河北省保定市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题(2)含解析

河北省保定市2019-2020学年中考中招适应性测试卷数学试题（2）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图1，点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿
以
的速度匀速运动到点C ，图2是
点P 运动时，APD 的面积2
()y cm 随运动时间()x s 变化而变化的函数关系图象，则矩形ABCD 的面积为（ ）
A ．36
B ．
C ．32
D ．
2．如图，在△ABC 中，∠B ＝46°，∠C ＝54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠CDE 的大小是（ ）
A ．40°
B ．43°
C ．46°
D ．54°
3．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行淘汰赛，在相同条件下，每人射击10次，甲、乙两人的成绩如图所示，丙、丁二人的成绩如表所示．欲淘汰一名运动员，从平均数和方差两个因素分析，应淘汰（ ） 丙 丁 平均数 8 8 方差
1.2
1.8
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
4．下列图形中，是正方体表面展开图的是（）
A．B．C． D．
5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文为a＋2b，2a－b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是()
A．3，－1 B．1，－3 C．－3，1 D．－1，3
6．下列运算正确的是（）
A．（a2）4=a6B．a2•a3=a6C．236
+=
⨯=D．235
7．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）
A．a＜﹣1 B．ab＞0 C．a﹣b＜0 D．a+b＜0
8．如果k＜0，b＞0，那么一次函数y=kx+b的图象经过( )
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
9．如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的全面积是（）
A．15πB．24πC．20πD．10π
10．已知一次函数y=kx+b 的大致图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0 的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有一个根是0
11．如图，在底边BC为3AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为( )
A．2+3B．2+23C．4 D．33
12．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知DE⊥EA，斜坡CD的长度为30m，DE的长为15m，则树AB的高度是_____m．
14．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=
▲ °.
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD 相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE=OD，则AP的长为__________．
16．因式分解：3x2-6xy+3y2=______．
17．抛物线y＝2x2+3x+k﹣2经过点（﹣1，0），那么k＝_____．
18．计算：
1
2sin455318
3
⎛
︒--++-
⎝
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）先化简，后求值：
2
2
321
1
13
x x x
x x
-++
⋅-
--
，其中21
x=+．
20．（6分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，点A的横
坐标是2，点B的纵坐标是-2。

（1）求一次函数的解析式；
（2）求的面积。

21．（6分）已知，数轴上三个点A、O、P，点O是原点，固定不动，点A和B可以移动，点A表示的
数为a，点B表示的数为b.
（1）若A、B移动到如图所示位置，计算+
a b的值.
（2）在（1）的情况下，B点不动，点A向左移动3个单位长，写出A点对应的数a，并计算b a
-. （3）在（1）的情况下，点A不动，点B向右移动15.3个单位长，此时b比a大多少？请列式计算.
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，且BD∥OC，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB=OC=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）
23．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2）
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线的对称轴上是否存在
点P，使△BMP与△ABD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）（2016山东省烟台市）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）
25．（10分）如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点A到航线l的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方向的D处．
（1）求观测点B到航线l的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．
（参考数据：3，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
26．（12分）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已经成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间1y(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E X(千米)
8 9 10 11.5 13 1y (分钟)
18
20
22
25
28
(1)求1y 关于x 的函数表达式；李华骑单车的时间2y (单位：分钟)也受x 的影响，其关系可以用
2
21y x 11x 782
=
-+来描述.请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间.
27．（12分）如图1，BAC ∠的余切值为2，25AB =，点D 是线段AB 上的一动点（点D 不与点A 、B 重合），以点D 为顶点的正方形DEFG 的另两个顶点E 、F 都在射线AC 上，且点F 在点E 的右侧，联结BG ，并延长BG ，交射线EC 于点P ．
（1）点D 在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）； ①AF ；②FP ；③BP ；④BDG ∠；⑤GAC ∠；⑥BPA ∠；
（2）设正方形的边长为x ，线段AP 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域； （3）如果PFG ∆与AFG ∆相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．C 【解析】 【分析】
由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,根据矩形的面积公式可求出． 【详解】
由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8, ∴矩形ABCD 的面积为4×8=32, 故选:C.
