人教版八年级数学上册 轴对称填空选择单元练习(Word版 含答案)

人教版八年级数学上册轴对称填空选择单元练习（Word版含答
案）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．
【答案】301 4
【解析】【分析】
根据等边三角形的性质可得OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可
得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.
【详解】
解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，
∴OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE＝30°＝∠ABD
当OE⊥EC时，OE的长度最小，
∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°
∴OE最小值＝1
2
OC＝
1
4
AB＝
1
4
故答案为：30，1 4
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
2．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN 分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：
①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝1
4
BC2．其中正确结论
是_____（填序号）．
【答案】①②
【解析】
分析：根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠CAD=∠B=45°，故①正确；根据同角的余角相等求出∠CDF=∠ADE，然后利用“ASA”证明△ADE≌△CDF，判断出②，根据全等三角形的对应边相等，可得DE=DF=AF=AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得BE+CF＞EF，判断出③，根据全等三角形的面积相等，可得S△ADF=S△BDE，从而求出四边形AEDF的面积，判断出④.
详解：∵∠B=45°，AB=AC
∴点D为BC的中点，
∴AD=CD=BD
故①正确；
由AD⊥BC，∠BAD=45°
可得∠EAD=∠C
∵∠MDN是直角
∴∠ADF+∠ADE=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°
∴∠ADE=∠CDF
∴△ADE≌△CDF（ASA）
故②正确；
∴DE=DF，AE=CF，
∴AF=BE
∴BE+AE=AF+AE
∴AE+AF＞EF
故③不正确；
由△ADE≌△CDF可得S△ADF=S△BDE
∴S四边形AEDF=S△ACD=1
2×AD×CD=
1
2
×
1
2
BC×
1
2
BC=
1
8
BC2，
故④不正确.故答案为①②.
点睛：此题主要查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系，关键是灵活利用等腰直角三角形的边角关系和三线合一的性质.
3．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为30、40、15，点P 是三条角平分线的交点，将△ABC 分成三个三角形，则APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆等于____．
【答案】6：8：3
【解析】
【分析】
由角平分线性质可知，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解.
【详解】
解：过点P 作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥AB 于F
∵P 是三条角平分线的交点
∴PD=PE=PF
∵AB=30，BC=40，CA=15
∴APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆=30∶40∶15=6∶8∶3
故答案为6∶8∶3.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等. 难度不大，作辅助线是关键.
4．如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点．若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝______（用含α的式子表示）
【答案】1206α︒-
【解析】
【分析】
在AC上截取AD=AB，易证△ABI≌△ADI，所以BI=DI，由AB＋BI＝AC，可得DI=DC，
设∠DCI=β，则∠ADI=∠ABI=2β，然后用三角形内角和可推出β与α的关系，进而求得∠AIB.
【详解】
解：如图所示，在AC上截取AD=AB，连接DI，
点I是△ABC的角平分线的交点
所以有∠BAI=∠DAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI，
在△ABI和△ADI中，
AB=AD
BAI=DAI
AI=AI
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
∴△ABI≌△ADI（SAS）
∴DI=BI
又∵AB＋BI＝AC，AB+DC=AC
∴DI=DC
∴∠DCI=∠DIC
设∠DCI=∠DIC=β
则∠ABI=∠ADI=2∠DCI=2β
在△ABC中，
∠BAC+2∠ABI+2∠DCI=180°，即42180
ββ︒
++=
a，
∴
180
=30
66
β
︒
︒
=
-
-
a a
在△ABI中，180︒
∠=-∠-∠
AIB BAI ABI
1
2
180
2
αβ
︒
=--
1
=23
1
6
00
2
8
α
α
︒︒
⎛⎫
---
⎪
⎝⎭
=1206α
︒-
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形角度计算，利用截长补短构造全等三角形是解题的关键.
