2020高二数学下学期期中试题理1

(2i)(3i)
1i z -+=
+【2019最新】精选高二数学下学期期中试题理1
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）函数在区间上的平均变化率为（ ）2x y =[23]，
A ．2
B ．3
C ．5
D ．4 （2）函数的斜率等于1的切线有（ ）31()3
f x x =
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．不确定
（3）复数 的共轭复数为（ ）
A ．
B ．34i +34i -
C ．
D ．12i +12i -
（4）用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设
是（ ）20x ax b ++=
A ．方程没有实根20x ax b ++=
B ．方程至多有一个实根20x ax b ++=
C ．方程至多有两个实根20x ax b ++=
D ．方程恰好有两个实根20x ax b ++=
（5）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）()
f x ()f x '2()(2)f x x f x '=+(2)f '=
A ．1
B ．1
3
C ．
D ． 1
21
3
- （6）直线与曲线围成图形的面积为（ ）x y =2x y =
A ．
B ． 1
31
2
C ．
D ．116
（7）若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）3()3f x x ax =-(01)，a
A ．
B ．[)1，
+∞(]0，-∞ C ． D ． (][)01，
，-∞+∞[]01， （8）已知函数是定义域上的奇函数，是其导函数，，当时，，则不等式的解集是（ ）
()f x {
}0≠x x )(x f '2
2=)(f 0>x ()()0
xf x f x '-<()
1f x x
< A ． B ．)2()02(∞+-，， )
2()2(∞+--∞，，
C ．
D ．()2，+∞)20()02(，， -
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上.）
（9）设，其中是实数,则_________．
23i 4i a b +=+，a b i a b +=
（10）计算定积分=_________．dx x x )2(1
0+⎰
（11）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系
式为，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_____万件．y x
31
812343
y x x =-+-
（12）观察下列式子：根据以上式子可以猜想：
________．，，，， 474
131211353121123211222222<+++<++<+2221111232018+++⋯+< （
13
）
已
知函数，为的导函数,则的值为
______
．
()sin (e e )1()，x x f x a x b a b -=+-+∈∈R R ()
f x '()
f x (2018)(2018)(2019)(2019)f f f f ''+-+--
（14）已知函数．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为
____________．
2
2()()e x
a x f x a -=∈R [1)，
x ∈+∞()10f x +>a 三、解答题（本题共6道大题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
（15）（本小题满分13分）已知，是虚数单位，复数. （Ⅰ）若是纯虚数，求的值；m ∈R i
222(1)i z m m m =+-+-
222(1)i z m m m =+-+-m
（Ⅱ）若复数z 对应的点位于第二象限，求的取值范围.m
（16）（本小题满分13分）已知函数.2()e x f x x = （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；()y f x =(1(1))，f （Ⅱ）证明：当时，.0
x >()3e 2e x f x ≥-
（17）（本小题满分13分）已知函数，当时，函数取得极值．321()33
f x x ax x =+-1
x =()f x
（Ⅰ）求实数的值；a
（Ⅱ）方程有3个不同的根，求实数的取值范围．()20f x m -=m
（18）（本小题满分13分）已知．)N (1
2111*∈++++++=n n n n n S n
（Ⅰ）求的值；123，，S S S
（Ⅱ）用数学归纳法证明．1124
n S ≥
（19）（本小题满分14分）已知函数．21()2ln 22
f x x a x x =+-()a ∈R
（Ⅰ）若函数在区间上不单调，求的取值范围；)(x f (12)，a
（Ⅱ）令，当时，求在区间上的最大值．()()F x f x ax =-0a >()F x []12，
（20）（本小题满分14分）已知函数．()e 1x f x ax a =-+- （Ⅰ）若的极值为，求的值；()f x e 1-a
（Ⅱ）若时，恒成立，求的取值范围．[)，
x a ∈+∞()0f x ≥a
参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．C 8．B 二、填空题：
9． 10． 11．9 12． 13．2 14．1335
三、解答题
15．解（Ⅰ）是纯虚数，i m m m z )1(222-+-+=
⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-+∴0
10222m m m ， ·············4分
2-=∴m . ·············5分
（Ⅱ）复数对应的点位于第二象限 i m m m z )1(22
2-+-+=
⎪⎩⎪⎨⎧>-<-+∴01022
2m m m ·······
······9分
12-<<-∴m ·······
······13分
16．解：（Ⅰ） ·············1分x x e x xe x f 22)(+='
e f 3)1(=' ······
·······2分
e f =)1( ······
·······3分
所以切线方程为：)1(3-=-x e e y
即 ·············4分023=--e y ex
（Ⅱ）令 ·············6分
e e e x e e x
f x F x x x 2323)()(2+-=+-=
)1)(3()32(32)(22-+=-+=-+='x x e x x e e e x xe x F x x x x x ············
·7分
