【原创】2016届高三上学期数学开学测试题分类之解答题汇总

17．复数()2
132z i a a i =--++（a R ∈），
（Ⅰ）若z z =，求||z ；
（Ⅱ）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围． 【答案】（1）当1a =时，Z 0=；当1a =-时，6Z =． （2）11a -<<
【解析】（1）()
22321z a a a i =-++-，
由z z =知，210a -=，故1a =±． 当1a =时，0z =；当1a =-时，6z =． （2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即22
320
10a a a ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩， 即21
11
a a a ><⎧⎨
-<<⎩或， 所以11a -<<． 【难度】较易
18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如下直方图：
（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学
名的学生进行了调查，得到如下数据： 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
【答案】（Ⅰ）31；（Ⅱ）10
10
-； 【解析】
（Ⅰ）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，
依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故
10.150.20.03f =⨯=，20.450.20.09f =⨯=，2
231
0.27f f f ==
所以由
36()4
1(0.030.09)2
f f +⋅=-+得60.17f =，
所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， 故全年级视力在5.0以下的人数约为10000.83830⨯=
（Ⅱ）22
100(4118329)300
4.110 3.8415050732773
k ⨯⨯-⨯=
=≈>⨯⨯⨯ 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
【难度】一般
19．某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；
（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）
4
15
； （Ⅱ）X 为分布列为：
420331814028()0123757575757515E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==．
【解析】
（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．
则
12
23C 2()C 3P A ==
，
2435C 3()C 5P B ==． 因为事件A 与B 相互独立，
所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为
224
()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=
．
（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．
则
24
35C 3()C 5P C ==
．
X 的可能取值为：0,1,2,3．
1224
(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=
．
(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++
2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
．
(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++
2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
． 23318(3)()35575P X P ABC ===
⨯⨯=
．
X 为分布列为：
420331814028()0123757575757515E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==．
【难度】一般
20．已知函数22(),[1,)x x a
f x x x
++=
∈+∞ （1）若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围． （2）当0>a
时，求函数()f x 的最小值
【答案】（1）(3,)-+∞；（2）01a <≤时，最小值3a +，1a >时，最小值2 【解析】
（1）因为对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，即220x x a ++>恒成立，只需22a x x >--恒成立，只需2max (2)a x x >--，因为2
1(2)3x x x ≥⇒--≤-， 所以，实数a 的取值范围是(3,)-+∞．
（2）2'
2
()x a f x x
-= 因为a ＞0，所以令'12()0,x f x x ===解得
所以f （x ）在( 上单调递减，在
)
+∞单调递增
()011+13a f a <≤∞=+当时，f(x)在，上单调增，∴最小值为（）
()
12
a f >∞=当时，f(x)在【难度】较难
（二）
17．已知复数z=1﹣i （i 是虚数单位）
（Ⅰ）计算z 2
； （Ⅱ）若z 2
+a
，求实数a ，b 的值．
【答案】（Ⅰ）i 2-；（Ⅱ）4,1=-=b a ． 【解析】
（Ⅰ）()2
212z i i =-=-;
（Ⅱ）由233z az b i ++=-得()2133i a i b i -+++=-， 即()()233a b a i i ++-=-，所以3
23a b a +=⎧⎨-=-⎩
，
解得1a =-，4b =. 【难度】较易
18．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表
（
1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性。

