南理工数学系概率论课后习题答案概率论(第四,五章习题课)

第四、五章复习小结
（一）特征函数的概念及其意义
（二）特征函数的性质（1）～（7）及反演公式及唯一性定理的应用。

（三）随机序列的收敛性；
（1）依概率收敛。

（2）依分布收敛及二者间的相互关系。

（四）理解依分布收敛的充分必要条件（勒
维—克拉美定理）。

特征函数在极限
定理中的作用。

（五）几种常见形式的大数定律与中心极限定理的证明。

数字特征与特征函数都是概率分布的某种表征，它们不但深化了对随机变量的认识，同时也为以后的研究作了必要的准备。

特征函数与分布函数是一一对应的，它虽然不象分布函数那样有直观的概率变化，但却有很好的分析性质。

因此它是解决某些分布问题的有力工具。

特别是处理随机序列独立和分布问题上
有极重要的地位。

第五章研究了极限定理，这是概率论基础中比较深入的结果，前几章学到的知识在这里得到了综合应用。

收敛性概念与特征函数这一工具是深入研究极限定理所不可缺少的。

强大数定理与一般场合的中心极限定理是概率率相当深刻的结果，前者的证明通过建立比车贝雪夫不等式更为锐利的不等式而实现，后者的证明则得力于特征函数这一有力的工具。

13.解 224(5)2(5)(3)5(3)(,)x x y y f x y C e ⎡⎤
--+--+-⎣⎦
=⋅
2211222221122()2()()()12(1)x a r x a y a y a r σσσσ⎧⎫⎡⎤----⎪⎪=
--+⎨⎬⎢⎥-⎪⎪⎣⎦⎩⎭
125,3
C a a ∴=
==；
222211
22
122
22122
12
114(1)2(1)8115(1)2(1)102(1)2(1)r r r r r r r
r σσσσσσσσ⎧⎧-=--=⎪⎪-⎪⎪
⎪⎪-=-⇔-=⎨⎨-⎪⎪⎪⎪=--=-⎪⎪⎩-⎩
∴(
)
1
2
1
22
2
22
1
2
112(1)2810r r σσ
⎛⎫=-⋅-=-⨯=
⎪
⎝⎭
而2
2222
22
21121
11
(2)(1)
4(1)
c
r r πσπ
σσ=
=
⨯⋅--
而
()2222
222121111111(1),11810802080
r r σσσσ⎛⎫-=⨯=∴-⋅-=
⎪⎝⎭
222
121
(1)76
r σσ∴-=
故
22
217676;0)44c c c ππ=
⨯==>
此例中(,)f x y
为;N ⎛⎫
⎝
22
12
2211512; 18(1)3810(1)19
8(1)20
r r σσ=
====---；
相应的特征函数1122
1
2
(,)jt jt t t E e
ξξϕ+⎡⎤=⎣⎦
2222
11121222112222122121(2)()
2
152223819(53)t rt t t j t m t m t t t j t t e
e
e e
δδδδ-+++⎛⎫-++ ⎪ ⎪⋅+⋅⎝⎭
=⋅=⋅
()5,()3
E E ξη==；
14.解 a) η的分布律为()n
q p n ξ=≤ (0,1,)n =，则η
的母函数
()n
n
n s q s ηψ∞
==⋅∑ 0
n
n k
k q p =⎛⎫=
⎪⎝
⎭
∑而 1
()n n n s s q S ηψ∞
+==∑
故
1223012012(1)()s s q q s q s q s q s q s ηψ-⋅=+++
-+++
230102132011()()()()n
n n n q q q s q s s q q s q q q s ∞
-==+-+-+-+=+-⋅
∑
而
001(0)(0);()(1)
n n q P P p q q P n P n ξξξξ-=≤===-=≤-≤-
(1)()n
P n n P n p ξξ=-<≤===；
故
01
2
(1)()()
n
n n n n n s s p p s p s s ηξψψ∞
∞
==-=+==∑∑，
()
()1s s s
ξηϕψ=
-
e ）
(2)
n q P n ξ==的母函数
20
()n
n
n n n n s q s p s ηψ∞
∞
====∑∑
112220001()2n
n
n n n n n s p s p s n pn s ηψ∞∞∞
===⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎢⎥==+- ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
∑∑∑
1
122
12s s ξξϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1112222
0120n n
n n n s p s p p s p s p s ξϕ∞
=⎛⎫⎛⎫
==+++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑
111
12222
0120(1)n
n
n
n n n s p s p p s p s p s ξϕ∞+-=⎛⎫⎛⎫-=-=++++-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑
故
11
122202422222n n s s p p S p s p s ξξϕϕ⎛⎫⎛⎫
+-=+++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
20
224()
n n n p s s η∞
==⋅=∑
例 重复掷一个骰子5次，求所得点数之和
为15的概率？
解 设i
ξ为第i 次掷出的点数，则总和6
1
i
i ηξ==∑。

