中点、角分线、轴对称

中点、角分线、轴对称全等问题
内容 基本要求
略高要求
较高要求
全等三角形
了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系
掌握两个三角形全等的条件和全等三角形的性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题
会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题
一 中点模型
常用辅助线类型：倍长中线、倍长类中线、等腰三角形与直角三角形中的中点、中位线 技巧提炼：
1．已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：
①倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形． ②三角形中位线定理
2．已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线． 3．已知等腰三角形底边中点，可以考虑与定点连接用“三线合一”
4．有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中隐含中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条件时候，可以用辅助线添加．
二 角平分线模型
常用辅助线类型：往角两边作垂线、过角平分上一点作角平分线的垂线、在角两边截取相等的线段 技巧提炼：
角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3．OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，
A
B O
P
P
O
B A
A B
O
P
三 轴对称模型
常用辅助线：垂直平分线、作对称点或对称图形，折叠 技巧提炼：
1．图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．
①考察图形折叠的不变量：对应角与对应边
②考察图形折叠的折痕：折痕为对应点的连线的垂直平分线
自检自查必考点
考纲要求
2．轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来或将分散条件集中起来从而达到解题的目的．
3．哪些考虑要用作轴对称的基本图形？ ①线段或角度存在2倍关系 ②有互余、互补关系的图形 ③角度和或差存在特殊角度的 ④路径最短问题
考点一 中点模型
☞考点说明：利用倍长中线或类中线作辅助线
【例1】 如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．
M
E
D
C
B
A
【例2】 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点,点E 在直
线CF 上（点E 、C 不重合）.
（1）如图1, 若AB =BC ,点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及
BM
CE
的值, 并证明你的结论;
（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若
成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;
（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你
的结论.
（2012年海淀二模试题）
图1 图2 图3
F
A ( M
) D
N
D
A
C
E
D
N
M B F
E
C
B
F
N
M
E
C
B
A
☞考点说明：巧取等腰三角形与直角三角形中的中点作辅助线
【例3】 已知：AOB V 中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，AOB DCO ∠=∠. 连接AD BC 、，点M 、
N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
P
N
M
D
C
A
B
O P
N
M D
C
B
A
O
图1 图2
（1）如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO ∠=︒，则P M N △的形状是
________________，此时AD
BC =___________； （2）如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α∠=，证明PMN BAO △∽△，并计算
AD BC
的值（用含α的式子表示）；
（3）在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.
☞考点说明：巧用三角形中位线作辅助线
【例4】 在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，
，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。

（1）若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，
并写出CDB ∠的度数；
（2）在图2中，点P 不与点B M ，
重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使
得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围
（2012年北京中考试题）
巩固：已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图②所示，再连接相应的线段FD ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．试探索线段EG 与GC 的关系．
D
F
B A
C
E
图②
F
B
A
D
C
E
G
图①
考点二 角分线模型
☞考点说明：利用做角的一边作垂线
【例1】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的
四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于O ，若60A ∠=︒，
1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠，请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等
对边四边形； （3）在ABC ∆中，如果A ∠是不等于60º的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且
1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你
的结论.
O
E
D
C
B
A
【例2】 已知， 点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时
针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°. （1）利用图1，求证：PA =PB ；
（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当3POB PCB S S ∆∆=时，求PB 与PC 的比值；
（3）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图3补
全图形，并求OP 的长.
C
A
O
P
B
M
N
T
图2
T
N
M B
P O
A
C
T
N
M
B
P
O
A
考点三 轴对称模型
☞考点说明：利用轴对称思想构造辅助线
【例1】 阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC 中， D 是BC 边上的一点，若∠BAD =∠C =2∠DAC =45°，DC =2．求BD 的长． 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
（1）请你回答：图中BD 的长为____；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，若∠BAD =
∠C =2∠DAC =30°，DC =2，求BD 和AB 的长．
图① 图②
D A
B C
D A B C
【巩固】请阅读下列材料：
问题：如图1，在四边形ABCD 中，M 是BC 边的中点，且90AMD ∠=︒，请判断AB CD +与AD 之
间的大小关系．
小雪同学的思路是：作B 点关于AM 的对称点E ，连接AE ME DE 、
、，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
图1
M
D
C
B
A
图2A
B
C
D
M
图3
A
B
C
D
M
请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中AB CD +与AD 之间的大小关系，并给与证明；
（2）如图2，若将AMD ∠的度数改为120︒，原问题中的其他条件不变，证明：1
2AB BC CD AD ++≥;
（3）如图3，若135AMD ∠=︒，1222AB BC CD ===，，，求AD 的最大值．。