江西省景德镇市景光中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析

江西省景德镇市景光中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
．B．C ．D．
参考答案：
D
2. 关于的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的象限为（）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限参考答案：
B
略
3. 已知 ( )
A．－
4 B．6 C．8 D ．不存在
参考答案：
B
4. 若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
参考答案：
A
【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
【分析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】解：，
，得A为锐角；
，得C为锐角；
，得B为锐角；
所以为锐角三角形
故选项为A
5. 已知，若，则实数的值为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
6. 已知, 则导数（▲）
A．B．C．
D．0
参考答案：
D
略
7. 直线的倾斜角是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
8. 已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，若椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】过M作MN⊥x轴，交x轴于N，不妨设M在第一象限，从而得到M（，），由此利用MF1⊥MF2，能求出椭圆的离心率．
【解答】解：∵F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点，点A是椭圆的右顶点，O为坐标原点，
椭圆上的一点M满足MF1⊥MF2，|MA|=|MO|，
过M作MN⊥x轴，交x轴于N，不妨设M在第一象限，
∴N是OA的中点，∴M点横坐标为，∴M点纵坐标为，
∴F1（﹣c，0），F2（c，0），==，
=（，）?（）==0，
∴4c2=a2+3b2=a2+3a2﹣3c2，∴4a2=7c2，∴2a=，
∴椭圆的离心率e==．
故选：D．9. 由半椭圆（≥0）与半椭圆（≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中，．由右椭圆（）的焦点和左椭圆（）的焦点，确定的叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆（）的离心率的取值范围为（ ***** ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
10. 设，，若，则的取值范围是
A． B．
C． D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列3个命题：①若
，则
；②若
，则
；③若
且
，则
，其中真命题的序号为 ▲
．
参考答案：
12. 某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生
中抽取的人数应为______.
参考答案：
10
13. 已知函数
有零点，则的取值范围是
参考答案：
14. 已知实数
构成一个等比数列，
为等比中项，则圆锥曲线
的
离心率是 .
参考答案：
或
15. 计算：。

参考答案：
1
16. 平面上一机器人在行进中始终保持与点F （1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P （﹣1，0）且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 ．
参考答案：
k ＜﹣1或k ＞1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P （﹣1，0）且斜率为k 的直线方程为y=k （x+1），代入y 2=4x ，利用判别式，即可求出k 的取值范围．
【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y 2
=4x ，
过点P （﹣1，0）且斜率为k 的直线方程为y=k （x+1）， 代入y 2=4x ，可得k 2x 2+（2k 2﹣4）x+k 2=0，
∵机器人接触不到过点P （﹣1，0）且斜率为k 的直线， ∴△=（2k 2﹣4）2﹣4k 4＜0， ∴k＜﹣1或k ＞1． 故答案为：k ＜﹣1或k ＞1．
17. 直线l 1x+2y ﹣4=0与l 2：mx+（2﹣m ）y ﹣1=0平行，则实数m= ．
参考答案：
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】由直线的平行关系可得1×（2﹣m ）﹣2m=0，解之可得． 【解答】解：因为直线l 1x+2y ﹣4=0与l 2：mx+（2﹣m ）y ﹣1=0平行， 所以1×（2﹣m ）﹣2m=0，解得m=
故答案为：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的
面积为
. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点
在定直线
上运动时，直线
分别交椭圆于两点、，求四边形
面积的最大值.
参考答案：
（Ⅰ）由题设知，
，….1分
又，解得，…….3分
故椭圆的方程为..………………….4分
（Ⅱ）由于对称性，可令点，其中.
将直线的方程代入椭圆方程，得，由，得，则..…………….6分
再将直线的方程代入椭圆方程，得，由，得，则..………………….8分
故四边形的面积为
..………………….10分
由于，且在上单调递增，故，
从而，有.
当且仅当，即，也就是点的坐标为时，四边形的面积取最大值
6. .………………….12分
19. （本小题满分13分）
某中学的高二（1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建
了一个4人课外兴趣小组．
（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（II）若这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同
学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（III）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70，70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．
参考答案：
解：（Ⅰ），某同学被抽到的概率为．
设有名男同学，则，，男、女同学的人数分别为．……（4分）
（Ⅱ）把名男同学和名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有
共种，其中有一名女同学的有种.
选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为．……… ……（8分）
（Ⅲ），．
，．
∵1＝2，s＞s，∴第二次做试验的同学更稳定．……… ………（13分）
20. 已知函数f（x）=sin cos﹣cos2+
（1）若x∈[0，]，且f（x）=，求cosx的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c+a，求f（B）的取值范围．
参考答案：
解：（1）依题意得，………………………………2分
由得：，，
从而可得
，……………………………
…4分
则……6分
（2）由得：，从而，…………………10分故
(12)
分
略
21. (12分) 已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.参考答案：22. 已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：相交于.
（1）求证：当与垂直时，必过圆心；
（2）当时，求直线的方程；
（3）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由. 参考答案：
解析：（１）∵与垂直，且，∴，
故直线方程为，即………2分
∵圆心坐标（0，3）满足直线方程，
∴当与垂直时，必过圆心………………… …4分
∵，∴，
则由，得, ∴直线：.
故直线的方程为或………………………………………8分
（３）∵,∴
①当与轴垂直时，易得，则,又,
∴
当的斜率存在时，设直线的方程为，
综上所述，与直线的斜率无关，且.…………………12分。