而i
ξ的母函数
6261
11
11()6666k
i k s s s s s ψ==++
+=∑
显然1
5
ξ
ξ相互独立，故η的母函数
5
1
()()i
i s s ηψψ==∏
()5
65
2655565555
1
111()1(1)6
616
s s s s s s s s s -⎛⎫-=++=⋅⋅=⋅⋅-- ⎪-⎝⎭
()()5555
3355235551(1)(1)1(1)66
s s s s s s s s -=⋅-+⋅-=⋅+++
所求概率(15)P η=为()s η
ψ中15
s 项的系数，即
(15)(0)
651
(15);15!
65
P ψη==
=
18.解 1
()()
n
i n
s i t t ξψ
ψ==∏
1
10
0111()1i a
a a k k k k k s t p s s a a s ξψ--==-=⋅=⋅=⋅
-∑∑
1();
(1)i n
a s s t a s ψ⎛⎫
-= ⎪-⎝⎭
作业中的问题
p271
1.利用特征函数法求(),()E D ξξ 4. 因为
cos 2k
jt
jt
jtx k k
e
e t p e -+=
=∑
2222211cos 21112cos 22424
jt jt jt jt e e t t e e --++
+===++ 由唯一性定理的
此时 c o s t d t ∞
-∞
=+∞⎰
，
即
cos t 不是绝对可积的。

5.解 ○
a (())()()()()j t j aF
b t
jbt jaF t
jbt
jaF x t
t Ee Ee
e Ee
e e
dF x ηξξηϕ∞
+-∞
===⋅=⋅⎰
令()y F x =，注意题目()F x 为严格单调上升函数，则1
()x F y -=
1
()jbt
jay
jbt
t e e dy e ηϕ=⋅=⎰=。

○b ln ()ln ()()()
j F x t
j t
j F t
t Ee Ee
e
dF x ξξξ
ϕ∞
-∞
===⎰
令()y F x =，
1
1
(ln )0
()j y t
it t e
dy y dy ϕξ===
⎰
⎰ 6.解 首先()()()jtx jtx G
t e dG x e G x dx
ϕ∞
∞-∞
-∞
'==⎰
⎰
[]1
()()2jtx
e F x h F x h dx n
∞
-∞=+--⎰
（提示：变量替换。

）
8.解 首先
11(0)lim ()lim n n F x F x P x n n ξ→∞→∞⎧
⎫-+=-+=<-+⎨⎬
⎩⎭
()P x ξ=≤-
“⇒”必要性。

由()1(0)F x F x =--+，得
()1()()()P x P x P x P x ξξξξ<=-≤-=>-=-<
即()()F x F x ξξ-=。

则
()()()
jt jtx
jtx
t Ee
e dF x e dF x ξ
ξξϕ∞
∞
--∞
-∞
===⎰⎰()()
()jt t Ee
t ξξξϕ--==
故()t ξϕ为实函数。

“⇐”充分性。

由于()t ξϕ为实函数，则()()jt t t Ee ξξξϕϕ==，即()()jt t Ee t ξξξϕϕ--==。

则
ξ与ξ-的特征函数相同，则由唯一性定
理。

()()F x F x ξξ-=
即
()()()1()1(0)
P x P x P x P x F x ξξξξξ<=-<=>-=-≤-=--+ 即
()1(0);F x F x ξξ=--+
p270
1解
()()
jt jkt
k
jt k
k k t Ee
e pq p qe ξ
ϕ∞∞
====⋅=⋅∑∑
111jt jt p
p qe qe
=⋅=--
（
01jt qe q <≤<） 则
12
()(1)(1)()(1)jt jt jt t p qe p qje qe ϕ--''⎡⎤=-=-⋅--⎣⎦
2
(1)
jt jt pqje qe -=⋅-，
故
2
(0)(1)q j pq q j
p ϕ-'=⋅-=
又
23
()(1)()(2)()(1)jt jt jt jt jt t pqj je qe pqje qje qe ϕ--''=⋅⋅-+⋅---
故
23
(0)(1)(1)()(2)()(1)pq q pqj jq q ϕ--''=--+⋅-⋅-⋅-
2
232122q q q p q p p p p -=-⋅⋅⋅=-- 则
(0)
()q E j
p ϕξ'=
=
22222
22
(0)
()()()(0)q q D E E j p p
ϕξξξϕ''''=-=
-=--
222222222
2
()2q q q q q pq q q p q q
p p p p p p p p
++=+⋅-=+===
2.解 因为ξ的特征函数
()2(1)1
(1)11()1(1)jt jnt n
jt jt jt j n t
jkt
jt
k e e t e e e e
e n e n
n ϕ-=-==++++=-∑ 由唯一性定理，此为分布列1
(1,2,
,)k p k n n ==的
特征函数。

4.解 因为
()11cos 2
22
jt jt
jt j t e e t e e --+=
=+ 为
的特征函数，由唯一性定理，分布律为
因为
2(2)2(2)(0)(2)11cos 21212cos 22444
j t j t j t j t j t e e t t e e e --++
+===++为
的特征函数。

5.解 （a ）
(())
()
()jt jt aF b jtb jtaF t Ee
Ee
Ee e
η
ξξηϕ+===⋅
()
()()jtb
jtaF jtb
jat e E e
e E e
ξξ'
=⋅=⋅
这里()F ξξ'=为[0，1]上的均匀分布。