（2）用最小二乘法计算利润额y 对销售额x 的回归直线方程． （3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
【答案】（1）两个变量符合正相关；（2）4.05.0+=x y ；（3）2．4 【解析】 （1）
（五个点中，有错的，不能得2分，有两个或两个以上对的，至少得1分） 两个变量符合正相关
（2）设回归直线的方程是：a bx y
+=ˆ， ;6,4.3==x y
∴9
1196
.136.01)4.0()1()4.1(3)()
)((1
2
1
+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-=
---=
∑∑==n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b
2
1
2010==
4.0=a
∴y 对销售额x 的回归直线方程为：4.05.0+=x y （3）当销售额为4（千万元）时，利润额为：
4.04
5.0ˆ+⨯=y
＝2．4（千万元） 【难度】较易
19．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲、乙、丙面试合格的概率分别是
12，12，2
3
，且面试是否合格互不影响．求：
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望． 【答案】（Ⅰ）
11
12
;（Ⅱ）76．
【解析】
用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立， 且P （A ）＝P （B ）＝
12， P （C ）＝2
3
（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是
21111
1()1()()()1().2312
-=-=-⋅=P ABC P A P B P C
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3．
(0)()()()P P ABC P ABC P ABC ξ==++
＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++
＝22
21112111
()()().2323233
⋅+⋅
+= 6分 (1)()()()P P AB C P ABC P ABC ξ==++
=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++
=2
221211111
()()().2
323233
⋅
+⋅+⋅= 8分 2121
(2)()()()()().236ξ====⋅=P P ABC P A P B P C
1
(3)()()()().6
ξ====P P ABC P A P B P C
所以， ξ的分布列是
ξ的期望11117
0123.33666
ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=E
【难度】一般
20．已知函数()2
1ln ,2
f x x ax x a R =-
+∈..
（Ⅰ）若()10f =，求函数()f x 的最大值；
（Ⅱ）令()()()1g x f x ax =--，求函数()g x 的单调区间；
（Ⅲ）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=
，证明12x x +≥. 【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）证明详见解析. 【解析】
（Ⅰ）因为(1)10
2a
f =-=，所以2a =， 1分
此时
2
()ln ,0f x x x x x =-+>， 2121()21(0)
x x f x x x x x -++'=-+=> , 2分
由()0f x '=，得1x =，所以
()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
故当1x =时函数有极大值，也是最大值，所以
()f x 的最大值为(1)0f =. 4分
（Ⅱ）21
()()1)ln (1)1
2g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(， 所以21(1)1
()(1)ax a x g x ax a x x -+-+'=-+-=
．
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．
所以
()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 6分
当0a >时，
2
1
()(1)
(1)1()a x x ax a x a g x x x
-+-+-+'==-
，
令
()0g x '=，得
1
x a =
．
所以当1
(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a ∈+∞时，()0g x '<， 因此函数()g x 在1
(0,)
x a ∈是增函数，在1(,)x a ∈+∞是减函数．
综上，当0a ≤时，函数
()g x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间；
当0a >时，函数()g x 的递增区间是1
(0,)
a ，递减区间是1(,)a +∞. 10分
（Ⅲ）当2a =-时，2
()ln ,0f x x x x x =++>.
由1212()()0f x f x x x ++=，即22
11122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=. 从而
212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅. 令
12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，
1
()t t t ϕ-'=
. 12分
可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增．
所以()(1)1t ϕϕ=≥，
所以2
1
212()()1x x x x +++≥，因为120,0x x >>,
因此
12x x +成立. 13分
【难度】困难
（三）
17．已知z 是复数，若i z 2+为实数（i 为虚数单位），且4-z 为纯虚数． （1）求复数z ；
（2）若复数()2
mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围
【答案】（1）i z 24-=；（2）22<<-m 【解析】
解：（1）设(),z x yi x y R =+∈．
由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-． 由4z -yi x +-=)4(为纯虚数，得4x =． ∴i z 24-=．
（2）∵i m m m mi z )2(8)124()(2
2-+++-=+，
根据条件，可知⎪⎩⎪
⎨⎧<->-+,
0)2(8,04122
m m m
解得22<<-m ，
∴实数m 的取值范围是()2,2-． 【难度】较易
18．以下是搜集到的开封市祥符区新房屋的销售价格y （万元）和房屋的面积x （2
m ）的
数据： 已知变量x 和y 线性相关。

（Ⅰ）求x 、y ，及线性回归方程；
（Ⅱ）据（Ⅰ）的结果估计当房屋面积为2
85m 时的销售价格。

⎪⎪
⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
-=--=---=∑∑∑∑====.
,
)())((1
2
21
12
1
x b y a x n x
y
x n y
x x x y y x x b n
i i
n
i i
i
n
i i n
i i i
【答案】（Ⅰ） 100,23,0.2360.6x y y x ===- （Ⅱ） 19.46 【解析】
（Ⅰ） 100x =，23y =， 2分（一个数据1分）
51
()()177i
i
i x x y y =--=∑，
5
2
1
()
750
i
i x x =-=∑，
∴177ˆ0.236750b ==，ˆˆ0.6a y bx =-=-
所求的线性回归直线方程为ˆ
0.2360.6y x =-；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当85x =时，ˆ
0.236850.619.46y =⨯-=， 所以房屋面积为2
85m 时的销售价格约为19.46万元。

