立体阶层由下而上步骤左线过洞说明右线穿珠第一层1×第1个

立體階層（由下而上）步
驟
左線過洞說明右線穿珠
第一層 1 ×第1個
五邊形
5
第二層2 ×
第2個
五邊形
4 3 1
第3個
五邊形
3 4 1
第4個
五邊形
3 5 1
第5個
五邊形
3 6 2
第6個
五邊形
2
第三層+ 第四層7 1
第7個
五邊形
3 8 2
第8個
五邊形
2 9 2
第9個
五邊形
2 10 2
第10個
五邊形
2
第五層11 3 第11、12個
五邊形
1
最後一步兩線打結，完成。

附註：
1.表格中左線表示過洞，共用珠珠數；右線表示穿過珠珠數。

2.第一層與第二層完成共需20個珠珠，第三、四、五僅需10個珠珠。

3.每次右線加珠珠的最後一個必須與左線對穿。

對穿
「柏拉圖多面體」(Platonic Polyhedra)就是指正多面體，正多面體就是每個頂
點處交會著相同數目全等的正凸多面體且每個立體角相等。

柏拉圖多面體有多少個？
(1)要談柏拉圖多面體有幾個之前，先觀察平面上的凸正n邊形，n至少等
於3，且每一個內角為(n-2)⨯180︒
n，而
(n-2)⨯180︒
n<180︒，因此平面上的正
凸n邊形有無限多個。

在空間中，柏拉圖多面體是否會有無限多個呢？
答案令人很驚訝！不僅不是無限多個，而且只有5個。

古人對於這個事實雖不願相信，卻不得不接受，最後只好搬出「神的旨意」來承認這個事實。

為何會說是「神的旨意」呢？原來在伽利略(Galiep1564~1642義大利人)發明望遠鏡之前，當時天空中人類只觀察到五顆行星，因此這五個正多面體就分別代表那五顆行星，這麼的巧合，那一定是「神的旨意」，這樣的想法，甚至影響了天文學家克卜勒(Kepler 1571~1630德國人)，他曾試圖去觀察、計算各行星的軌道半徑，週期與五個正多面體對應，可惜並未成功。

(2)接下來我們來討論柏拉圖多面體的個數：
我們從一個頂點出發，因為正多面體的每一個頂點處都是正n邊形內角的頂點，我們先從簡單的正多邊形討論起：
(1︒)當正多邊形是正三角形時，每一個正三角形的內角為60︒，若每一個頂點有3個正三角形，則會形成正四面體
(Tetrahedon)
若每一個頂點有4個正三角形，則會形成正八面體
(Octahedron)
若每一個頂點有5個正三角形，則會形成正二十面體
(Icsoahedon)
但是當每一個頂點處有6個正三角形時，那麼交會在這個頂點的面的角之總和為360︒，於是這些三角形構成一平面或是凹面，故表面是正三角形的柏拉圖多面體只有3種。

タ 砰
タ 砰
(2︒)當正多邊形是正方形時，每一個正方形的內角為90︒
若每一個頂點處有3個正方形，則會形成正立方體(Hexahedron)。

但是當每一個頂點處有4個正方形，那麼交會在這個頂點的面的角之總和為360︒，於是這些三角形構成一平面或是凹面，故表面是正方形的柏拉圖多面體只有1種。

(3︒)當正多邊形是正五邊形時，每一個正五邊形的內角為108︒
若每一個頂點處有3個正五邊形，則會形成正十二面體(Dodecahedron)。

但是當每一個頂點處有4個正五邊形，那麼交會在這個頂點的面的角之總和為360︒，於是這些三角形構成一平面或是凹面，故表面是正五邊形的柏拉圖多面體只有1種。

(4︒)當正多邊形是正六邊形時，假如3個正六邊形交會在一頂點處，那麼這些面的角之總和=360︒，於是構成一個平面。

從此處亦可看出多邊形的面數愈多，它們的內角愈大，多於六邊的正多邊形其三個內角之總和將超過360︒，於是，無法將它們連接在一起而構成一正的凸多面體。

タ 砰
正二十面體
正六面體
石墨
石墨的特性：可以導電，與黏土混合作成鉛筆芯。

石墨石墨的結構
鑽石
鑽石雖然與石墨都是碳原子組成，但顏色外觀與硬度都跟石墨差很多，它的硬度是已知礦物中最大的，可以用來切割玻璃。

鑽石鑽石的結構
碳60（巴克球、奈米碳球）
一九八五年，科學家發現由六十個碳原子組成的物質，命名為碳六十，碳六十是由20個六邊形及12個五邊形交錯構成的封閉中空球體，形狀如一顆足球，共有32個面。

（下圖是碳60原子模型）
碳60的特性：
碳60不會被人類的胃酸腐蝕，也不會被
免疫系統當作入侵體內的異物而遭吞
噬，加上它顆粒小（比一般生物體的細胞
小），容易穿透細胞膜，所以被製成各式
抗體藥物，也用來對抗愛滋病毒，它能使
愛滋病毒的酵素失去複製能力。

此外它的
中空構造可以用來填充藥物，做為「超小
型膠囊」，攜帶藥物到治療區域緩慢釋
放。

明日之星~奈米碳管
飯島博士在研究碳60時，無意中觀察到碳原子會排列成中空管狀，發現了第四類碳原子的結構。

SEM顯微鏡下的奈米碳管奈米碳管粉末奈米碳管原子模型奈米碳管是目前人工合成最細的管子，它具有良好的導熱性質，密度只有1.3～1.4g/cm3；強度卻是鋼的100倍；彈性很好韌性也很高，很穩定，在真空中，抗熱分解溫度可高達2800℃；也有很好的抗蝕性；導電性好，隨著它的結構不同具有金屬的導電性與半導體特性，在極小電壓下可從尖端放出電子，故可用於平面顯示器上。