故
()1
1
()()(1)0jtb jta y
jtb
jtay
jtb
jtay
jtb jta y e e t e e dF y e e
dy e e jta
y jta
ηξϕ+∞
-∞
==⋅=⋅=⋅
=-=⎰⎰ (b)
1
ln ()
ln ln ()0
()()jt jt F jt y
jt y
F t Ee
Ee
e
f y dy e
dy
ξ
ξξξϕ∞
-∞
====⎰⎰
1
1
011
1
101jt
jt y y dy y jt
y jt +====
+=+⎰
6.解
()()()jtx jtx
G t e dG x e G x dx
ϕ∞
∞
-∞
-∞
'==⋅⎰⎰[]1
()()2jtx
e F x h F x h dx h
∞
-∞=⋅+--⎰
()()()()()()221()()21()()21()()2jtx
jtx
jtx jtx jt x h jt x h tjth jth
jth jth F x h F x h e e F x h F x h d d h jt
jt h e dF x h e dF x h hjt e dF x e dF x hjt e t t e hjt
e e ϕϕ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-+-∞-∞--⎛⎫+--+--⎛⎫
==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎡⎤=⋅+--⎢
⎥⎣⎦⎡⎤=-⋅⎢
⎥⎣⎦⎡⎤=⋅-⎣⎦-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰sin ()()
2ht t t jht ht
ϕϕ⋅=
8.证明： （必要性）由()1(0)F x F x =--+得
()1()()P x P x P x ξξξ<=-≤-=>-
()()P x P x ξξ<=-<
即()()F x F x ξξ-=。

所以其特征函数
()
()()()jt jtx
jtx
jt t Ee
e dF x e dF x E e ξ
ξξξϕ∞
∞
---∞-∞
⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦⎰⎰ []()jt E e t ξ
==
故()t ϕ为实函数。

（充分性）
由于()t ξϕ是实值函数。

则
()()()j t j t
t t E e E e t ξξξξξ
ϕϕϕ--===
=。

故ξ与ξ-的特征函数相同，则由唯一性定理
()()F x F x ξξ-=。

则
对x k ∀∈，
()()()1()P x P x P x P x ξξξξ<=-<=>-=-≤-
即()1(0)F x F x =--+。

9.证明 因为()t ϕ是实值函数，复数部分
为0，故只需对实部计算。

[]()cos sin (cos )cos ()
jt t Ee
E t j t E t txd
F x ξ
ϕξξξ∞
-∞
==+==⎰
1(2)(1cos 2)()t tx dF x ϕ∞
-∞∴-=-⎰
2
2
2sin ()2(1cos )()txdF x tx dF x ∞
∞
-∞
-∞
==-⎰⎰
2(1cos )(1cos )()tx tx dF x ∞
-∞
=-+⎰
4(1cos )()4(1())tx dF x t ϕ∞
-∞
≤-=-⎰
2
2
1(2)(1cos )()2cos ()t tx dF x txdF x ϕ∞
∞
-∞
-∞
+=+=⎰⎰
2
22cos ()2()txdF x t ϕ∞
-∞⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦
⎰ （ 这里利用到不等式
2
2
2
()()()()()()()f x g x dF x f x dF x g x dF x ⎡⎤⋅≤⋅⎣⎦⎰⎰
⎰ ） 7.解
()
1
1
lim ()lim
()22T
T jtx
jty jtx T
T
T T I t e
dt e dF y e dt T
T
ϕ∞
-----∞
→∞→∞==⋅⎰
⎰⎰
()
1lim ()2T
jt y x T
T e dF y dt
T
∞
---∞
→∞=⎰⎰
由于()
1jt y x e
-=，所以
()
jt y x e
-关于乘积测度
[,]F P L T T ⨯-绝对可积，由富比尼定理知可交换上
式中积分次序，得
()
()
1lim ()2T
jt y x T
T I dF y e
dt T ∞
--∞
-→∞=⎰⎰
记 ()1(,,)2T
jt y x T
g T x y e dt T
--=⎰
，则
当y x =时，有
1
(,,)12T
T
g T x y dt T
-=
=⎰
，
当y x ≠时，有
()
1
1(,,)cos ()22T
T
jt y x T
T
g T x y e
dt t y x dt T
T
---=
=
-⎰
⎰
01sin ()cos ()()T T y x t y x dt T T y x -=-=-⎰；
由此，
(,,)1g T x y ≤，且0,
lim (,,)1,
T y x g T x y y x →∞
≠⎧=⎨=⎩
由
控制收敛定理，得
(){}
lim (,,)()()()T x I g T x y dF y dF y P x x ∞
-∞→∞
====⎰
⎰
(0)()(0)(0)F x F x F x F x =+-=+--
11.解 因为1,
,n ξξ相互独立同分布
(0,1)N ，故
21
2
() (1,2,
,)k
t t e
k n ξϕ-==
则
2
122()t n
t e
e
ϕ--==
而12111
,,,n n
ξξξ也相互独立，故
2
21
22
()()n k n
n
t t n
t t e
e ξξϕϕ=--⎡⎤
⎡⎤
==≥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
由唯一性定理，11n
k k ξ=∑服从(0,1)N 。