【难度】一般
19．某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动．该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示
（1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率． （2）从该班中任意选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．
（3）从该班中任意选两名学生，用η表示这两人参加活动次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率． 【答案】（1）
29
49（2）见解析；（3）37
【解析】
（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：
222
'
525202
5020
49C C C P C ++==，故所求的概率为202914949P =-= ； （2） 从该班中任选两名学生，用表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则的可能
取值分别为：0 ,1,2，
于是20(0)49P ξ==,1111525202525025
(1)49C C C C P C ξ+===,115202
504(2)49
C C P C ξ===, 从而ξ
的分布列为： ξ
01249494949
E ξ=⨯+⨯+⨯= ．
（3） 因为函数2
()1f x x x η=--在区间(3,5)上有且只有一个零点，则(3)(5)0f f ⋅<，即：
(83)(245)0ηη--<, 所以824
35
η<<
又由于η的取值分别为：2,3,4,5,6,故3η=或4,
故所求的概率为：11112525205252503()7
C C C C C P A C ++==． 【难度】一般
20．已知函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，且当()0,2x ∈时，1()ln ()2
f x x ax a =+<-，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为4-．
（1）求实数a 的值；
（2）设0b ≠，函数31()3
g x bx bx =-，()1,2x ∈．若对任意()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使()()12f x g x =，求实数b 的取值范围．
【答案】（1）a=-1；（2）33ln 22b -+≤，或33ln 22
b -≥； 【解析】
（1）当x ∈(0，2)时，11()(2)(4)24
f x f x f x =
-=-， 由条件，当x-4∈(-4，-2)，(4)f x -的最大值为-4， 所以()f x 的最大值为-1． 因为11()ax f x a x x +'=+=，令()0f x '=，所以1x a
=-． 因为12
a <-，所以1(0,2)a -∈．当x ∈(0，1a -)时，()0f x '>，()f x 是增函数； 当x ∈(1a
-，2)时，()0f x '<；()f x 是减函数． 则当x 1a
-时，()f x 取得最大值为11()ln()11f a a -=--=-．所以a=-1． （2）设()f x 在()1,2x ∈的值域为A ，()g x 在()1,2x ∈的值域为B ，则依题意知A ⊆B ． 因为()f x 在()1,2x ∈上是减函数，所以 A (ln 22,1)--．
又22()(1)g x bx b b x '=-=-，因为()1,2x ∈，所以()210,3x -∈．
①b ＞0时，()g x '＞0，g(x)是增函数，B=22(,)33
b b -． 因为A ⊆B ，所以2ln 223b --≤．解得33ln 22
b -≥． ②b ＜0时，()g x '＜0，g(x)是减函数，B=22(,)33
b b -． 因为A ⊆B ，所以2ln 223
b -≤．33ln 22b -+≤．
由①，②知，33ln 22b -+≤，或33ln 22
b -≥． 【难度】困难
（四）
17．已知复数1
592()144
Z i i =+-++ （1）求复数Z 的模；
（2）若复数Z 是方程220x px q ++=的一个根，求实数,p q 的值？
【答案】（1）5;（2） 4,10p q ==
【解析】
解：（1）1
592()12144
Z i i i =+-+=-++
∴Z （2）∵复数Z 是方程2
20x px q ++=的一个根
∴6(28)0p q p i --++-=
由复数相等的定义，得： 60280
p q p --+=⎧⎨-=⎩ 解得：4,10p q ==
【难度】较易
18．万州区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()()121n
i i
i n i
i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆa
y bt =-
【答案】（Ⅰ）0.5 2.3y t =+；（Ⅱ）6千8百元左右．
【解析】 （Ⅰ）127 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94, 4.377t y +++++++++====, 设回归方程为y bt a =+,代入公式,经计算可得
31420.700.5 1.8 4.81410.5(941)21422
b ⨯++++++====++⨯⨯, 14.34 2.32a y bt =-=-⨯=, 所以, y 关于t 的回归方程为0.5 2.3y t =+．
（Ⅱ）0.50b =>,
∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长,预计到2015年该去人均纯收入0.59 2.3 6.8y =⨯+=（千元）,
所以,预计到2015年,该区人均纯收入约6千8百元左右．
【难度】较易
19．某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；
（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）415
； （Ⅱ）X 为分布列为：
420331814028()0123757575757515E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==．
【解析】 （Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．
则
1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==． 因为事件A 与B 相互独立，
所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为
224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=．
（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”． 则
2435C 3()C 5P C ==． X 的可能取值为：0,1,2,3．
1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=．
(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++
2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++
2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=．
X 为分布列为：
420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．
【难度】一般
20．已知函数x x x f 2)(2+=．
（1）若],2[a x -∈，求)(x f 的值域；
（2）若存在实数t ，当],1[m x ∈，x t x f 3)(≤+恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）]2,1[2a a +-;（2）]8,1(.
【解析】
（1）由题意得
当12-≤<-a 时，0)2()(max =-=f x f ，a a a f x f 2)()(2min +==，
∴此时)(x f 的值域为]0,2[2a a +。