5．如图，AB ∥CD ，O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE =1，则AB 与CD 之间的距离等于____．
【答案】2
【解析】
过点O 作OF ⊥AB 于F ，作OG ⊥CD 于G ，∵O 为∠BAC 、∠DCA 的平分线的交点，OE ⊥AC ，∴OE =OF ，OE =OG ，∴OE =OF =OG =1，∵AB ∥CD ，∴∠BAC +∠ACD =180°，
∴∠EOF +∠EOG =（180°﹣∠BAC ）+（180°﹣∠ACD ）=180°，∴E 、O 、G 三点共线，∴AB 与CD 之间的距离=OF +OG =1+1=2．故答案为：2．
点睛：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于作出辅助线并证明E 、O 、G 三点共线．
6．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CDE ＝55°．如图，则∠EAB 的度数为_________
【答案】35°
【解析】
【分析】
过点E 作EF ⊥AD 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE =EF ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE 是∠BAD 的平分线，然后求出∠AEB ，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】
过点E作EF⊥AD于F．
∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．
∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠FAE．
∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，
∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°．
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的判定，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
7．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=12cm，AC=6cm．动点E 从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．当点E经过______s时，△DEB与△BCA全等．
【答案】0、2、6、8
【解析】
∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，
∴∠CAB=∠DBE=90°，
∴△CAB和△EBD都是Rt△，
∵点E运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB，
∴当BE=BA=12cm或BE=AC=6cm时，两三角形全等，
如图共有四种情形，此时AE分别等于0cm、6cm、18cm、24cm，
又∵点E每秒钟移动3cm，
∴当点E移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.
8．AD、BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，则∠ABC=______.【答案】45°或135°
【解析】
【分析】
分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据等腰直角三角形的性质即可得答案.
【详解】
①如图，当△ABC为锐角三角形时，
∵AD、BE为△ABC的两条高，
∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠AOE，
∴∠CAD=∠OBD，
又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，
∴△BOD≌△ACD，
∴AD=BD，
∵AD⊥BC，
∴∠ABC=45°，
②如图，当∠B为钝角时，
∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，
∴∠C=∠O，
又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，
∴△BOD≌△ACD，
∴BD=AD，
∵AD⊥BC，
∴∠ABD=45°，
∴∠ABC=180°-45°=135°.
③如图，当∠A为钝角时，
同理可证：△BOD≌△ACD，
∴AD=BD.
∴∠ABC=45°，
④如图，当∠C为钝角时，
同理可证：△BOD≌△ACD，
∴AD=BD.
∴∠ABC=45°.
⑤当∠B为直角时，点O、D、B重合，OB=0，不符合题意，当∠C为直角时，点O、C、D、E重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A为直角时，点A、E、O重合，
∵OB=AC，∠CAB=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°.
综上所述：∠ABC 的度数为45°或135°.
故答案为：45°或135°
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS 、AAS 、ASA 、SAS 、HL 等，注意：SAS 时，角必须是两边的夹角，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.
9．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________
【答案】33
【解析】
【分析】
过点D 作DF 1∥BE ，求出四边形BEDF 1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F 1为所求的点，过点D 作DF 2⊥BD ，求出∠F 1DF 2=60°，从而得到△DF 1F 2是等边三角形，然后求出DF 1=DF 2，再求出∠CDF 1=∠CDF 2，利用“边角边”证明△CDF 1和△CDF 2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F 2也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出BE 的长，即可得解．
【详解】
如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，
所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，
此时S △DCF1=S △BDE ；
过点D 作DF 2⊥BD ，
∵∠ABC=60°，F 1D ∥BE ，
∴∠F 2F 1D=∠ABC=60°，
∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=
12
∠ABC=30°，∠F 2DB=90°， ∴∠F 1DF 2=∠ABC=60°，
∴△DF 1F 2是等边三角形，
∴DF 1=DF 2， ∵BD=CD ，∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=12
×60°=30°， ∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF 2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF 1=∠CDF 2，
∵在△CDF 1和△CDF 2中，
1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ），
∴点F 2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
12×60°=30°， 又∵BD=6， ∴BE=12×6÷cos30°=3÷323 ∴BF 1=BF 2=BF 1+F 1F 2333
故BF 的长为33
故答案为：33
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D， QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t= 时，△APD和△QBE全等．
【答案】2或4．
【解析】
试题分析：①0≤t＜8
3
时，点P从C到A运动，则AP=AC=CP=8﹣3t，BQ=t，当
△ADP≌△QBE时，则AP=BQ，即8﹣3t=t，解得：t=2；
②t≥8
3
时，点P从A到C运动，则AP=3t﹣8，BQ=t，当△ADP≌△QBE时，则AP=BQ，即
3t﹣8=t，解得：t=4；
综上所述：当t=2s或4s时，△ADP≌△QBE．
考点：1．全等三角形的判定；2．动点型；3．分类讨论．
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；
③PH=PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【解析】