【点睛】
本题考查动点运动问题、矩形面积等知识，根据图形理解△ABP面积变化情况是解题的关键，属于中考常考题型．
2．C
【解析】
【分析】
根据DE∥AB可求得∠CDE＝∠B解答即可．
【详解】
解：∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠B＝46°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等．快速解题的关键是牢记平行线的性质．
3．D
【解析】
【分析】
求出甲、乙的平均数、方差，再结合方差的意义即可判断．
【详解】
x 甲=
1
10
（6+10+8+9+8+7+8+9+7+7）=8，
2 S 甲=
1
10
[（6-8）2+（10-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2+（7-8）
2]
=
1
10
×13
=1.3；
x
乙
=（7+10+7+7+9+8+7+9+9+7）=8，
2 S 乙=
1
10
[（7-8）2+（10-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（7-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（7-8）
2]
=
1
10
×12
=1.2；
丙的平均数为8，方差为1.2，
丁的平均数为8，方差为1.8，
故4个人的平均数相同，方差丁最大．
故应该淘汰丁．
故选D．
【点睛】
本题考查方差、平均数、折线图等知识，解题的关键是记住平均数、方差的公式．4．C
【解析】
【分析】
利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】
解：A、B、D经过折叠后，下边没有面，所以不可以围成正方体，C能折成正方体．故选C．
【点睛】
本题考查了正方体的展开图，解题时牢记正方体无盖展开图的各种情形．
5．A
【解析】
【分析】
根据题意可得方程组
21
27
a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，再解方程组即可．
【详解】
由题意得：
21 27 a b
a b
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
3
1 a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
故选A．
6．C
【解析】
【分析】
根据幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法计算即可. 【详解】
A、原式=a8，所以A选项错误；
B、原式=a5，所以B选项错误；
C、原式= ==C选项正确；
D D选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的乘法、二次根式的加法，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键.
7．C
【解析】
【分析】
直接利用a，b在数轴上的位置，进而分别对各个选项进行分析得出答案．
【详解】
选项A，从数轴上看出，a在﹣1与0之间，
∴﹣1＜a＜0，
故选项A不合题意；
选项B，从数轴上看出，a在原点左侧，b在原点右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
故选项B不合题意；
选项C，从数轴上看出，a在b的左侧，
∴a＜b，
即a﹣b＜0，
故选项C符合题意；
选项D，从数轴上看出，a在﹣1与0之间，
∴1＜b＜2，
∴|a|＜|b|，
∵a＜0，b＞0，
所以a+b＝|b|﹣|a|＞0，
故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查数轴和有理数的四则运算，解题的关键是掌握利用数轴表示有理数的大小.
8．D
【解析】
【分析】
根据k、b的符号来求确定一次函数y=kx+b的图象所经过的象限．
【详解】
∵k＜0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第二、四象限．
又∵b＞0时，
∴一次函数y=kx+b的图象与y轴交与正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选D．
【点睛】
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
9．B
【解析】
解：根据三视图得到该几何体为圆锥，其中圆锥的高为4，母线长为5，圆锥底面圆的直径为6，所以圆
锥的底面圆的面积=π×（6
2
）2=9π，圆锥的侧面积=
1
2
×5×π×6=15π，所以圆锥的全面积=9π+15π=24π．故
选B．
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长．也考查了三视图．
10．A
【解析】
【分析】
判断根的情况，只要看根的判别式△=b2−4ac的值的符号就可以了．
【详解】
∵一次函数y=kx+b的图像经过第一、三、四象限
∴k>0，b<0
∴△=b2−4ac=(-2)2-4（kb+1）=-4kb>0，
∴方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不等的实数根，故选A．
【点睛】
根的判别式
11．B
【解析】
分析：根据线段垂直平分线的性质，把三角形的周长问题转化为线段和的问题解决即可.
