高中必修1教案4.1.2利用二分法求方程的近似解

§4.1.2利用二分法求方程的近似解
一、教学目标
1、知识与技能:
（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；
（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

2、过程与方法：
（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；
（2）让学生归纳整理本节所学的知识。

3、情感、态度与价值观：
①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；
②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。

二、教学重点、难点
重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?
三、学法与教法
1、想－想。

2、教法：探究交流，讲练结合。

四、教学过程
（一）、创设情景，揭示课题
提出问题：
（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程㏑x＋2x －6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？
（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？
（二）、研讨新知
一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”
的方法逐步缩小零点所在的范围。

取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)*f(3)
＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；
再取区间（2.5，3）的中点 2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为
f(2.75)*f(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；
由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实
越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复
相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为
零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。

例如，当精确度为
0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将
x=2.54作为函数f(x)=㏑x ＋2x －6零点的近似值，也就是方程㏑x ＋2x －6=0
近似值。

这种求零点近似值的方法叫做二分法。

1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中
的思想方法．
生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其
求法。

2．为什么由︱a － b ︳＜ε便可判断零点的近似值为a （或b ）？
先由学生思考几分钟，然后作如下说明：
设函数零点为x 0，则a ＜x 0＜b ，则：0＜x 0－a ＜b －a ，a －b ＜x 0－b ＜0；
由于︱a － b ︳＜ε，所以︱x 0 － a ︳＜b －a ＜ε,︱x 0 － b ︳＜∣ a －b ∣
＜ε,
即a 或b 作为零点x 0的近似值都达到了给定的精确度ε。

一、知数点: 二分法定义
对于在区间[],a b 上连续不断，且满足0)()(<b f a f 的函数)(x f y =，通过不断的
把函数()x f 的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而
得到零点近似值的方法比作二分法.
用二分法求零点的步骤
第一步：确定区间[]b a ,，验证()()0,f a f b < 给定精确度ε
第二步：求区间()b a ,的中点c ,
第三步：计算()c f .
①若()0=c f ，则c 就是函数的零点,
②若0)()(<c f a f ，则令c b =此时零点()0,x a c ∈，
③若0)()(<c f b f ，则令c a =，此时零点()00,x c b ∈。

第四步：判断是否达到精确度是ε，即若ε<-b a ，则得到零点的近似值a ()b 或；
否则重复第二步到第四步。

二、二分法的局限性
①二分法一区只能求一零点
②在()b a ,内有零点时0)()(<b f a f 未必成立，而这样的零点不能用二分法求解
③二分法计算量较大，常要借助计算器完成。

3、利用二分法函数零点，满足两个条件：
①图象：函数图象在零点附近是连续不断的；
②函数值：函数在该点两侧的函数值符号相反
三、典型例题
例1.已知 x 是函数x
x f x -+=112)(的一个零点，若() x x ,11∈，()+∞∈,02x x ，则（ )
()()0,021<<x f x f B.()()0,021><x f x f
C.()()0,021<>x f x f
D.()()0,021>>x f x f
解析：函数()x
x f x -+=112 在()+∞,1上单调递增，且在()+∞,1上有唯一的零点 x ，() x x ,11∈ ()∞+∈,2 x x 所以()()0,021><x f x f
例2.用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确度为0.1）
解析：令()732-+=x x f x
()x f 在()+∞∞-,上单调递增()()032,021>=<-=f f
()()02,1<f f 说明函数()x f 在区间()2,1内有零点0x 取区间()2,1的中点5.11=x ，
计算()033.05.1>≈f ，而()()05.11<f f ，则()01,1.5x ∈再取区间()5.1,1的中点
25.12=x 计算()087.025.1<-≈f ，而()()05.125.1<f f ，则()0 1.25,1.5x ∈，
同理可得，()0 1.375,1.5x ∈， ()0 1.375,1.4375x ∈，
由于1.4375 1.3750.06250.1-=<，
所以方程732=+x x 的近似解为4375.1。

