

（2）将x ＝175代入x y 02.12⨯=，得：
17502.12⨯=y ≈63.98
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖。

练习：P126
作业：P127 7、8、9。