分析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
详解：在△ABC 中，∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
又∵AD、BE 分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP ，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB ，PA=PF ，故②正确．
在△APH 和△FPD 中，
∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF ，
∴△APH≌△FPD，
∴PH=PD，故③正确．
∵△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，
∴点P 到AB 、AC 的距离相等，点P 到AB 、BC 的距离相等，
∴点P 到BC 、AC 的距离相等，
∴点P 在∠ACB 的平分线上， ∴CP 平分∠ACB，故④正确．
故选D ．
点睛：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．
12．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）
A ．AD BC CD =-
B ．AD B
C AC =- C ．A
D BC AP =-
D ．AD BC BD =-
【答案】B
【解析】
【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系． 【详解】
解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC
∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，
∵CD 平分ACB ∠，∴∠ACD=∠BCD
又∵CD=CD，CE=CA
∴△ACD ≌△ECD ，
∴AD=ED ，∠CED=∠A=2∠B
又 ∠CED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴AD=DE=BE ，
∴BC=BE+EC=AD+AC
所以AD=BC-AC
故选：B
若A选项成立，则CD=AC，
∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB
∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°
即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°
∴∠A=72°，∠B=36°
∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;
假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，
∴△CAF≌△PAF≌△PBF，
∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°
∠B=30°，∠ACB=90°
当∠ACB=90°时，选项C才成立，
∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；
假设D选项成立，则AD=BC-BD
由图可知AD=BA-BD
∴AB=BC
∴∠A=∠ACB=2∠B
∴∠A+∠ACB+∠B=180°
∴∠B=36°，∠ACB=72
这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．
故选：B
【点睛】
本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．
,,
13．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线
．．AD=4，则△ABC的面积
．．为（）
A．30B．48C．20D．24
【答案】D
【解析】
延长AD到E,使DE=AD,连接BE,因为D为BC的中点,所以DC=BD,
在△ADC和△EDB中,
AD ED
ADC EDB
DC BD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
所以△ADC≌△EDB,
所以BE=AC=10, ∠CAD＝∠E,
又因为AE=2AD=8,AB=6,
所以222
AB AE BE
=+,
所以∠CAD＝∠E=90°,
则
1111
464624
2222
ABC ABD ADC
S S S AD BE AD AC
=+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=,
所以故选D.
14．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则∠CAB＝（）
A．30°B．60°C．80 °D．50°
【答案】B
【解析】
试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，
∴DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠DAE=∠DBE，
∴∠DAE=∠DBE=∠CAE，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB+∠DBE=90°，
∴∠CAE+∠DAE+∠DBE=90°，
∴3∠DBE=90°，
∴∠DBE=30°，
∴∠CAB=90°-∠DBE=90°-30°=60°．
故选B．
15．如图，，，，点D、E为BC边上的两点，且，连接EF、BF则下列结论：≌；≌；
；，其中正确的有( )个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；
由△AED≌△AEF得AF=AD,由，得∠FAB=∠CAD，又AB=AC, 利用SAS证明≌,判定②正确；
先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；
先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，判定④正确．【详解】
‚解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，
∴∠FAE=∠DAF-∠DAE=45°．
在△AED与△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；
②∵△AED≌△AEF,
∴AF=AD,
∵,
∴∠FAB=∠CAD,
∵AB=AC，
∴≌，②正确；
③∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠BAD=∠DAF-∠BAD，即∠CAD=∠BAF．
在△ACD与△ABF中，
，
∴△ACD≌△ABF（SAS），
∴CD=BF，
由①知△AED≌△AEF，
∴DE=EF．
在△BEF中，∵BE+BF＞EF，
∴BE+DC＞DE，③正确；
④由③知△ACD≌△ABF，
∴∠C=∠ABF=45°，
∵∠ABE=45°，
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．④正确．
故答案为D．
【点睛】
本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．
16．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM，再根据角平分线的判定定理可得PB平分∠ABC，即可判定①；证明△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由此即可判定②；在Rt△PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.
【详解】
如图，作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．
∵∠PAH=∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，
∴PN=PH ，同理PM=PH ，
∴PN=PM ，
∴PB 平分∠ABC ，
∴∠ABP=
12
∠ABC=30°，故①正确， ∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中， PA PA PN PH =⎧⎨=⎩
， ∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，
∴∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，
∴∠APC=
12
∠MPN=60°，故②正确， 在Rt △PBN 中，∵∠PBN=30°， ∴PB=2PN=2PH ，故③正确，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH ，故④正确．
综上，正确的结论为①②③④.