第五章
5.解 （1）0,0εδ∀>∀>对 {}
{}22
n
n n P a P a a ξεξξε-≥=-+≥
{}{}22,,n n n n n P a a M P a M
ξξεξξεξ=-+≥≥+-≥<
{}{},n n n n P M P a a M ξξξξξ≤≥+-+≥<
{}
n P M ξ≤≥+ n P a M a εξ⎧⎫⎪⎪-≥⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
选充分大的正数M,使得
{}n P M ξ≥2
δ
<
，n P a M a εξ⎧⎫⎪
⎪-≥⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
<2δ
{
}
22
n
P a ξε-≥00 ()n →+→∞当
故
22
P n
a ξ−−→
（2）因为
{}{}
n n n n P ab P ab ξηεξηε-≥=-≥
{}2n n n n n n P a b ab a b ab ξηηξηξε=--+++-≥
{}()()()()n n n n P a b a b b a ξηηξε=--+-+-≥
11()333n n n n P a b P a b P b a εξηεηξε⎧⎫⎧⎫⎧
⎫≤--≥+-≥+-≥⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩
⎭
13n n n P a P b P a b ξηηε⎧⎧⎪⎪⎧
⎫≤-≥+-≥+-≥⎨⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎩
103n P b a ξε⎧
⎫
+-≥→⎨⎬⎩
⎭
，故r
n n ab ξη−−→
再证，若1P
n ξ−−→，则1
1
P
n
ξ−−→，因为
111n n n P P ξεεξξ⎧⎫⎧⎫-⎪⎪⎪⎪
-≥=≥⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
111,22n n n n P P ξξξεξ⎧⎫-⎪⎪⎧
⎫≤≤+>≥⎨⎬⎨⎬
⎩⎭⎪⎪⎩⎭
11110
22n n P P ξξε⎧⎫⎧
⎫≤-≥+-≥→⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩
⎭ 故
1
1
P
n
ξ−−→，再证，若P
n ξξ−−
→，则P
n k k ξξ−−→
因为0k
=，则显然P
n k k ξξ−−
→ 当0k ≠时，
{}{}0n n n P k k P k P k εξξεξξεξξ⎧⎫⎪⎪
-≥=⋅-≥=-≥→⎨⎬⎪⎪⎩⎭
综上，若 (0)P
n b b η−−
→≠则 11
P
n b
η−−→，1
P
n b
η−−→
则
1
1P
n b η−−→，又P
n
a ξ−−→
则
1P
n
n a a b b ξη−−→⋅=
12.证明：对0δ∀>，可取0M >及1N ，
使1n N >
时有
{}{}()11, 33
P
n n P M P M ξδξξδξξ≥<-≥<−−→因为
而()g x 在[2,2]M M -上一致连续，则对10,0εε∀>∃>，使当12,[2,2]x x M M ∈-时，
且121x x ε-<时有，12()()g x g x ε-<。

再取
1
N N >，使
n N
>时，有
{}11
3n P ξξεδ
-≥<，又
{}{}{}{}22,2n n M M M M M ξ
ξξξξ≥⋃≥⊂≥⋃<≥
{}{}n M M ξξξ
⊂≥⋃-≥
而{}{}12,2,()()n n n M M g g ξ
ξξξεξξε≤≤-≥⊂-≥
故当1n N >
有，
{}{}{}
()()22n n P g g P M P M ξξεξξ-≥≤≥+≥
{}2,2,()()n n P M M g g ξξξξε+<<-≥
111
333
δδδδ≤++= 故()()P
n g g ξξ−−→。

13. 证明 因为
111111()n n n k k k n k k k P E P E n n n ξξεξξε===⎧⎫⎧⎫⎛⎫
-≥=-≥⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭
∑∑∑
122211110n k n
k k k D n D n ξξεε==⎛⎫
⎪⎛⎫⎝⎭≤=⋅→ ⎪⎝⎭
∑∑ 18. 证明 因为
()11()10
22k E k k λλ
ξ⎛⎫=⨯+--= ⎪⎝⎭
2
2
222211()()()()22
k k
k k
D E E E k k k λλ
λξξξξ=-==⨯+=
对0ε
∀>，而
()12222
1
1
1111n k n
n
k k k k k D n P E k
n n λ
ξξξεεε===⎛⎫ ⎪⎧⎫⎝⎭-≥≤=⎨⎬⎩⎭
∑∑∑
2222121
11n n n n
λλ
εε-≤⋅⋅=⋅ 当12λ<时，121
0n
λ-→，故{}n ξ服从大数定
律。

19. 解 因为
222211()()1k a
a
E xd
F x x dx x dx a a x x a ξππ∞
∞
∞-∞-∞-∞==⋅=⋅=+∞+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰
故辛钦大数定律不适用。

6. 若P
n ξξ−−→，是否有()()P
n
E E ξξ−−→。

解 不一定。

设(]0,1
Ω=，F
为
Ω的
Borel 子集，
P 为L 测度，
1,0()10,1n n n
n ωξωω⎧
<<⎪⎪=⎨
⎪<≤⎪⎩
，()0
ξω=
显然，对(]0,1ω∀∈
有，()()n ξωξω→
()n →∞。