详解：∵DE垂直平分AB，
∴BE=AE ，
∴，
∴△ACE 的周长
故选B ．
点睛：本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
12．B
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
∵a ＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c ＜0，
∴抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a ＜0、b ＞0，对称轴为x=2b a
＞0， ∴对称轴在y 轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1
【解析】
【分析】
先根据CD=20米，DE=10m 得出∠DCE=30°，故可得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】
解：作DF ⊥AB 于F ，交BC 于G ．则四边形DEAF 是矩形，
∴DE=AF=15m，
∵DF∥AE，
∴∠BGF=∠BCA=60°，
∵∠BGF=∠GDB+∠GBD=60°，∠GDB=30°，
∴∠GDB=∠GBD=30°，
∴GD=GB，
在Rt△DCE中，∵CD=2DE，
∴∠DCE=30°，
∴∠DCB=90°，
∵∠DGC=∠BGF，∠DCG=∠BFG=90°
∴△DGC≌△BGF，
∴BF=DC=30m，
∴AB=30+15=1（m），
故答案为1．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．14．1．
【解析】
试题分析：∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．∵四
边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°．又∠D＝1
2
∠AOC，∴3∠D=180°，解得
∠D=1°．∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=1°．∴∠OAD+∠OCD=31°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=31°-（1°+120°+1°+1°）=1°．故答案为1°．
考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．
15．4.1
【解析】
解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=1，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP ，∠E=∠A=90°，BE=AB=1，
在△ODP 和△OEG 中，
，
∴△ODP ≌△OEG （ASA ），
∴OP=OG ，PD=GE ，
∴DG=EP ，
设AP=EP=x ，则PD=GE=6﹣x ，DG=x ，
∴CG=1﹣x ，BG=1﹣（6﹣x ）=2+x ，
根据勾股定理得：BC 2+CG 2=BG 2，
即62+（1﹣x ）2=（x+2）2，
解得：x=4.1，
∴AP=4.1；
故答案为4.1．
16．3（x ﹣y ）1
【解析】
试题分析：原式提取3，再利用完全平方公式分解即可，得到3x 1﹣6xy+3y 1=3（x 1﹣1xy+y 1）=3（x ﹣y ）1．
考点：提公因式法与公式法的综合运用
17．3.
【解析】
试题解析：把（-1，0）代入2
232y x x k =++-得：
2-3+k-2=0,
解得：k=3.
故答案为3.
18．422--【解析】
【分析】
此题涉及特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式化简，绝对值的性质．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
原式2251322=⨯-+- 2432=--
422=--．
【点睛】
此题考查特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，绝对值，解题关键在于掌握运算法则.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．21
x -,2 【解析】 分析：先把分值分母因式分解后约分，再进行通分得到原式=
21x -，然后把x 的值代入计算即可． 详解：原式=311x x x -+-（）（）•213
x x （）+-﹣1 =
11x x +-﹣11
x x -- =21x - 当x=2+1时，原式=211
+-=2． 点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
20．（1）
；（2）6.
【解析】
【分析】
（1）由反比例函数解析式根据点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是-2可以求得点A 、点B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）令直线AB 与y 轴交点为D ，求出点D 坐标，然后根据三角形面积公式进行求解即可得.
【详解】
（1）当x=2时，=4， 当y=-2时，-2=，x=-4，
所以点A （2，4），点B （-4，-2），
将A ，B 两点分别代入一次函数解析式，得
，
解得：，
所以，一次函数解析式为；
(2)令直线AB与y轴交点为D，则OD=b=2，
.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 21．（1）a+b的值为2；（2）a的值为3，b|a|的值为3；（1）b比a大27.1．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴即可得到a,b数值，即可得出结果.
（2）由B点不动，点A向左移动1个单位长，
可得a=3，b=2，b a
-即可求解.
（1）点A不动，点B向右移动15.1个单位长，所以a=10，b=17.1，再b-a即可求解. 【详解】
（1）由图可知：a=10，b=2，
∴a+b= 2
故a+b的值为2．
（2）由B点不动，点A向左移动1个单位长，
可得a=3，b=2
∴b|a|=b+a=23= 3
故a的值为3，b|a|的值为3．
（1）∵点A不动，点B向右移动15.1个单位长
∴a=10，b=17.1
∴b a=17.1（10）=27.1
故b比a大27.1．
【点睛】
本题主要考查了数轴，关键在于数形结合思想.
22．（1）证明见解析；（2）2
3 3
π
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，先根据切线的性质得到∠CDO=90°，再根据平行线的性质得到∠AOC=∠OBD ，∠COD=∠ODB ，又因为OB=OD ，所以∠OBD=∠ODB ，即∠AOC=∠COD ，再根据全等三角形的判定与性质得到∠CAO=∠CDO=90°，根据切线的判定即可得证；
（2）因为AB=OC=4，OB=OD ，Rt △ODC 与Rt △OAC 是含30°的直角三角形，从而得到
∠DOB=60°，即△BOD 为等边三角形，再用扇形的面积减去△BOD 的面积即可.