当01≤<-a 时，0)2()(max =-=f x f ，1)1()(min -=-=f x f ，
∴此时)(x f 的值域为]0,1[-。

当0>a 时，a a x f 2)(2max +=，1)1()(min -=-=f x f ，
∴此时)(x f 的值域为]2,1[2a a +-。

（2）由x t x f 3)(≤+恒成立得02)12(22≤++-+t t x t x 恒成立。

令t t x t x x u 2)12()(22++-+=，],1[m x ∈，因为抛物线的开口向上，
所以)}(),1(m ax{)(max m u u x u =。

由0)(≤x u 恒成立知⎩⎨⎧≤≤0)(0)1(m u u ，化简得⎩
⎨⎧≤-+++≤≤-0)1(20422m m t m t t 令m m t m t t g -+++=22)1(2)(，则原题可转化为：存在]0,4[-∈t ，使得0)(≤t g 。

即当]0,4[-∈t 时，0)(min ≤t g 。

∵1>m ，)(t g 的对称轴为21-<--=m t 。

①当41-<--m ，即3>m 时，)4()(min -=g t g
∴⎩
⎨⎧≤-++->0)1(81632m m m m ，解得83≤<m ②当214-<--≤-m ，即31≤<m 时，m m g t g 31)1()(min --=--=
∴⎩
⎨⎧≤--≤<03131m m ，解得31≤<m 综上，m 的取值范围为]8,1(.
【难度】困难
（五）
17．已知i z +=1；
（1）如果,432-+=z z w 求w 的值；
（2）如果,11
22i z z b az z -=+-++求实数b a ,的值. 【答案】（1）i w --=1；（2）⎩⎨
⎧=-=2
1b a 【解析】
（1）因为：i z +=1 所以，()()223413*********,w z z i i i i i =+-=++--=+-+--=-- （2）由i z +=1得：()()()()2
22211121112111111
i a i b z az b i a ai b z z i i i i +++++++-+++==-++---++-++ ＝()()()()22a b a i i a b a i i i i +++-⎡⎤+++⎣⎦=-＝()2a a b i +-+ 又因为：,11
22i z z b az z -=+-++所以，()2a a b i +-+＝1i - 所以有211a a b +=⎧⎨+=⎩，解得：⎩
⎨⎧=-=21b a 【难度】较易
18．某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；
（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）415
； （Ⅱ）X 为分布列为：
420331814028()0123757575757515E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==．
【解析】 （Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．
则
1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==． 因为事件A 与B 相互独立，
所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为
224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=．
（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”． 则
2435C 3()C 5P C ==． X 的可能取值为：0,1,2,3．
1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=．
(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++
2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++
2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=．
X 为分布列为：
420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．
【难度】一般
19．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生
产能耗
（吨标准煤）的几组对照数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
（参考数值：） 【答案】（1）见解析；（2）35.07.0+='x y ；（3）19．65
【解析】
（1）散点图如下：
（2）
所以线性同归方程为：
（3）=100时，
，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比
技术改造前降低19．65吨标准煤．
【难度】一般
20．已知函数211()ln (,0)22
f x x a x a a =
--∈≠R ． （Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）10x y +-=（Ⅱ）当0a <时增区间为()0,+∞当0a >时增区间为
)+∞，
减区间为（Ⅲ）(,0)(0,1]-∞
【解析】
（Ⅰ）2a =时，211()2ln ,(1)022f x x x f =--= 1分
2'(),'(1)1f x x f x =-=-
2分
曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程10x y +-= 3分 （Ⅱ）2'()(0)a x a f x x x x x -=-=>
4分
①当0a <时， 2'()0x a f x x
-=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,+∞ 6分 ②当0a >时，令'()0f x =
，解得x =
x =
所以函数()f x
的递增区间为)
+∞，递减区间为 8分 （Ⅲ）对任意的[1,)x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[1,)x ∈+∞，min ()0f x ≥ ①当0a <时，()f x
在∞[1,+)上是增函数，
所以只需(1)0f ≥
而11(1)ln1022
f a
=
--= 所以0a <满足题意； 9分
②当01a <≤时，01<≤，()f x 在∞[1,+)上是增函数，
所以只需(1)0f ≥
而11(1)ln1022
f a =
--= 所以01a <≤满足题意； 10分 ③当1a >1>，()f x 在上是减函数，∞)上是增函数， 所以只需0f ≥即可
而(1)0f f <=
从而1a >不满足题意； 12分
综合①②③实数a 的取值范围为(,0)
(0,1]-∞． 13分 【难度】较难
（六）
17．（1）用分析法证明：当2a ><
（2）设b a ,是两个不相等的正数，若111=+b
a ，用综合法证明：4>+
b a 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
（1只要证22)2()22(a a a <-++， 只要证a a a 44222
<-+， 只要证a a <-42，由于2a >， 只要证224a a <-，
<分
（2）因为0,0>>b a ，且b a
≠ 所以)11)((b
a b a b a ++=+ b
a a
b +++=11 422=⋅+>b
a a
b 所以4>+b a 。