又对
{}1
0,0 ()
n P n n
εξξε∀>-≥≤→→∞ 故P
n ξξ−−→，但11n E n n
ξ=⋅=，而0E ξ=。

15.解 因为{}k ξ服从大数定律，即
()P
n n E −−→
因为{}k η服从大数定律，即()P
n
n E −−→
则
()()()P
n n n n n n E E ±=±−−→±，
即{}k k ξη±也服从大数定律。

7.证 设0P
n ξ−−→，则对
0ε∀>
{}lim 0
n n P ξε→∞
≥=
()()()()()n n
n
x x E f f x dF x f x dF x σσξ≥
<
⎡⎤=
⋅+⎣⎦⎰⎰
{}{}()0,n n M P f P ξσσξσ≤⋅≥+⋅<→
(),0n σ→∞→
反过来，
{}()
()()()n n n x x f x P dF x dF x f ε
ε
ξεε≥
≥
≥=
≤
⎰⎰
()()
()0
()
()
n
x n f x dF x E f f f εξεε≥
⎡⎤⎣⎦=
≤
→⎰
16.解 设
()n t ϕ为n ξ的特征函数，由
~(,)n b n p ξ。

则
()()
(1)()11n
jt
n
jt jt n n n n n
n np e t q p e
p
p e
n λ
ϕ⎡⎤
-=+=-+=+⎢⎥
⎣⎦
由条件，当n →∞时，n np λ→。

则
(1)
()jt e n t e
λϕ-→为参数
λ
的泊松分布的特
征函数，故由勒维--克拉美定理得
,~()L
n P ξξξλ−−→。

20.解：设ξ为事件A 在1000次试验中
出现的次数。

1;0;i i A i A ξ⎧=⎨⎩第次试验中发生第次试验中不发生
(1,,1000)i =
则
1000
1
i
i ξξ==∑；可利用隶莫佛尔—拉普拉斯定
理，所求概率为
1000
1(400600)400600i i P P ξξ=⎛⎫
<<=<< ⎪⎝⎭
∑
1000
11110004001000600100010010020211
i P ξ⎛⎫-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪=<< ⎪
⎪⎝
⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=Φ-Φ=Φ-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∑
21.解
1122211111(44)1()0,()4,()4(44)413n n n k
k n k k k k k E D D n n n n
ξξξ++==+=====-→+∞
-∑∑ 22.解
()2
21111()(())n n
i i i i j j i i i j D D E n n ξξξξξξ==≠⎛⎫⎛⎫=+Φ-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑2
2210n n n
σσ≤⋅⋅=→
满足大数定律。

23.解： 121111
1n i i i i i P E D n n n ξξηεξ==⎧⎫⎛⎫-≥≤⎨⎬ ⎪⎝⎭
⎩⎭∑∑ 2
21111()n n
n i i ij i i i j D D b n n ξξ==≠⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑ 2
22112(1)()()(2(1))0i j nM n D D nM n n n
ξξ⎡⎤≤+-⋅⋅=+-→⎣⎦
()n →∞
35.解
21
2
()
()n t n E t e
ηξξηϕ--=
→
()(
)()()n
k k n k k k n
n
a E a ξξξξηη-⎡⎤+-+'==
=∑
24.解 由题目条件可得，对
0,N
ε∀>∃，当
j i N ->
时，
4ij p c ε
<
（设
0c >）
则
222111
111
()2n n k k ij i j k k n j i D D n n n ξξρσσ==≥>≥⎛⎫=+⋅⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑ 22112
ij i j
i j n
n c n n ρσσ≤<≤≤⋅⋅+⋅∑ 22 22
ij i j ij i j
j i N j i N
i j
i j
c n n n
ρσσρσσ-≤-><<≤+⋅+∑∑
在上式前一和式中，i 可依次取1,2,
,n ，对
每人固定的
i
来说，由于j i N -≤
，且
i j i N <<+，所以至多对应N 项，从而和式
中至多有
nN 项。

在后一和式中，由于j i >，所以对i 取1,2,
,n ，至多依次对应1,2,
,2,1n n --项，从而和式中至多有
(1)
(1)(2)212
n n n n --+-+
++=
项，利用
1ij ρ≤，
可得
2
221122(1)24n k k c n n D nN c c n n n n c
εξ=-⎛⎫≤+⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭∑ 2114c Nc n n n ε
⎛⎫=++-⨯ ⎪⎝⎭
当
n
充分大时，上式右方之和可以小于
4ε
，
所以
2
110 ()n k k D n n ξ=⎛⎫
→→∞ ⎪⎝⎭
∑ 即马尔可夫条件成立，故大数定律成立。

例 设{}
1,2,,n n ξ=是独立的..r v 序列，它们的方差存在，若
2
11;() (,0,1,2,)n
n
k k k k cn D n c n ξξαα==<>>=∑∑。

证明：对{}k ξ
① 中心极限定理不成立，
② 大数定理亦不成立。

解 ①设2222
1(),(),n
k k k n n k k E D B b n μξσξα====>∑；
由
1
n
k
k cn ξ=<∑，则11
n
n
k k
k k E E cn ξξ
==⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
∑∑，
故
(
)
111
1
1
1
n
n n
n
k k k
k
n
k k k k k
k k n
n
n
E E B B B ξξξ
ξξ
μ=====⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-==
<=∑∑∑∑∑
则
11
2()1n
k k k n
C P B ξμ=⎧⎫⎪-<=⎨⎪⎩∑，对n ∀均成立
（*）
由此可知，对{}k ξ中心极限定理不成立，
事实上，若对
{}k ξ中心极限定理成立。