知识小结：用二分法求方程的近似解的要点
①要看清题目的精确度，
②设出方程对应的函数，选定初始区间，一般在两个整数间，
③用二分法求出的零点，一般是零点的近似值，并不是所有函数才能用二分法求
零点，
④二分法计算量较大，要重复相同的步骤，要借助计算工具就比较容易。

四、例题综合
1、判断函数零点的大致区间
例3.函数()x
x x f 9lg -的零点所在的大致区间是（ ） (A)（6，7） (B)（7，8） (C)（8，9） (D)（9，10）
解析：
()x x x f 9lg -=，()0898lg 8<-=f ， ()019lg 9<-=f ， ()010
1109110>=-=f 。

则()()0109<f f ， ()x f 在这区间（9，10）内是连续的，所以()x
x x f 9lg -=的
零点的大致区间是
（9，10），选（D ）
利用函数零点求参数的取值范围
例4.若函数()()10≠>--=a a a x a x f x 且有两个零点，则实数a 的取值范围是
解析：令()0=--=a x a x f x 即()01x a x a a a =+<≠且，
设(),x g x a =(),h x x a =+
①当10<<a 时，()()x h x g 与的图象只有一交点，()x f 只有一个零点
②当1>a 时，()()x h x g 与的图象有两个不同的交点，()x f 有两个零点
所以，1>a ，a 的取值范围是()+∞,1。

例4、已知函数()23,,f x x x x R =+∈若()01=--x a x f 恰有4个互异的实数根，
则实数a 的取值范围是
解析：()01=--x a x f 恰有四个互异实根，则()1-=x a x f ，
令()12,1,y f x y a x ==-
所以，在同一坐标系中13221-=+=x a y x x y 与的图
象有4个不同的交点
作出：13221-=+=x a y x x y 与的图象如图
所以()⎩
⎨⎧-=+=x a y x x y 132 有两组不同解，
消去y 得()230x a x a +-+=有两个不相等的实 数根， 则()0432>--=∆a a
即()()91091,09102><>-->+-a a a a a a 或得，
所以，实数a 的取值范围是()()+∞∞-,91,
求函数零点的非等价变换
例5.如果函数()27141x x k f x x x x x
++=
+---只有一个零点，试k 的值及函数的零点 解析：()27141x x k f x x x x x ++=+---只有一个零点，则方程271401x x k x x x x +++-=-- 只有一个解得()2410x x k +-+=，
①当()16410,52k x ∆=+⨯+===-即k 时，，
②当()450,5k ∆=+>>-即k 时，若方程有一个增根是0=x ，0=x 是方程的根，
则()04010,1k k +⨯-+==-，当14k x =-=-时,，
若方程有一个增根是1=x ，若1=x 是方程的根，则()214110,4,
k k +⨯-+==当45k x ==-时,，所以，当5k =时，()x f 只有一零点2-=x ，当1k =-时，()x f 只有一个零点4-=x ，当4k =时，()x f 只有一个零点5-=x 。

求分段函数的零点个数
例6：已知函数()x x f ln =，则()20,01,42,1,x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩
则方程()()1=+x g x f 实根的个数为 。

解析：()()1=+x g x f 即()()()()x g x f x g x f -±=±=+1,1，()x x f ln =方程()()1=+x g x f 的实根的个数就是函数()()x g y x f y --==1与的图象的交点个数
之和， ()221,01,17,2,1,12,x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩
函数()()x g y x f y -==1与的图象有两个交点()221,01,15,2,3,12,x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩
函数()()x g y x f y -==1与的图象有两个交点，所以方程()()1=+x g x f 有4个实数根。

五、思考题
1.若函数
()423-=+a x x f 区间[]1,1-上存在一个零点，则实数a 的取值范围是
2.求方程x x 236=-的近似解（精确度为0.1），
3.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=2
,22,22x x x x x f 函数()()x f b x g --=2，其中R b ∈，若函数()()x g x f y -=，恰有4个零点，求实数b 的取值范围
答案：1.}{51<<-a a
2.0 1.25x = 3}{27<<-b a。