当时，，当时，.)1,0(∈x 0)(<'x F ),1(+∞∈x 0)(>'x F
所以在上单调递减，在上单调递增. ·············9分 )(x F )1,0(),1(+∞
所以当时， ·············10分
0>x 0)1()(min ==F x F
0)(0≥>∴x F x 时， ········
·····11分
故当时， ·············13分
0>x e e x f x 23)(-≥
17．解：（Ⅰ）由，则 ···1分x ax x x f 33
1
)(23-+=32)(2-+='ax x x f
因为在时，取得极值1=x )(x f
所以 ·············3分
0321)1(=-+='a f
解得， 1=a
经验证 时满足条件。

1=a
1=∴a ·······
······4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得x
x x x f 33
1)(23-+=
则32)(2-+='x x x f
由，解得或； ·············6分
0)(='x f 3-=x 1=x
0)(>'x f ，解得或；3-<x 1>x
0)(<'x f ，解得 13<<-x
∴的递增区间为：和； )(x f ()3,-∞-()+∞,1
)(x f 的递减区间为： (8)
分()1,3-
)(x f 图像如图所示：
又，， ······························10分9)3(=-f 3
5
)1(-
=f 方程有3个不同的根，02)(=-m x f
2965<
<-∴m ················
························13分
18．解：（Ⅰ），)(1
2111*N n n
n n n S n ∈++++++=
21
1111=
+=
∴S ········
·····1分
1272211212=
+++=
∴S ·········
····2分
60373312311313=
+++++=
∴S ·········
····4分
（Ⅱ）①由（1）知， ·············5分24
11
211111≥
=+=
S ②假设当时成立，即. ···6分)
(*N k k n ∈=24
11
12111≥
++++++k k k k 当时， 1+=k n 2
1
3121+++
++++k k k k ·········
····11分24
11
≥
即当时成立. 1+=k n 24
11≥n S 根
据
①
和
②
知，对任何都成
立. ·············13分*N n ∈ 19
．
解
：
函
数
的
定
义
域
为 ·············1分)(x f ()+∞,0
（Ⅰ） ·············2分
x
a
x x x a x x f 2222)(2+-=-+='
令， 其对称轴为 ， a x x x g 22)(2+-=1=x
函数在区间上不单调，)(x f )2,1(
⎩⎨
⎧><∴0)2(0
)1(g g ，即， ·············4分⎩
⎨⎧><+-02021a a
的取值范围
为. ·············5分
a ∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,0
（Ⅱ）ax
x x a x x F --+=2ln 22
1)(2
函数的定义域为 )(x F ()
+∞,0
x
a x x x a ax x x a x a x x F )
)(2(2222)(2--=+--=--+=', ·······6分
①时，令得，10≤<a 0)(>'x F 20><<x a x 或 令得，0)(<'x F 2<<x a
所以函数在上单调递减，)(x F []2,1
a F x F --==∴2
3
)1()(max ········
·····8分
②时，由①知：在上单调递增，在上单调递减，21<<a )(x F ()a ,1()2,a
2max 2
1
2ln 2)()(a a a a a F x F --==∴ ··········
···10分
③时，，2=a 0)(≥'x F
所以在上单调递增，)(x F []2,1
222ln 2)2()(max --==∴a a F x F ·········
····11分
④时，令得，2>a 0)(>'x F a x x ><<或20 令得，0)(<'x F a x <<2
所以函数在上单调递增，)(x F []2,1
222ln 2)2()(max --==∴a a F x F ·········
····13分
综上：时，10≤<a a F x F --==2
3)1()(max
21<<a 时， 2max 2
1
2ln 2)()(a a a a a F x F --==
2≥a 时， ·············14分
222ln 2)2()(max --==a a F x F
20．解：（1），1)(-+-=a ax e x f x
,)(a e x f x -='∴ ······
·······1分
当时，，在上单调递增，无极值，不符合题意.0≤a 0)(>'x f )(x f ()+∞,0 所以0>a
令，则0)(='∴x f a x ln =
当时， ·············2分
a x ln <0)(ln ,0)(>'><'x f a x x f 时，
1
1ln 21ln )(ln )(ln -=--=-+-==∴e a a a a a a e a f x f a 极小值 ···3分
e a =∴ ····
·········4分
（2）
,)(a e x f x -=')(a x ≥
1．当时，，在单调递增，0
<a 0)(>'x f )(x f [)+∞,a
011)1(>-=-+-=e a a e f ，
0)(≥∴x f 不恒成立. ·············6分
2．当时，，在单调递增，0
=a 0)(>='x e x f )(x f [)+∞,0 0)(≥∴x f 恒成立. ·············8分
3．当时，，0>a a x a e x f x ln ,0)(==-='
)(x f 在单调递减，在单调递增. ···········9分()a ln ,∞-),(ln +∞a 令，a
a a a u a a a u 11
1)(,ln )(-=-='-= )(a u 在（0,1）单调递减，单调递增，),1(+∞
)(x f ∴在单调递增， [)+∞,a
1)()(2-+-=≥∴a a e a f x f a ·············11分
令,1)(2-+-=x x e x g x
,2)(-=''x e x g )(x g '在单调递减，在单调递增.()2ln ,0()+∞,2ln
[)上单调递增，在∞+∴0)(x g .
()01000)(0=-+-=≥∴e g x g 恒成立，
0)(,0>>∴x f a 恒成立. ··········13分
综
上，. ·············14分0
a。