南丹县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

南丹县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，点P从A点沿半圆弧运动至B点，设∠AOP＝x，将动点P到A，B 两点的距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）
2．下列函数中，为奇函数的是（）
A．y=x+1 B．y=x2C．y=2x D．y=x|x|
3．已知i是虚数单位，则复数等于（）
A．﹣+i B．﹣+i C．﹣i D．﹣i
4．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 若，
，且
，则λ与μ的值分别为（ ）
A ．
B ．5，2
C ．
D ．﹣5，﹣2
6． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：1
7． 定义某种运算S=a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子+的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．10
D ．13
8． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435
9． 与椭圆有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
A ．
B ．
C
． D
．
10．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A 、()f x =x 与()f x =2x x
B 、()1f x x =-
与()f x =
C 、()f x x =
与()f x = D 、()f x x =
与2()f x =
11
．已知
，
，那么夹角的余弦值（ ）
A
．
B
．
C ．﹣2 D
．﹣
12．已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则
log （a 5+a 7+a 9）的值是（ ）
A
．﹣ B ．﹣5 C ．5
D
．
二、填空题
13．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ． 14．若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()2
2
a c
b d -+-的最小值为 ▲ ． 15．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
16．已知,0()1,0
x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2
(2)()f x f x ->的解集为________．
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 17．记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4•a 5=2，则Π8= ．
18．已知条件p ：{x||x ﹣a|＜3}，条件q ：{x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，且q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数
()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4，且满足()01f =.
（1）求实数b 和c 的值；
（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()
00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由； （3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.
2020142015CBA5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：
3分球的平均命中率；
（2）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率．假设运动员在第6场比赛前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，该运动员在最后一分钟内得分ξ分布列和数学期望．
21．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位
（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述
发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．
参考公式：2
2
()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++
【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力
22．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x （cm ）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2
）最大，试问x 应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3
）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
23．已知函数f （x ）=4sinxcosx ﹣5sin 2x ﹣cos 2x+3．
（Ⅰ）当x ∈[0，
]时，求函数f （x ）的值域；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），
求f（B）的值．
24．求下列各式的值（不使用计算器）：
（1）；
（2）lg2+lg5﹣log21+log39．
南丹县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】
【解析】选B.取AP的中点M，
则P A＝2AM＝2OA sin∠AOM
＝2sin x
2
，
PB＝2OM＝2OA·cos∠AOM＝2cos x
2，
∴y＝f（x）＝P A＋PB＝2sin x
2＋2cos x
2
＝22sin（x
2
＋
π
4
），x∈[0，π]，根据解析式可知，只有B选项符合要求，
故选B.
2．【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A；
由于y=x2为偶函数，故排除B；
由于y=2x为非奇非偶函数，故排除C；
由于y=x|x|是奇函数，满足条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
3．【答案】A
【解析】解：复数===，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
5．【答案】A
【解析】解：由，得．
又，，
∴，解得．
故选：A．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．
6．【答案】D
【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．
∴两个圆锥的体积比为：=1：3．
故选：D．
7．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序，可得，当a≥b时，则输出a（b+1），反之，则输出b（a+1），
∵2tan=2，lg=﹣1，
∴（2tan ）⊗lg
=（2tan ）×（lg +1）=2×（﹣1+1）=0，
∵lne=1，（）﹣1
=5，
∴lne ⊗（
）﹣1
=（）﹣1
×（lne+1）=5×（1+1）=10，
∴+=0+10=10． 故选：C ．
8． 【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22
n n n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,
即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性.
9． 【答案】 A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c 2=132﹣122
=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x 轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，
若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2+ny 2
=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），双曲线方程可设为mx 2﹣ny 2
=1（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可．
10．【答案】C
【解析】
试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A中两个函数定义域不同，选项B中两个函数对应法则不同，选项D中两个函数定义域不同。