【详解】
（1）证明：连接OD ，
∵CD 与圆O 相切，
∴OD ⊥CD ，
∴∠CDO=90°，
∵BD ∥OC ，
∴∠AOC=∠OBD ，∠COD=∠ODB ，
∵OB=OD ，
∴∠OBD=∠ODB ，
∴∠AOC=∠COD ，
在△AOC 和△DOC 中，
OA OD AOC COD OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AOC ≌△EOC （SAS ），
∴∠CAO=∠CDO=90°，则AC 与圆O 相切；
（2）∵AB=OC=4，OB=OD ，
∴Rt △ODC 与Rt △OAC 是含30°的直角三角形，
∴∠DOC=∠COA=60°，
∴∠DOB=60°，
∴△BOD 为等边三角形，
图中阴影部分的面积=扇形DOB 的面积﹣△DOB 的面积,
=
2
60212
233 36023
ππ
⨯
-⨯⨯=-
n
．
【点睛】
本题主要考查切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，扇形的面积公式等，难度中等，属于综合题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
23．(1)y=﹣1
2
x2+
3
2
x+2；(2)满足条件的点P的坐标为（
3
2
，
5
4
）或（
3
2
，﹣
5
4
）或（
3
2
，5）或（
3
2
，
﹣5）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线的表达式；
（2）使△BMP与△ABD相似的有三种情况，分别求出这三个点的坐标. 【详解】
(1)∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），
∵抛物线与y轴交于点C（0，2），
∴a×1×（﹣4）=2，
∴a=﹣1
2
，
∴抛物线的解析式为y=﹣1
2
（x+1）（x﹣4）=﹣
1
2
x2+
3
2
x+2；
(2)如图1，连接CD，∵抛物线的解析式为y=﹣1
2
x2+
3
2
x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=3
2
，
∴M（3
2
，0），∵点D与点C关于点M对称，且C（0，2），
∴D（3，﹣2），
∵MA=MB，MC=MD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（3，﹣22），
∴AB2=25，BD2=（4﹣1）2+22=5，AD2=（3+1）2+22=20，∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°，
设点P（3
2
，m），
∴MP=|m|，
∵M （32，0），B （4，0）， ∴BM=52， ∵△BMP 与△ABD 相似，
∴①当△BMP ∽ADB 时，
∴BM MP AD BD
=， 52255
m =， ∴m=±5
4
，
∴P （32，54）或（32，﹣54）， ②当△BMP ∽△BDA 时，
BM MP BD AD
=， 52525
m =， ∴m=±5，
∴P （32，5）或（32
，﹣5）， 即：满足条件的点P 的坐标为P （
32，54）或（32，﹣54）或（32，5）或（32，﹣5）． 【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.
24．（1）甲型号的产品有10万只，则乙型号的产品有10万只；（2）安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，可获得最大利润91万元．
【解析】
【分析】
（1）设甲型号的产品有x 万只，则乙型号的产品有（20﹣x ）万只，根据销售收入为300万元可列方程18x+12（20﹣x ）=300，解方程即可；
（2）设安排甲型号产品生产y 万只，则乙型号产品生产（20﹣y ）万只，根据公司六月份投入总成本（原
料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y 的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W 与y 的一次函数，根据y 的范围确定出W 的最大值即可．
【详解】
（1）设甲型号的产品有x 万只，则乙型号的产品有（20﹣x ）万只，
根据题意得：18x+12（20﹣x ）=300，
解得：x=10，
则20﹣x=20﹣10=10，
则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；
（2）设安排甲型号产品生产y 万只，则乙型号产品生产（20﹣y ）万只，
根据题意得：13y+8.8（20﹣y ）≤239，
解得：y≤15，
根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y ）=1.8y+64，
当y=15时，W 最大，最大值为91万元．
所以安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只时，可获得最大利润为91万元.
考点：一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用.