故选D.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
17．已知等边△ABC 中，在射线BA 上有一点D ，连接CD ，并以CD 为边向上作等边△CDE ，连接BE 和AE ，试判断下列结论：①AE=BD ； ②AE 与AB 所夹锐夹角为60°；③当D 在线段AB 或BA 延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC ；④∠BCD=90°时，CE 2+AD 2=AC 2+DE 2 ，正确的序号有（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明
△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.
【详解】
∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
又∵AC=BC，CE=CD，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，
∴∠BAE=120°，
∴∠EAD=60°，②正确，
∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴AC=AD，
∵CE=DE，
∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，
当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，
∵∠AEC=∠BDC，
∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，
∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED
∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，
如图，当点D在AB上时，
∵△BCD≌△∠ACE，
∴∠CAE=∠CBD=60°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，
∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误
故正确的结论有①②④，
故选C.
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握
18．在△ABC 与△DEF 中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（ ） A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F B ．AC ＝DE ，∠B ＝∠E ，∠A ＝∠F
C ．AC ＝DF ，BC ＝DE ，∠C ＝∠
D D ．AB ＝EF ，∠A ＝∠
E ，∠B ＝∠F
【答案】B
【解析】利用全等三角形的判定定理，分析可得：
A 、AB=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠F 可利用AAS 证明△ABC 与△DEF 全等；
B 、∠A=∠F ，∠B=∠E ，AC=DE ，对应边不对应，不能证明△AB
C 与△DEF 全等； C 、AC=DF ，BC=DE ，∠C=∠
D 可利用ASA 证明△ABC 与△DEF 全等；
D 、AB=EF ，∠A=∠
E ∠B=∠
F 可利用SAS 证明△ABC 与△DEF 全等；
故选：D ．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19．已知111122,A B C A B C △△的周长相等，现有两个判断：①若
21212112,A A B C B A A C ==，则111222A B C A B C △≌△；②若12=A A ∠∠，1122=A C A C ，则111222A B C A B C △≌△，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A ．①，②都正确
B ．①，②都错误
C ．①错误，②正确
D ．①正确，②错误 【答案】A
【解析】
【分析】
根据SSS 即可推出△111A B C ≅△222A B C ，判断①正确；根据相似三角形的性质和判定和全等三角形的判定推出即可．
【详解】
解：①△111A B C ，△222A B C 的周长相等，1122A B A B =，1122AC A C =，
1122B C B C ∴=，
∴△
111
A B C≅△
222
()
A B C SSS，
∴①正确；
②如图，延长11
A B到
1
D，使
1111
B D B C
=，，延长
22
A B到
2
D，使
2222
B D B C
=，
∴111111
A D A
B B C
=+，
222222
A D A
B B C
=+，
∵111122
,
A B C A B C
△△的周长相等，
1122
=
A C A C
∴
1122
A D A D
=，
在△111
A B D和△
222
A B D中
1122
12
1122
=
=
A D A D
A A
A C A C
=
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
∴△
111
A B D≅△
222
A B D（SAS）
∴12
=
D D
∠∠，
∵1111
B D B C
=，
2222
B D B C
=
∴1111
=
D D C B
∠∠，
2222
=
D D C B
∠∠，
又∵1111111
=
A B C D D C B
∠∠+∠，
2222222
=
A B C D D C B
∠∠+∠，
∴1112221
==2
A B C A B C D
∠∠∠，
在△111
A B C和△
222
A B C中
111222
12
1122
=
=
=
A B C A B C
A A
A C A C
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
，
∴△
111
A B C≅△
222
A B C（AAS），
∴②正确；
综上所述：①，②都正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质，能构造全等三角形、综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
20．如图，在正方形
ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作 EF∥AD，与AC 、DC 分别交于点G ，F ，H 为CG 的中点，连结DE 、 EH 、DH 、FH ．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若23
AE AB =，则313
DHC
EDH S
S =．其中结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】 分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC ，则EG=EF-GF=CD-FC=DF ；
②由SAS 证明△EHF ≌△DHC 即可；
③根据△EHF ≌△DHC ，得到∠HEF=∠HDC ，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°； ④若AE AB =23
，则AE=2BE ，可以证明△EGH ≌△DFH ，则∠EHG=∠DHF 且EH=DH ，则∠DHE=90°，△EHD 为等腰直角三角形，过H 点作HM 垂直于CD 于M 点，设HM=x ，则
DM=5x ，26x ，CD=6x ，则S △DHC =
12×HM×CD=3x 2，S △EDH =12
×DH 2=13x 2． 详解：①∵四边形ABCD 为正方形,EF ∥AD ，
∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°， ∴△CFG 为等腰直角三角形，
∴GF=FC ，
∵EG=EF−GF ，DF=CD−FC ，
∴EG=DF ，故①正确；
②∵△CFG 为等腰直角三角形，H 为CG 的中点，
∴FH=CH,∠GFH=12
∠GFC=45°=∠HCD ， 在△EHF 和△DHC 中，
EF=CD ；∠EFH=∠DCH ；FH=CH ，
∴△EHF ≌△DHC(SAS)，故②正确；
③∵△EHF ≌△DHC(已证)，
∴∠HEF=∠HDC ，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；
④∵AE
AB
=
2
3
，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=GH,∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，
EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，
∴△EGH≌△DFH(SAS)，
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD为等腰直角三角形，
如图，过H点作HM⊥CD于M，
设HM=x,则DM=5x,DH=26x，CD=6x，
则S△DHC=1
2
×HM×CD=3x2,S△EDH=
1
2
×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正确；
故选D.
