2020高考文数总复习课后限时集训22 正弦定理和余弦定理

课后限时集训(二十二)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
B [法一：由已知得2sin A cos B ＝sin
C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B .
法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 2
2ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .]
2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解
C ．无解
D ．有解但解的个数不确定
C [由正弦定理得b sin B ＝c
sin C ， ∴sin B ＝b sin C
c ＝40×32
20＝3＞1.
∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．]
3．(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
A [由余弦定理得A
B 2＝A
C 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故
选A.]
4．(2019·长春模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )
A.32
B.34
C.3
2或 3
D.32或34
D [由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ， 即1＝3＋BC 2－3BC ，解得BC ＝1或BC ＝2，
当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34. 当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32. 总上知，△ABC 的面积等于34或32.]
5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1
3BC ，则sin A ＝( )
A.3
10 B.1010 C.55
D.31010
D [过A 作AD ⊥BC 于D ，设BC ＝a ，由已知得AD ＝a 3.∵B ＝π
4，∴AD ＝BD ，∴BD ＝AD ＝a 3，DC ＝2
3a ，
∴AC ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2
＝53a ，在△ABC 中，
由正弦定理得a sin ∠BAC
＝53a sin π4
，
∴sin ∠BAC ＝310
10，故选D.] 二、填空题
6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.
4 [由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝3
2a ＝3.由余弦定理
cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－1
4＝22＋32－c 2
2×2×3
，解得c ＝4.]
7．(2019·青岛模拟)如图所示，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝
22
3
，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．
3 [∵sin ∠BAC ＝sin(90°＋∠BAD )＝cos ∠BAD ＝22
3， ∴在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD ， ∴BD 2＝18＋9－2×32×3×22
3＝3， ∴BD ＝ 3.]
8．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．
3
2
[由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )·(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，所以cos B ＝74，则sin B ＝3
4，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝3
2.]
三、解答题
9．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b2
2ac＝
1
4.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝ 2.
所以△ABC的面积为1
2×2×2＝1.
10．(2019·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b cos A＝(2c＋a)cos(π－B)．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝4，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．
[解](1)∵b cos A＝(2c＋a)cos(π－B)，∴b cos A＝(2c＋a)(－cos B)．
由正弦定理可得，sin B cos A＝(－2sin C－sin A)cos B，
即sin(A＋B)＝－2sin C cos B＝sin C.
又角C为△ABC的内角，∴sin C＞0，∴cos B＝－1 2.
又B∈(0，π)，∴B＝2π3.
(2)由S△ABC＝1
2ac sin B＝3，得ac＝4.
又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.
∴a＋c＝25，∴△ABC的周长为4＋2 5.
B组能力提升
1．(2019·佛山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
b＝2，c＝22，且C＝π
4，则△ABC的面积为() A.3＋1 B.3－1C．4D．2
A[法一：由余弦定理可得(22)2＝22＋a2－2×2×a×cos π
4，即a
2－22a
－4＝0，解得a＝2＋6或a＝2－6(舍去)，△ABC的面积S＝1
2ab sin C＝
1
2
×2×(2＋6)sin π
4＝1
2×2×
2
2×(6＋2)＝3＋1，选A.
法二：由正弦定理
b
sin B＝
c
sin C，得sin B＝
b sin C
c＝
1
2，又c＞b，且B∈(0，π)，
所以B＝π
6，所以A＝7π
12，所以△ABC的面积S＝
1
2bc sin A＝
1
2×2×22sin
7π
12＝
1
2
×2×22×6＋2
4＝3＋1.]
2．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高为()
A.
3
2 B.
33
2
C.
3
4 D. 3
B[在△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，
因为AC＝7，BC＝2，B＝60°，所以7＝AB2＋4－4×AB×1
2，所以AB
2－2AB
－3＝0，所以AB＝3，作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ADB中，AD＝AB×sin
60°＝33
2，即BC边上的高为
33
2，故选B.]
3．(2019·宝鸡模拟)如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB，BC，且AB＝23，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.若PB＝1，则P A＝________.
7[依题意，在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝4，sin∠ACB＝AB
AC＝
3 2，
所以∠ACB ＝60°.在Rt △PBC 中，PC ＝
BC 2
－PB 2
＝3，sin ∠PCB ＝PB BC ＝1
2，
∠PCB ＝30°，因此∠ACP ＝∠ACB －∠PCB ＝30°.在△ACP 中，AP ＝AC 2＋CP 2－2AC ·CP ·cos ∠ACP ＝7.]
4．(2019·贵阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c,1＋tan A
tan B ＝2c 3b
. (1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cos C 的取值范围； (3)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝π
4，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．
[解] (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )
cos A sin B
＝2sin C
3sin B
. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin C cos A sin B ＝2sin C
3sin B ，
所以cos A ＝32，故A ＝π
6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π
6， 所以B ＋C ＝5π
6
.
所以y ＝2sin 2B －2sin B cos C ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6－B
＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B
＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋1
2cos 2B ＝12＋32sin 2B －1
2cos 2B ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2B －π6＋12.
又△ABC 为锐角三角形， 所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6， 所以12＜sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2B －π6＜1，
所以y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.
(3)法一：选择①②，可确定△ABC . 因为A ＝π
6，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，
由余弦定理，得12
＝b 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋12b 2－2b ·3＋12b ·3
2， 整理得b 2
＝2，b ＝2，c ＝6＋2
2，
所以S △ABC ＝12bc sin A ＝1
2×2×6＋22×12＝3＋14. 法二：选择①③，可确定△ABC . 因为B ＝π4，所以C ＝7π
12.
又sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24，
故由正弦定理得c ＝a sin C
sin A ＝
1×sin 7π
12sin π6
＝6＋22，
1
2ac sin B＝1
2×1×
6＋2
2×
2
2＝
3＋1
4.
所以S△ABC＝。