鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定课堂基础达标测试题二(拔高部分含答案)

鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定课堂基础达
标测试题二（拔高部分含答案）
1．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE=CF ．连
接AE ，BF ，AE 与BF 交于点G ．下列结论错误的是（ ）
A ．AE=BF
B ．∠DAE=∠BFC
C ．∠AEB+∠BFC=90°
D ．A
E ⊥BF
2．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ，过A 作AE 的垂线交ED 于点P ，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③PD=，其中正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
3．下列对正方形的描述错误的是（ ）
A ．正方形的四个角都是直角
B ．正方形的对角线互相垂直
C ．邻边相等的矩形是正方形
D ．对角线相等的平行四边形是正方形
4．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝8，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP (点A 落在点E 处)，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则DP 的长为( )
A ．
B ．
C ．1
D ．
5．已知正方形的边长为，则它的对角线的长为（ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．．
6．如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第
一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2008个正方形的边长a 2008为（ ）
A ．a 2008＝4200712⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．a 2008＝22007⎝⎭
C ．a 2008＝4200812⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．a 2008＝22008⎝⎭
7．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且BG=CG ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=450
；
③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S △FGC =.其中正确结论的个数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
8．如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB=CD ，下列结论：
①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD），其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，是正方形内任意一点，与的面积之和为，则
________．
10．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．
11．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，折痕DE分别交AB，
AC于点E，G，若AB=2，则AG的长为______．
12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是_____．13．如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和4cm的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为_____cm．
14．如图，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4cm，1cm，若将正方形AEFG 绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F 之间的最小距离为_______.
15．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；
④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正确结论的序号是____________．
16．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=________. 17．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D 作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE
（1）求证:CE=AD
（2）若D为AB的中点,则∠A的度数满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明理由.
18．如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO=45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y=-2x+8与直线AQ交于点P．
（1）求直线AQ的解析式；
（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．
（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线P A上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．
19．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
20．如图，在▱ABCD中，以点4为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点
B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并廷长交BC于点E，连接EF
（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝2，AE＝2，求∠BAD的大小．
21．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小华同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼.该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED为正方形，∠DCE＝45°，AB=100米.小华某天绕该道路晨跑5圈，求小华该天晨跑的路程是多少？（结果保留整数，）
22．如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形
的边，，上，，连结．
若，求证：四边形为正方形；
若，求的面积．
答案
1．C
解:∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，
∴△ABE ≌△BCF，
∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，
∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，
∴∠FBC+ AEB=90°，
∴AE⊥BF，
所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C
2．A
解:①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB，故①正确；
②∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED，故②正确；
③在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴EP=，
又∵PB=，
∴BE=，
∵△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，故③错误，故选A.
3．D
解:∵正方形的四个角都是直角，对角线互相垂直，
∴A、B正确；
∵邻边相等的矩形是正方形，
∴C正确；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，
∴D不正确；
故选：D．
4．A
解:如图所示，由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=10，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=8-x，DG=PE=x，求出GC=10-x、BG=10-（8-x），根据勾股定理BC2+CG2=BG2,
得出方程82+(10-x)2=(x+2)2，解方程即可得到x=，即AP的长为.
所以，PD=AD-AP=8-=.故选：A
5．D
解:∵正方形的边长为2，∴它的对角线的长为2，即．故选：D．
6．B
解:设第1个正方形的边长a1=2，
根据题意得，第2个正方形的边长为a2=
a1，
2
第3个正方形的边长为a321）=2a1，
第4个正方形的边长为a432a1=）3a1，
…，
第2008个正方形的边长a2008=（
）2007a1，
2
∵a 1=2，∴a 2008=2）2007．故选：B ． 7．D
解:①正确．理由： ∵AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）；
②正确．理由：
∵∠BAG =∠F AG ，∠DAE =∠F AE ．
又∵∠BAD =90°，∴∠EAG =45°；
③正确．理由：
设DE =x ，则EF =x ，EC =12-x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：（12﹣x ）2+62=（x +6）2，解得：x =4，∴DE =x =4，CE =12-x =8，∴CE =2DE ；
④正确．理由：
∵CG =BG ，BG =GF ，∴CG =GF ，∴∠GFC =∠GCF ．
又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB =∠AGF ，
∠AGB +∠AGF =2∠AGB =∠GFC +∠GCF =2∠GFC =2∠GCF
，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ；
⑤正确．理由：
∵S △ECG =GC •CE =×6×8=24．
∵S △FCG ===．
故选D ．
8．C 解:∵E、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，
∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是菱形，正确；
③HF平分∠EHG，正确；
④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，
∴连接CD，延长EG到CD上一点N，
如下图所示：
∴EN=BC，GN=AD，
∴EG=(BC-AD)，只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；故①②③对.故选C.
9．4
解:如图，过点作，，则正方形被分成四个小矩形，
所以，，，，，
，
与的面积之和为，
正方形的面积为，.故答案为：.