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.
21．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：
①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=1
2
BF；④AE=BG．其中正确的是
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【答案】C
【解析】
【分析】
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出
CE=AE=1
2
AC，又因为BF=AC所以CE=
1
2
AC=
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角
形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形.
∴BD=CD.故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA.
又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，
∴△DFB≌△DAC.
∴BF=AC；DF=AD.
∵CD=CF+DF，
∴AD+CF=BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC.
∴CE=AE=1
2 AC.
又由(1)，知BF=AC，
∴CE=1
2
AC=
1
2
BF；故③正确；
连接CG.
∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD.
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE<CG.
∵CE=AE，
∴AE<BG.故④错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.
22．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN 于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是( )
A．AD＋BC＝AB B．与∠CBO互余的角有两个
C．∠AOB＝90°D．点O是CD的中点
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AD=AE，BC=BE，利用角平分线的定义和平角的性质可得到∠AOB的度数，再利用“HL”证明Rt△AOD和Rt△AOE全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OE，同理可得OC=OE，然后求出∠AOB=90°，然后对各选项分析判断即可得解．
【详解】
∵点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，∴AD=AE，BC=BE．
∵AB=AE+BE，∴AB=AD+BC，故A选项结论正确；
与∠CBO互余的角有∠COB，∠EOB，∠OAD，∠OAE共4个，故B选项结论错误；
∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，∴∠AOE=1
2
∠EOD，∠BOC=
1
2
∠MOE，
∴∠AOB=1
2
(∠EOD+∠MOE)=
1
2
×180°=90°，故C选项结论正确；
在Rt△AOD和Rt△AOE中，
AO AO
AD AE
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），∴OD=OE，同理
可得OC=OE，∴OC=OD=OE，∴点O是CD的中点，故D选项结论正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，余角
的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
23．如图（1），已知AB AC
=，D为BAC
∠的角平分线上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB AC
=，D，E为BAC
∠的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB AC
=，D，E，F为BAC
∠的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（）
A．21 B．11 C．6 D．42
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，
△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB AC
BAD CAD
AD AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；
同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；
∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
24．如图，在△ABC中，AB=BC，90
ABC
∠=︒，点D是BC的中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则CG BC
⊥，先根据直角三角形两锐角互余可得BAD CBG
∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质推出1G
∠=∠，又根据三角形全等的判定定理与性质推出3G
∠=∠，由此即可得出答案．
【详解】
如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则CG BC
⊥，即90
BCG
∠=︒,90
AB BC ABC
=∠=︒
45
BAC ACB
∠
∴∠==︒
904545
GCF BCG ACB
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒
BF AD
⊥
1190
BAD CBG
∴∠+∠=∠+∠=︒
BAD CBG
∴∠=∠
在BAD
∆和CBG
∆中，
90
BAD CBG
AB BC
ABD BCG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠=︒
⎩
()
BAD CBG ASA
∴∆≅∆
,1
BD CG G
∴=∠=∠
点D是BC的中点
CD BD CG
∴==
在CDF
∆和CGF
∆中，45
CD CG
DCF GCF
CF CF
=
⎧
⎪
∠=∠=︒
⎨
⎪=
⎩
()CDF CGF SAS ∴∆≅∆
3G ∴∠=∠
13∠∠∴=
故选：A ．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．