则， (
)
22
1
1
21
lim 1
x n
k k n k n
c P dx B ξμ-→∞
=⎧⎫⎪-<=<⎨⎪⎩∑⎰
于是当
n 充分大时，有
112()1n
k k k n
C P B ξμ=⎧⎫⎪-<≤⎨⎪⎩∑与（*）式矛盾。

② 先证明：若
1ξ≤，则对0ε∀>，有
{}2
2
()P E ξεξε≥≥-
事实上，
2
22210()()()()
x x E x dF x x dF x x dF x ε
ε
ξ∞
-∞
≥≥
≤<
==
+
⎰⎰⎰
{}2
2
1()()x x dF x dF x P ε
ε
εξεε
≥≥
<
≤
+
≤≥+⎰⎰
又
1
1112n
n n
n k k k k k k k k E E cn ξξξξ====⎛⎫⎛⎫
-≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑∑∑∑ 所以
111
2n
n k k k k E cn ξξ==⎛⎫
- ⎪⎝⎭≤∑∑
，令
ε=
，则
2
11112222n
n
n
n
k k k k k k k k E E P E cn cn c ξξξξα====⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪≥≥-⎨ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭
∑∑∑∑
122222
2
1()
14848n
k
n
k k k D D c n c
c n c ξ
ααξ==⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭∑∑ 22
2
2
2
488n
c n
c
c
αα
α
>
-
=
>
由此可知，
1111n n k k k k P E n n ξξ==⎧⎛⎫⎪-≥⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩∑
∑112028n n k k k k E P cn c ξξα==⎧⎫
⎛⎫
-⎪ ⎪
⎪⎝⎭=≥>>⎨⎪
⎪⎪⎩
⎭
∑∑
即1111lim 0n n k k n k k P E n n ξξ→∞==⎧⎛⎫⎪-≥=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩∑∑不成立，即对
{}
n ξ大数定律不成立。

例 设{}n ξ为任意1
..n
n
i
i r v S ξ==∑，试证{}n
ξ
服从大数定律的充分必要条件
2
22()
lim 0()
n Sn ESn E n Sn ESn →∞-⋅=+- 证 （充分性） 令
111()()n
n n n i i i S ES E n n ηξξ=⎛⎫=-=- ⎪
⎝⎭
∑，其分布函数为()n F x ，则对0ε∀>。

(){}11()n i i n n
i x P E P dF x n εξξεηε=≥
⎧⎫
-≥=≥=⎨⎬⎩⎭
∑⎰
2
2
2
2
1()
1n x x
x dF x ε
ε
ε
≥
+≤
+⎰
因为2
222
22
1,
111x x x x x x εεε+≥≥++是单增函数,当。

故 ()11n i i i P E n ξξε=⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭
∑
2
222
2
22211()()11n n x x x dF x dF x x x ε
εεεε∞-∞≥++≤
⋅≤⋅++⎰⎰ 2
222222
21()11111()n n Sn ESn n E E Sn ESn n ηεεεηε⎡⎤
-⎢⎥++⎣⎦==+⎡⎤+-⎢⎥
⎣⎦
2
2
2
22
1()
0()
Sn ESn E n Sn ESn ε
ε
+-=
⋅⋅→+-
()n →+∞当
故11()0n i i P E n ξξε=⎧⎫
-≥=⎨⎬⎩⎭
∑即{}n ξ服从大数定
律（必要性）。

由于
{}n ξ服从大数定律，知对0ε∀>。

有
()11111lim 0n n i i n n n i i P E P S ES n n n ξξεε→∞==⎧⎫⎧⎫
-≥=-≥=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
∑∑{}0n P ηε=≥=
而
{}2
2
()()1n n n x x x
P dF x dF x x εεηε≥≥≥=≥+⎰⎰ 2
2
22()()11n n x x x dF x dF x x x ε
∞
-∞<=-++⎰⎰ 22
22
11n
n E ηε
ηε
≥-++
故
{}{}22
2
22
011n
n n n E P P ηεηεηεεηε
≤≤≥+≤≥+++，先令n →∞，再令0ε
→，则
2
222221()()lim lim lim 011()
1()n n n n n
n n n n n n n n S ES S ES n E E n S ES S ES n ηη→∞→∞→∞⎡⎤
-⎢⎥-⎣⎦===++-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦
26.解 类似上例可证。

38.解 此时
2
2110,()(())123k k n a E D k n k
ξξ===--=；
2
2
1
111()(1)(21)
318n n
n
k k k B D k n n n ξ=====++∑∑ 对
0ε∀>，有
22
221111()()()n n
n n
k k k x B x B k k n n n x a dF x x x f x dx B B B εεε>>==-≤⋅⋅⋅⋅∑∑⎰⎰
3
3330111112n n k k k k k n n x x dx dx B k B k
εε-==≤⋅⋅⋅=⋅∑∑⎰⎰ 22
333
2
11(1)11641(1)(21)18m
k n n n k B n n n ε=⋅+=⋅⋅=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
∑
4
9
20()
00n n n →∞=−−−→⎛⎫ ⎪⎝⎭
故林德贝格条件成立，{}k
ξ服从中心极限定理。