10分
【难度】一般
18．复数()2
132z i a a i =--++（a R ∈）， （Ⅰ）若z z =，求||z ；
（Ⅱ）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围．
【答案】（1）当1a =时，Z 0=；当1a =-时，6Z =．
（2）11a -<< 【解析】 （1）
()22321z a a a i =-++-，
由z z =知，210a -=，故1a =±． 当1a =时，0z =；当1a =-时，6z =．
（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即22
320
10a a a ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩， 即21
11
a a a ><⎧⎨
-<<⎩或， 所以11a -<<． 【难度】较易
19．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如下直方图：
（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学
名的学生进行了调查，得到如下数据：
根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? （Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1~50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
0.15
0.45 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
【答案】（Ⅰ）31；（Ⅱ）10
10
-；（Ⅲ）分布列见解析，1． 【解析】
（Ⅰ）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，
依题意，前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，故
10.150.20.03f =⨯=，20.450.20.09f =⨯=，2
231
0.27f f f ==
所以由
36()4
1(0.030.09)2
f f +⋅=-+得60.17f =，
所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83， 故全年级视力在5.0以下的人数约为10000.83830⨯=
（Ⅱ）22
100(4118329)300
4.110 3.8415050732773
k ⨯⨯-⨯=
=≈>⨯⨯⨯ 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1~50名和951~1000名分别有3人和6人， X 可取0,1,2,3
363920
(0)84C P X C ===
， 21633945
(1)84C C P X C ===，
12633
918
(2)84C C P X C ===， 33391
(3)84
C P X C ===
X 的分布列为
X 的数学期望2045181()0123184848484
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 【难度】一般
20．万州区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：
（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i i t t y y b t t ∧
==--=
-∑∑，ˆˆa
y bt =-
【答案】（Ⅰ）0.5 2.3y t =+；（Ⅱ）6千8百元左右． 【解析】 （Ⅰ）
127 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
4, 4.377
t y +++++++++=
===,
设回归方程为y bt a =+,代入公式,经计算可得
31420.700.5 1.8 4.8141
0.5(941)21422
b ⨯++++++=
===++⨯⨯,
1
4.34 2.32
a y bt =-=-⨯=,
所以, y 关于t 的回归方程为0.5 2.3y t =+． 7分