25．如图，△ABC 是等边三角形，AQ =PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR =PS .下列结论：①点P 在∠A 的角平分线上；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP ．其中，正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR =PS ，∴P 在∠A 的平分线上，故①正确；
由①可知，PB =PC ，∠B =∠C ，PS =PR ，∴△BPR ≌△CPS ，∴AS =AR ，故②正确；
∵AQ =PQ ，∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确；
由③得，△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，又由②可知，④△BRP ≌△QSP ，故④也正确，∵①②③④都正确，故选D ．
点睛：本题考查了角平分线的性质与全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．
26．如图，已知AB ＝AC ，AF ＝AE ，∠EAF＝∠BAC，点C 、D 、E 、F 共线．则下列结论，其中正确的是（ ）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE ；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC ．
A ．①②③
B ．①②④
C ．①②
D ．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】 根据题意结合图形证明△AFB ≌△AEC ；利用四点共圆及全等三角形的性质问题即可解决．
【详解】
如图，
∵∠EAF=∠BAC ，
∴∠BAF=∠CAE ；
在△AFB 与△AEC 中，
AF AE BAF CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△AFB ≌△AEC （SAS ），
∴BF=CE ；∠ABF=∠ACE ，
∴A 、F 、B 、C 四点共圆，
∴∠BFC=∠BAC=∠EAF ；
故①、②、③正确，④错误．
故选A.．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是准确找出图形中隐含的全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．
27．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】
分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
28．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（）
A．甲、乙全等，丙、丁全等B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．
【详解】
解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，
∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；
△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，
虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，
∴△EFG不全等于△EGH，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG是正确解决本题的关键．
29．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是
（）
A ．A
B ﹣AD ＞CB ﹣CD
B ．AB ﹣AD=CB ﹣CD
C ．AB ﹣A
D ＜CB ﹣CD
D ．AB ﹣AD 与CB ﹣CD 的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
如图，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ．
∵AC 平分∠BAD ，
∴∠BAC=∠DAC ，
又AC 是公共边，
∴△AEC ≌△ADC （SAS ），
∴AE=AD ，CE=CD ，
∴AB-AD=AB-AE=BE ，BC-CD=BC-CE ，
∵在△BCE 中，BE ＞BC-CE ，
∴AB-AD ＞CB-CD ．
故选A ．
30．如图，ABC △是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，∠BAD =90°，AE ⊥BD 于点E ．连CD 分别交AE ，AB 于点F ，G ，过点A 做AH ⊥CD 交BD 于点H ，则下列结论：
①∠ADC =15°；②AF =AG ；③AH =DF ；④△ADF ≌△BAH ；⑤DF =2EH .其中正确结论的个数为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】 ①根据△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，可以得出各角的度数以及DA=AC ，即可作出判断；②分别求出∠AFG 和∠AGD 的度数，即可作出判断；④根据三角形内角和
定理求出∠HAB 的度数，求证EHG DFA ∠=∠，利用AAS 即可证出两个三角形全等；③根据④证出的全等即可作出判断；⑤证明∠EAH=30°，即可得到AH=2EH ，又由③可知AH DF =，即可作出判断.
【详解】
①正确：∵ABC △是等边三角形，
∴60BAC ︒∠=，∴CA AB =．
∵ABD △是等腰直角三角形，∴DA AB =．
又∵90BAD ︒∠=，∴150CAD BAD BAC ︒∠=∠+∠=，
∴DA CA =，∴()
1180150152ADC ACD ︒︒︒∠=∠=
-=； ②错误：∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=30°
∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG
∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°
∠AFG≠∠AGD
∴AF≠AG
③，④正确，由题意可得45DAF ABH ︒∠=∠=，DA AB =，
∵AE BD ⊥，AH CD ⊥．∴180EHG EFG ︒∠+∠=．
又∵180?DFA EFG ∠+∠=，∴EHG DFA ∠=∠，
在DAF △和ABH 中 ()AFD BHA DAF ABH
AAS DA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DAF △≌ABH ．∴DF AH =．
⑤正确：∵150CAD ︒∠=，AH CD ⊥，
∴75DAH ︒∠=，又∵45DAF ︒∠=，∴754530EAH ︒︒︒∠=-=
又∵AE DB ⊥，∴2AH EH =，又∵=AH DF ，∴2DF EH =
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，属于较难题目.。