故选C。

考点：同一函数的判定。

11．【答案】A
【解析】解：∵，，
∴=，||=，=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos＜＞===﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
12．【答案】B
【解析】解：∵数列{a n}满足log3a n+1=log3a n+1（n∈N*），
∴a n+1=3a n＞0，
∴数列{a n}是等比数列，公比q=3．
又a2+a4+a6=9，
∴=a5+a7+a9=33×9=35，
则log（a5+a7+a9）==﹣5．
故选；B．
二、填空题
13．【答案】m≥2．
【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，
又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．
故答案为m≥2．
14．【答案】5
【解析】
考
点：利用导数求最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f ′（x ）＞0或f ′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f ′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
15．【答案】 2 ．
【解析】解：∵一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3，
∴此组数据的方差 [（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2
．
故答案为：2
．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
16．【答案】(
【解析】函数()f x 在[0,)+?递增，当0x <时，220x ->，解得0x -<<；当0x ³时，22x x ->，
解得01x ?，综上所述，不等式2
(2)()f x f x ->的解集为(-．
17．【答案】 16 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，
∴Π8=a 1•a 2a 3•a 4•a 5a 6•a 7•a 8=（a 4•a 5）4=24
=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
18．【答案】 [0，2] ．
【解析】解：命题p ：||x ﹣a|＜3，解得a ﹣3＜x ＜a+3，即p=（a ﹣3，a+3）；
命题q ：x 2
﹣2x ﹣3＜0，解得﹣1＜x ＜3，即q=（﹣1，3）．
∵q 是p 的充分不必要条件，
∴q ⊊p ，
∴
，
解得0≤a ≤2， 则实数a 的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
三、解答题
19．【答案】（1）1
,14
b c =
=；（2）答案见解析；（3）当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点. 【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于实数b ,c 的方程组，求解方程组可得1
,14
b c =
=；
（3）函数
()g x 的导函数()()2132444g x x a x a ⎛
⎫=+--+ ⎪⎝
⎭'，结合导函数的性质可得当1a <-或0a >时，()g x 在
()0,4有两个零点；当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
试题解析：
（1）由题意()()01
{ 440
f c f b c =+=-+=，解得1
{ 41
b c =
=；
（2）由（1）可知()()3
2
4f x x a x =+--1414a x ⎛⎫
+
+ ⎪⎝⎭
， ∴()()2132444f x x a x a ⎛⎫=+--+
⎪⎝⎭
'； 假设存在0x 满足题意，则()()2000132444f x x a x a ⎛⎫
=+--+
⎪⎝⎭
'是一个与a 无关的定值，
即()2
0001
24384
x a x x -+--
是一个与a 无关的定值， 则0240x -=，即02x =，平行直线的斜率为()1724
k f ==-'； （3）()()()3
2
4g x f x a x a x =+=+-1414a x a ⎛⎫
-+
++ ⎪⎝⎭
， ∴()()2132444g x x a x a ⎛
⎫=+--+
⎪⎝⎭'， 其中()21441244a a ⎛⎫∆=-++= ⎪⎝
⎭()22
4166742510a a a ++=++>，
设()0g x '=两根为1x 和()212x x x <，考察()g x 在R 上的单调性，如下表
1°当0a >时，()010g a =+>，()40g a =>，而()15
2302
g a =--
<， ∴()g x 在()0,2和()2,4上各有一个零点，即()g x 在()0,4有两个零点； 2°当0a =时，()010g =>，()40g a ==，而()15
202
g =-
<， ∴()g x 仅在()0,2上有一个零点，即()g x 在()0,4有一个零点；
3°当0a <时，()40g a =<，且13024g a ⎛⎫=->
⎪⎝⎭
， ①当1a <-时，()010g a =+<，则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上各有一个零点，
即()g x 在()0,4有两个零点；
②当10a -≤<时，()010g a =+≥，则()g x 仅在1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上有一个零点， 即()g x 在()0,4有一个零点；
综上：当1a <-或0a >时，()g x 在()0,4有两个零点； 当10a -≤≤时，()g x 在()0,4有一个零点.
点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 20．【答案】
【解析】解：（1）该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率为：
=，
3
分球的命中率为：
=．
（2）依题意，该运动员投一次2分球命中的概率和投一次3
分球命中的概率分别为
，， ξ的可能取值为0，2，3，5， P （ξ=0）=（1
﹣）（1
﹣）
=， P （ξ=2）
=
=，
P （ξ=3）=（1
﹣）
×
=， P （ξ=5）
=
=，
∴该运动员在最后1分钟内得分ξ的分布列为：
0 2
5
∴该运动员最后1分钟内得分的数学期望为E ξ=
=2．
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：()2
2
4005017030150 6.2580320200200
⨯⨯-⨯K =
=⨯⨯⨯ 因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （Ⅱ）由已知得抽样比为
81
=8010
，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3a b c d e ，选取2人共有{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},1b ，{},2b ，
{},3b ，{},c d ，{},c e ，{},1c ，{},2c ，{},3c ，{},d e ，{}
,1d ，{
},2d ，{},3d ，{},1e ，{},2e ，{},3e ，{}1,2，{}1,3，{}2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件，故所
求概率为189=2814
P =
． 22．【答案】
【解析】解：设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），则a=
x ，h=
（30﹣x ），0＜x ＜30．
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，
∴当x=15时，S取最大值．
（2）V=a2
h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），
由V′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sinxcosx﹣5sin2
x﹣cos2x+3=2sin2x﹣
+3=2sin2x+2cos2x=4sin（2x+）．
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴f（x）∈[﹣2，4]．
（Ⅱ）由条件得sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
化简得sinC=2sinA，
由正弦定理得：c=2a，
又b=，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4a2cosA，解得：cosA=，
故解得：A=，B=，C=，
∴f（B）=f（）=4sin=2．
【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（1）
=4+1﹣﹣
=1；
（2）lg2+lg5﹣log21+log39
=1﹣0+2
=3．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．。