（Ⅱ）0.50b =>,
∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长,预计到2015年该去人均纯收入
0.59 2.3 6.8
y =⨯+=
（千元）,
所以,预计到
2015年,该区人均纯收入约6
千8百元左右． 13分 【难度】一般 七、
17<【答案】见试题解析
【解析】
<
<
只需证2
2
<
即证<
< 即证1418<
而1418<是成立的
【难度】较易
18．实数x 分别取什么值时，复数z=x 2+x-6+(x 2
-2x-15)i 对应的点Z 在： （1）第三象限； （2）第四象限；
（3）直线x-y-3=0上？ 【答案】（1）-3＜x ＜2（2）2＜x ＜5（3）x=-2 【解析】
因为x 是实数，所以x 2+x-6,x 2
-2x-15也是实数. （1）当实数x 满足⎪⎩⎪⎨
⎧<--<-+0
152062
2x x x x
即-3＜x ＜2时，点Z 在第三象限. （2）当实数
x 满足⎪⎩
⎪⎨⎧<-->-+01520
622x x x x
即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限. （3）当实数x 满足(x 2+x-6)-(x 2
-2x-15)-3=0, 即x=-2时，点Z 在直线x-y-3=0上. 【难度】较易
19．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点， 每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）如果y 对x 有线性相关关系，求回归直线方程；
（Ⅲ）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
参考公式：1
2
21
ˆˆˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
a
y bx x nx
==-==--∑∑，
【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）ˆ0.72860.8571y
x =-;（Ⅲ）机器的运转速度因控制在14.9013转/秒内．
【解析】
解：（1）散点图（略） 2分
（2）161412812.54
x +++=
=，11985
8.254y +++=
= 4分 ∴2
161114912885412.58.25ˆ0.728625619614464412.5b
⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯ 7分 ∴ˆ8.250.728612.50.8571a
=-⨯=- 8分 ∴回归方程为：ˆ0.72860.8571y
x =- 9分 （3）由10y ≤，得：0.72860.857110x -≤，
解得 14.9013x ≤
∴机器的运转速度因控制在14.9013转/秒内 13分 【难度】一般
20．学习雷锋精神前半年内某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，学习雷锋精神时全修好；单位对学习雷锋精神前后各半年内餐椅的损坏情况作了一个大致统计，具体数据如下：
（Ⅰ）求:学习雷锋精神前后餐椅损坏的百分比分别是多少?并初步判断损毁餐椅数量与学习雷锋精神是否有关？
（Ⅱ）请说明是否有97．5%以上的把握认为损毁餐椅数量与学习雷锋精神有关？ 参考公式：2
2()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++
【答案】（1）学习雷锋精神前餐椅损坏的百分比是25%，学习后损坏的百分比是15%，损毁座椅减少与学习雷锋精神有关 （2）有97．5%的把我认为损毁座椅数减少与学习雷锋精神有关． 【解析】
（1）学习雷锋精神前座椅的损坏的百分比是:%
2520050
= 2分
学习雷锋精神后座椅的损坏的百分比是:%1520030
= 4分
因为二者有明显的差异,所以初步判断损毁座椅减少与学习雷锋精神有关． 5分
（2）根据题中的数据计算： 25
.620020032080)1503017050(4002
=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k 9分
因为6．25>5．024所以有97．5%的把我认为损毁座椅数减少与学习雷锋精神有关。