41.解：1
）22
1()0, ()(12k k E D k ξξ⎡⎤==-+=⎣
⎦
2(1)122
n
n n B n +=++
+=；取1σ=，则
3
512
2
321
232133211
0011000()(1)2n
n k k k n n n n E k B B n n n ξ+++==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⋅-=⋅==→+⎛⎫ ⎪
⎝⎭
∑∑
2）22221
1
1220, (), ()0()33n
n k
k n k k k E D k B D k n αααξξξ+=======∑∑ 取1σ
=得，
3121
32133
31121120()0030n n k k k n n n E k B B n αααξ++++==-=⋅⋅=→⎛⎫ ⎪
⎝⎭
∑∑ 则{}1k k ξ≥满足中心极限定理。

例1 设
()f x 在(0,)∞上连续，严格单
调上升，(0)0f =，0sup ()x f x ≥<∞，证明：
0lim ()0P
n n n E f ξξ→∞
−−→⇔⎡⎤=⎣⎦。

证明 充分性，由题设知，()f x 在(0,)
∞
上是有界函数。

设0()f x M ≤≤，
n
ξ的分布函数为()
n F x ，则
()()
()(
)(n
n
n
E f f x
d
F x
ξ∞∞
-∞
-∞
⎡⎤==⎣
⎦⎰
⎰
()()()()
n n x x f x dF x f x dF x ε
ε
≥
<
=
+
⎰⎰ ()
()()()n n x f dF x f P ε
εεξε≥
≥⋅
=⋅≥⎰
由于
()l
i m 0
n n Ef ξ→∞
=，且对0,
f εε∀>>，
故
()l
i m
n n P ξε→∞
≥=。

（必要性），由
()
f x 的连续性，对
0,0σε∀>∃>
，使
()2
f σ
ε<。

此时，
()()()()()()()
n n n
n
x x Ef f x dF x f x dF x f x dF x εεξ∞
-∞≥
<
==
+⎰⎰⎰
{}{}()()()()
2
n
n n x n M dF x f dF x MP f MP εεξεεσ
ξε∞
-∞
≥
≤⋅
+=≥+≤≥+
⎰⎰
由于0p
n ξ−−→，则对上述0,N σ>∃，
当n N →时，
{}2n
P M σ
ξε≥≤。

故，当对0,N σ
∀>∃，当n
N
>时有：
()022
n Ef σ
σ
ξσ
≤<
+
=，
即
l
i m (
n n Ef ξ→∞
=。

例 设{}n ξ是一列具有相同数学期望，方
差一致有界的
..r v 且i j ≠时，()0i j
E ξξ≤，
证明{}n ξ服从大数定律。

证明 由题设，可设(),() (1,2,)i i E D i μξξμ=≤=，因为
()()()111
111()0n n n
i i i i i E E n n n ξμξμμμ===⎡⎤⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑ ()()()2
21111
111n
n
n n i i i j i i i j D E E n n n ξμξμξμξμ====⎛⎫⎡⎤
-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑
()()2111()2n
i i j i i j n
D E n ξξμξμ=≤≤≤=⋅+⋅--∑∑ ()22111()2n
i i j i i j n
D E n ξξξμ=≤≤≤=⋅+⋅-∑∑ 22111()n
i i M D nM n n n ξ=≤⋅≤⋅=∑
利用切比雷夫不等式，对0ε∀
>。

()122
1110n i n
i i i n M P n n ξμξμεεε==⎡⎤
-⎢⎥⎧⎫⎣⎦-≥≤=→⎨⎬⎩⎭
∑∑ （当n →∞）
即{}n ξ服从大数定律。

例 设{}n ξ为独立随机变量序列，且服
从相同的普松分布，
() (0,0,1,2,)!
k
n P k e k k λλξλ-==
>=
试用特征函数法求
n
i
n n ξ
λ
η-=
∑的极限分布。

解 因为{}
i ξ
相互独立，则i ξλ-⎧⎫
⎨⎬⎩⎭也相
互独立，
故
1
n i
n n i n ξ
λ
ξλ
η=--==∑∑的特征函数为
1
1
()()n i n
n
i i t f t f t e
f ηξ-==⎛⎫
==⋅ ⎪⎝⎭
∏∏
1
i n
i t e
f ξ-=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
∏
而
(1)
()jt i e f t e
λξ-= 故
1
()n n
i f t e
e e λη--=⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝
⎭
∏1n e j e
e
λ⎛⎫ ⎪
⎪-⎝
⎭
=⋅
21110112jt
jt n n n e
e
λλ⎛⎫⎛⎫⎛ +- ⎪ ⎝⎭⎝⎝==
2
2
1022
()t t n n e
e
n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭
=→→∞当
所以，n η的极限分布是标准正态(0,1)N 。