10．52018
解:：∵第1个正方形的面积为：1+4××2×1=5=51；
第2个正方形的面积为：5+4××2×=25=52；
第3个正方形的面积为：25+4××2×=125=53；
…
∴第n个正方形的面积为：5n；∴第2018个正方形的面积为：52018．故答案为52018．11．
解:∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=∠ABD=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=∠EDF=∠ADO=22.5°，EF=AE，
∴∠AGE=∠GAD+∠ADG=67.5°，∠AEG=90°-∠ADG=67.5°，∠DEF=67.5°，
∴∠AGE=∠AEG，∠BEF=180°-∠AEG-∠DEF=45°，
∴AE=AG，∠BEF=∠ABD=45°，
在△BEF中，∠BEF=∠ABD=45°，∴∠BFE=180°-∠BEF-∠ABD=90°，BF=EF，
∴BE2=BF2+EF2=2EF2，
∵AE+BE=AB=2，∴BE=2-AE=2-AG，
∴（2-AG）2=2AG2，∴AG=，故答案为：.
12．﹣1．
解：如图，当点G在CE上时，此时CG的值最小，
∵将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，
∴AE=GE，
∵E是AB边的中点，AB=2，
∴AE=BE=GE=1，
∵BC=AB=2，
∴CE===
∴GC=CE-GE=-1.
13．5．
解：根据题意可知：
这个正方形的面积是32+42=25，
所以这个正方形的边长为=5cm．
故答案为：5.
14．cm
解:连接AF、AC、CF，如图，
正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm，1cm，
CF≥AC-AF（当点A、F、C共线时，取等号），
CF的最小值为，
故答案为：cm.
15．①②④⑤
解:连接PC，
（1）∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，∠C=90°可得四边形PECF是矩形，∴CP=EF，
∵正方形ABCD关于BD对称，点P在BD上，
∴AP=CP，
∴AP=EF，故①正确；
（2）延长AP交EF于点H，过点P作PM⊥AB于点M，则由已知易得PM=PE，∠PMA=∠EPF=90°，结合AP=EF，可得△APM≌△FEP，
∴∠EFP=∠PAM，
∵∠PAM+∠APM=90°，∠APM=∠FPH，
∴∠FPH+∠EFP=90°，
∴∠PHF=90°，
∴AP⊥EF，即②正确；
（3）∵当点P在BD上不同的位置时，△APD的形状不一样，
∴△APD不一定是等腰三角形，故③错误；
（4）由（2）可知△APM≌△FEP,
∴∠BAP=∠PFE，故④正确；
（5）如图，由已知易得∠BDF=45°，∠DFP=90°，
∴PD=PF，
又∵PF=CE，
∴PD=CE，故⑤正确.
综上所述，上述5个结论中，正确的是①②④⑤.
16．解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE．在△ABC和△BDE中，∵∠ACB=∠BED，
∠CAB=∠EBD，AB=BD，∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE．∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2．∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故答案为：6．
17．(1);(2) 当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由.（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，AD=BD
∴∠CDB=90°，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
18．（1）直线AQ的解析式为y=x+2；（2）F（0，4）；（3）存在，C（0，）或C（0，-10）
解：（1）设直线AQ的解析式为y=kx+b，
∵直线AQ在y轴上的截距为2，
∴b=2，
∴直线AQ的解析式为y=kx+2，
∴OQ=2，
在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°，
∴OA=OQ=2，
∴A（-2，0），
∴-2k+2=0，
∴k=1，
∴直线AQ的解析式为y=x+2；
（2）由（1）知，直线AQ的解析式为y=x+2①，
∵直线BE：y=-2x+8②，
联立①②解得，
∴P（2，4），
∵四边形BPFO是梯形，
∴PF∥x轴，
∴F（0，4）；
（3）设C（0，c），
∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，
①当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分，
设C（0，c），
∵CQ的中点坐标为（0，），
∴点M，N的纵坐标都是，
∴M（，），N（，），
∴+=0，
∴c=-10，
∴C（0，-10），
②当CQ为边时，CQ∥MN，CQ=MN=QM，
设M（m，m+2），
∴N（m，-2m+8），
∴|3m-6|=2-c=|m|，
∴m=或m=，
∴c=或c=（舍），
∴，
∴（0，）或C（0，-10）.
19．（1）证明；（2）50.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=1
2
AE2=
1
2
×100=50．
20．(1);(2)60°.
解：（1）在△AEB和△AEF中，
，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）连结BF，交AE于G．
∵AB=AF=2，
∴GA=AE=×2=，
在Rt△AGB中，cos∠BAE==，
∴∠BAG=30°，
∴∠BAF=2∠BAG=60°，
21．小华该天晨跑的路程约为2705米
解：∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝AB＝BE＝AD＝100，∠DEC＝∠DEB＝90°，又∵∠DCE＝45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴EC＝DE＝100，
∴DC＝，
5(AB＋BC＋CD＋AD)＝5(100＋100＋100＋＋100)
＝5（400+）
≈2705(米)，
∴小华该天晨跑的路程约为2705米.
22．（1）；（2）2
证明：∵四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴四边形为正方形；解：作于，连结，如图，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，即，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积．。