13
分
【难度】一般 八、
17．已知a>0，b>0，m>0，n>0，求证：a m ＋n ＋b m ＋n ≥ a m b n ＋a n b m
. 【答案】见解析. 【解析】
证明：a m ＋n ＋b m ＋n －（a m b n ＋a n b m
）
＝（a m ＋n
－a m b n
）－（a n b m
－b m ＋n
）＝a m
（a n
－b n
）－b m
（a n
－b n
）＝（a m
－b m
）（a n
－b n
）．
当a>b 时，a m >b m ，a n >b n ，∴（a m －b m ）（a n －b n
）>0；
当a<b 时，a m <b m ，a n <b n ，∴（a m －b m ）（a n －b n
）>0；
当a ＝b 时，a m ＝b m ，a n ＝b n ，∴（a m －b m ）（a n －b n
）＝0.
综上，（a m －b m ）（a n －b n ）≥0，即a m ＋n ＋b m ＋n ≥a m b n ＋a n b m
. 【难度】一般
18．已知关于x 的方程：x 2
﹣（6+i ）x +9+ai =0（a ∈R ）有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值．
（2）若复数z 满足|﹣a ﹣bi |﹣2|z |=0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的值． 【答案】（1）3==b a ；（2）当z=1﹣i 时,|z|有最小值且|z|min =． 【解析】
解：（1）∵b 是方程x 2
﹣（6+i ）x+9+ai=0（a ∈R ）的实根，
∴（b 2
﹣6b+9）+（a ﹣b ）i=0，
∴解之得a=b=3．
（2）设z=x+yi （x ，y ∈R ），由|﹣3﹣3i|=2|z|，
得（x ﹣3）2+（y+3）2=4（x 2+y 2
），
即（x+1）2+（y ﹣1）2
=8，
∴z 点的轨迹是以O 1（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，如图所示， 如图，
当z 点在OO 1的连线上时，|z|有最大值或最小值， ∵|OO 1|=半径r=2，
∴当z=1﹣i 时.|z|有最小值且|z|min =． 【难度】一般
19．为了解高二某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5
3. （1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； 下面的临界值表供参考：
（参考公式K 2
＝()()()()()
2
n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ）
【答案】（1）详见解析；（2）有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关 【解析】
解（1）列联表补充如下：
6分
∵()2
25020151058.3337.87930202525
K ⨯-⨯=≈≥⨯⨯⨯，
∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关． 13分 【难度】较易
20．某地粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=x+. （2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2014年的粮食需求量. 【答案】（1）
=6.5（x-2006）+260.2 （2）312.2（万吨） 【解析】 解：（1）由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回归直线方程,先
由预处理后的数据,容易算得错误！未找到引用源。

=0,错误！未找到引用源。

=3.2. =错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=6.5.
=错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

=3.2.由上述计算结果,知所求回归直线
方程为-257=（x-2006）+=6.5（x-2006）+3.2. 即=6.5（x-2006）+260.2. （2）利用所求得的直线方程,可预测2014年的粮食需求量为6.5×（2014-2006）+260.2=6.5×8+260.2=312.2（万吨）. 【难度】一般 九、
17．若0>>>>d c b a ，且c b d a +=+，求证：c b a d +<+ 【答案】详见解析
【解析】
要证c b a d +<+，只需证2
2)()(c b a d +<+
即bc c b ad d a 22++<++，因c b d a +=+， 只需证bc ad <即bc ad <， 因为a c b d -+=，则=-bc ad ()bc a c b a --+
bc a ac ab --+=2()()c a a b c a ---=
()()a b c a --=
因为0>>>>d c b a ，所以0>-c a ，0<-a d 从而0<-bc ad
所以c b a d +<+． 【难度】一般
18．已知复数226
(56)3
m m z m m i m --=
++++ （1）m 取什么值时，z 是实数？ （2）m 取什么值时，z 是纯虚数？ 【答案】（1）-2 （2）3 【解析】 （1）解2
3
3223
560m m m m m m m ≠-≠-⎧⎧⇒⇒=-⎨
⎨≠-=-++=⎩⎩或 当2m =-时，z 为实数
（2）解：223035602333260m m m m m m m m m m m +≠⎧≠-⎧⎪⎪
++≠⇒≠-≠-⇒=⎨⎨⎪⎪
==---=⎩⎩
且或
当3m =时，z 为纯虚数
【难度】较易
19．一家商场为了确定营销策略，进行了投入促销费用x 和商场实际销售额y 的试验，得到如下四组数据．
（1）在下面的直角坐标系中，画出上述数据的散点图，并据此判断两个变量是否具有较好的线性相关性；
（2）求出x，y之间的回归直线方程y＝b x＋a；
（3）若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？
【答案】（1）
（2）y＝70x－30.（3）9万元
【解析】
（1）如图所示，从散点图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性．
（2）因为x＝2356
4
＋＋＋
＝4，y＝
100200300400
4
＋＋＋
＝250，
则=4+1+1+4=10，
（x i－x）（y i－y）＝（－2）×（－150）＋（－1）×（－50）＋1×50＋2×150＝700，
所以b＝＝700
10
＝70，
a＝y－b x＝250－70×4＝－30.
故所求的回归直线方程为y ＝70x －30. （3）由题意得70x －30≥600，即x ≥
60030
70
＋＝9，所以若该商场计划营销额不低于600万元，则至少要投入9万元的促销费用． 【难度】一般 20．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖。