25．（1）观测点B 到航线l 的距离为3km （2）该轮船航行的速度约为40.6km/h
【解析】试题分析：（1）设AB 与l 交于点O ，利用∠DAO=60°，利用∠DAO 的余弦求出OA 长，从而求得OB 长，继而求得BE 长即可；
（2）先计算出DE=EF+DF=求出DE=53，再由进而由tan ∠CBE=
CE BE
求出EC ，即可求出CD 的长，进而求出航行速度．
试题解析：（1）设AB 与l 交于点O ，
在Rt △AOD 中，
∵∠OAD=60°，AD=2（km ），
∴OA=0
cos60AD =4（km ）， ∵AB=10（km ），
∴OB=AB ﹣OA=6（km ），
在Rt △BOE 中，∠OBE=∠OAD=60°，
∴BE=OB•cos60°=3（km ），
答：观测点B到航线l的距离为3km；
（2）∵∠OAD=60°，AD=2（km），∴OD=AD·tan60°
，
∵∠BEO=90°，BO=6，BE=3，∴
∴
km）；
CE=BE•tan∠CBE=3tan76°，
∴CD=CE﹣DE=3tan76°﹣
（km），
∵5（min）=
1
12
(h)，∴v=
1
12
S CD
t
==12CD=12×3.38≈40.6（km/h），
答：该轮船航行的速度约为40.6km/h．
【点睛】本题主要考查了方向角问题以及利用锐角三角函数关系得出EC，DE，DO的长是解题关键．26．(1) y1＝2x＋2；(2) 选择在B站出地铁，最短时间为39.5分钟．
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据，运用待定系数法，即可求得y1关于x的函数表达式；（2）设李华从文化宫回到
家所需的时间为y，则y=y1+y2=1
2
x2-9x+80，根据二次函数的性质，即可得出最短时间．
【详解】
(1)设y1=kx+b,将(8,18),(9,20),代入
y1=kx+b,得：
818, 920. k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
2,
2. k
b
=⎧
⎨
=⎩
所以y1关于x的函数解析式为y1=2x+2. (2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y,则
y=y1+y2=2x+2+1
2
x2-11x+78=
1
2
x2-9x+80=
1
2
(x-9)2+39.5.
所以当x=9时,y取得最小值,最小值为39.5,
答:李华应选择在B站出地铁,才能使他从文化宫回到家所需的时间最短,最短时间为39.5分钟.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值最小值，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
27．（1）④⑤；（2）
2
(12)
2
x
y x
x
=<
-
…；（3）7
5
或
5
4
.
【解析】
【分析】
（1）作BM AC ⊥于M ，交DG 于N ，如图，利用三角函数的定义得到2AM BM
=，设BM t =，则2AM t =，
利用勾股定理得222(2)t t +=，解得2t =，即2BM =，4AM =，设正方形的边长为x ，则2AE x =，3AF x =，由于1tan 3
GF GAF AF ∠==，则可判断GAF ∠为定值；再利用//DG AP 得到BDG BAC ∠=∠，则可判断BDG ∠为定值；在Rt BMP ∆中，利用勾股定理和三角函数可判断PB 在变化，BPM ∠在变化，PF 在变化；
（2）易得四边形DEMN 为矩形，则NM DE x ==，证明BDG BAP ∆∆∽，利用相似比可得到y 与x 的关系式；
（3）由于90AFG PFG ︒∠=∠=，PFG ∆与AFG ∆相似，且面积不相等，利用相似比得到13
PF x =
，讨论：当点P 在点F 点右侧时，则103AP x =，所以21023x x x =-，当点P 在点F 点左侧时，则83
AP x =，所以2823x x x =-，然后分别解方程即可得到正方形的边长． 【详解】
（1）如图，作BM AC ⊥于M ，交DG 于N ，
在Rt ABM ∆中，∵cot 2AM BAC BM ∠=
=， 设BM t =，则2AM t =，
∵222AM BM AB +=，
∴222(2)t t +=，解得2t =，
∴2BM =，4AM =，
设正方形的边长为x ，
在Rt ADE ∆中，∵cot 2AE DAE DE ∠=
=， ∴2AE x =，
∴3AF x =，
在Rt GAF ∆中，1tan 33GF x GAF AF x ∠=
==， ∴GAF ∠为定值；
∵//DG AP ，
∴BDG BAC ∠=∠，
∴BDG ∠为定值；
在Rt BMP ∆中，PB =
，
而PM 在变化，
∴PB 在变化，BPM ∠在变化，
∴PF 在变化，
所以BDG ∠和GAC ∠是始终保持不变的量；
故答案为：④⑤
（2）∵MN ⊥AP ，DEFG 是正方形，
∴四边形DEMN 为矩形，
∴NM DE x ==，
∵//DG AP ，
∴BDG BAP ∆∆∽， ∴DG BN AP BM =， 即22x x y -=， ∴2(12)2x y x x =
<-… （3）∵90AFG PFG ︒∠=∠=，PFG ∆与AFG ∆相似，且面积不相等， ∴
GF PF AF GF =，即3x PF x x
=， ∴13PF x =， 当点P 在点F 点右侧时，AP=AF+PF=133x x +=103
x ， ∴
21023
x x x =-， 解得75x =， 当点P 在点F 点左侧时，18333
AP AF PF x x x =-=-=， ∴
2823
x x x =-， 解得54x =，
综上所述，正方形的边长为7
5
或
5
4
．
【点睛】
本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。