例3 设Xn, i.i.d.期望，方差都存在。

令
1
n
n k
k S X ==∑，{}n
a 是一列满足，n C
a n ≤
的
常数（其中C 为不依赖于n 的正常数）。

则
{}n n a S 服从大数定理
证明：不妨设2
2
11
()0,()E X E X σ== 。

对
0ε∀>，由马氏不等式，得
2
111122()n n n n a S a S E a S a S P n n εε⎛++⎫++≥≤ ⎪⎝⎭
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+=∑∑>=j i n r i i j i j i S E a S S E a a n 12222)()(21ε 2
22212n i j i i j r a a j ia n σε>=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
∑∑ 2
221221112n i n i j i C C n i i σε-===⎡⎤
≤⋅+⎢⎥
⎣⎦
∑∑∑
()22
2220()
C n n n n σ
ε
≤⋅+→→∞ p329.25题
例3：如果对于独立随机变量序列{}n ξ，
)(x F n 是n ξ的分布函数，且∞→A 时，有
1sup ()0n x A n x dF x ≥≤<∞
⎰→
证明
{}n ξ服从大数定律。

（ 分析 要证{}n ξ服从大数定律，即证
对任给,0>ε有
0)(11→⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥-∑=εξξn k k k E n P 如果对任意的0>δ
，记
,0,k k nk k n n ξξδ
ηξδ⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩
当当
则有 ()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≥-∑=εξηn k k nk E n P 11 ()∑∑==≠+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-≤n
k nk k n k k nk P E n P 1
1)(1ηξεξη 注意到 ()∑=-n
k k nk E n 11ξη
()()∑∑==-+-≤n
k k nk n k nk nk E E n E n 1
111ξηηη 容易推出 ()211ε
ηξ<-∑=n k k nk E n
于是 ()()21111
εηηηξ+-≤-∑∑==n k nk nk n k k nk E n E n
从而可以推出
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥-∑=εξξn k k k E n P 11
∑∑==≠+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥-≤n
k nk k n k nk nk P E n P 11)(2)(1ηξεηη
最后利用切比雪夫不等式及题设条件可以推出
02)(11→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≥-∑=εηηn k nk nk E n P （当∞→n 时）
及 0
)(1
→≠∑=n
k nk k
P ηξ
（当∞→n 时）
这样，即可证得{}n ξ服从大数定律
证明（1） 记
,2,1),(=⎰
=+∞
∞
-k x dF x b k k
则
{}
k b 为有界数列。

事实上，因为
1lim sup ()1
k x A A k x dF x >→∞≤<∞
⎰≤
所以存在,00
>A 当0A A >时，有，
1
)()(000
+≤⎰+⎰>≤A x dF x x dF x b k A x k A x k
对任意
k
成立。

故
{}k b 是有界数列，设其上界为M 。

（2）对任意常数0>δ，设
⎪⎩
⎪⎨
⎧≥<=δξδ
ξξηn n k k k nk
当当,0, 则可以证明，对任给0>ε，存在1
1,N n N >当时，有
()2
11ε
ηξ<-∑=n
k k nk E E n 事实上，由题设条件得k nk E E ξη及存在且有限，而由于
lim lim ()n nk n k k n n E xdF x E δδ
ηξ-→∞
→∞
=⎰
=
从而必有 ()011→-∑=n
k k nk E E n ξη
（当
∞→n 时）
即对任给11,,0N n N >>当存在ε
时，有
()2
11ε
ξη<-∑=n
k k nk E E n （3）证明对任给01
>ε，有
()2211
1εεξη<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥-∑=n k k nk E E n P 事实上，由切比雪夫不等式可得 ()211221⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
≥-∑∑==n D E E n P n k nk n
k k nk εηεξη 因为{}n ξ相互独立，所以
{}nk η也相互独立，而
()()2
2
2
nk
nk nk
nk E E E D ηηη
η≤-=
⎰--≤⎰=δδδδ
δn n
k
k n n x dF x n x dF x )()(2
M n b n k δδ≤<
故
2)(11εηη≥-∑=n k nk nk E n P
∑==≤≤
n
k nk M
n Mn D n 1
2222
2
2444εδεδηε 若
对
任
意
1>ε，选取
24,241
2
1
2
εε
δεεδ<
⋅
<
M
M
则。

（4）证明对上述01>ε，存在
2N ，当
2N n >时，有
∑=<
≠n
k nk k
P 1
1
2)(εηξ
事实上，
∑∑⎰
==>=≠n
k n
k k n x nk k
x dF P 1
1
)
()(δ
ηξ
∑⎰
=>≤n
k k n x x dF x n 1)
(1δ
δ
111sup ()
n
k x n k k x dF x n δ
δ
>≤<∞
=≤∑⎰
由
1lim sup ()0
k x A
A k x dF x >→∞≤<∞
=⎰
可知，对行给的0
1
>ε
，存在2
N ，当2
N n >时，有
1
1sup
()2
k x n k x dF x δ
δε>≤<∞
<
⎰
即当2N n >时，可使2
)(1
1
εηξ
<
≠∑=n
k nk k
P （5）最后证明本题的结论，即证
()0
11→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≥-∑=εξξn k k k E n P （当
∞
→n 时）
由于事件
()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥-∑=εξξn k k
k E n 11
{}() ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥-≠⊂∑==εξηηξn k k nk n
k nk k E n 111
而
()∑=-n
k k nk E n 1
1ξη
()()∑∑==-+-≤n
k k nk n k k nk E n E n 1
111ξηξη。