已知在全部30人中随机抽取1人,抽到肥胖的学生的概率为
415。

（1）请将上面的列联表补充完整
（2）是否有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由 （3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？
（参考公式：2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）
【答案】（1）
（2）有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． （3）8
15
p =． 【解析】
（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，34
,6x x +==
（2）由已知数据可求得：2
2
30(61824)8.5227.8791020822
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
因此有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．
（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有
AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种。

其中一男一女有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ， DE ，DF 。

故抽出一男一女的概率是8
15
p = 【难度】一般 十、
17．（1）用分析法证明：当2a >< （2）设b a ,是两个不相等的正数，若
11
1=+b
a ，用综合法证明：4>+
b a 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【解析】
（1只要证22)2()22(a a a <-++， 只要证a a a 44222
<-+，
只要证a a <-42
，由于2a >，
只要证224a a <-，
<（2）因为0,0>>b a ，且b a ≠
所以)11)(
(b
a b a b a ++=+ b
a a
b ++
+=11 42
2=⋅+>b
a
a b 所以4>+b a 。

【难度】一般
18．已知复数z 满足: 13,z i z =+- （1）求z 并求其在复平面上对应的点的坐标；
（2）求22
(1)(34)2i i z
++的共轭复数
【答案】i z 43-= 【解析】
（1）设(,)z x yi x y R =+∈
13()(1)(3)i x yi x y i +-+=-+-，
4
103x y
=-∴=-⎪⎩，解得4433x z i y =-⎧∴=-+⎨=⎩，
其在复平面上对应的点的坐标为(4,3)-.
（2）由（1）知22(1)(34)2(92416)247433422(43)43i i i i i
z i i z i i
++⨯+-+=-+∴===+-+-，
i z 43-=
【难度】较易
19．某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人. （Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？ （Ⅱ）4名成员随机分成两组，每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理。

求学生甲分到负责收集成绩组，学生乙分到负责数据处理组的概率。

附：
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++2
2
【答案】（Ⅰ）能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系；（Ⅱ）
1
3
． 【解析】
因为K 2
＝()2
80060500100140160640200600
⨯-⨯⨯⨯⨯＝16.667＞10.828．
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．
（Ⅱ）设其他学生为丙和丁，4人分组的所有情况如下表
分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是P ＝
26＝1
3
． 【难度】一般
20．某单位为了了解用电量y 度与气温x 0
C 之间的关系随机统计了某4天的用电量与当天气温
（1）求用电量y 与气温x 的线性回归方程；
（2）由（1）的方程预测气温为50
C 时，用电量的度数。

参考公式：
1
12
2
21
1
()()
()n
n
i
i i i
i i n
n i i i i x
x y y x y
nx y
b x x x nx
a y bx
====---=
=
--=-∑∑∑∑
【答案】（1）ˆ250y x =-+；（2）5,40x y ==
【解析】
（1）由题意值样本值n=4，将四组样本值代入参考公式求解
1
2
1
()()
4(8)2(4)(2)4(4)880
ˆ216441640
()
n
i
i
i n
i
i x x y
y b
x x ==--⨯-+⨯-+-⨯+-⨯-==
==-+++-∑∑，
ˆ30(2)1050a
=-=--⨯=，所以线性回归方程为ˆ250y x =-+。

（2）预测气温为50
C 时，令（1）中的回归方程中x=5，代入方程得到40y =，所以当气温是50
C 时，用电量是40．
【难度】一般。