孝昌县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

孝昌县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若当R x ∈时，函数||)(x a x f =（0>a 且1≠a ）始终满足1)(≥x f ，则函数3
|
|log x x y a =的图象大致是 （ ）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．
2． 在△ABC 中，C=60°，AB=，AB 边上的高为，则AC+BC 等于（ ）
A ．
B ．5
C ．3
D ．
3． 下面是关于复数的四个命题：
p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，
p 3：z 的共轭复数为﹣1+i ， p 4：z 的虚部为1． 其中真命题为（ ）
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
4． 某企业为了监控产品质量，从产品流转均匀的生产线上每间隔10分钟抽取一个样本进行检测，这种抽样方法是（ ）
A ．抽签法
B ．随机数表法
C ．系统抽样法
D ．分层抽样法
5． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：1
6． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A ．512个
B ．256个
C ．128个
D ．64个
7． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）
A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
8． 在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =+++
+，则k =
A 、22
B 、23
C 、24
D 、25
9． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）
A.]1,1[-
B.]1,0[
C.]1,0(
D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.
10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，定点(0,2)A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M ，与抛 物线C 的准线交于点N ，则||:||MN FN 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．1:
D (1
11．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系．则在H 0成立的情况下，估算概率P （K 2
≥6.635）
≈0.01表示的意义是（ ）
A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%
B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%
C ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%
D ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%
12．下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
二、填空题
13．已知z 是复数，且|z|=1，则|z ﹣3+4i|的最大值为 ．
14．若在圆C ：x 2+（y ﹣a ）2=4上有且仅有两个点到原点O 距离为1，则实数a 的取值范围是 ．
15．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数()f x xlnx ax ＝－＋在()0e ，上是增函
数，函数()22
x
a g x e a ＝－＋，当[]03x ln ∈，时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为3
2，则a 的值
为______.
16．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．
17．若等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则=．
18．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P（400＜X＜450）=0.3，则P（550＜X＜600）=．
三、解答题
19．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
20．设F是抛物线G：x2=4y的焦点．
（1）过点P（0，﹣4）作抛物线G的切线，求切线方程；
（2）设A，B为抛物线上异于原点的两点，且满足FA⊥FB，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值．
21．已知函数
3
()
1
x
f x
x
=
+
，[]2,5
x∈．
（1）判断()
f x的单调性并且证明；
（2）求()
f x在区间[]2,5上的最大值和最小值．
22．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，
[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数．
1111]
23．设{a n }是公比小于4的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a 1=1，且a 1+3，3a 2，a 3+4构成等差数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =lna 3n+1，n=12…求数列{b n }的前n 项和T n ．
24．已知f（x）=x3+3ax2+bx在x=﹣1时有极值为0．（1）求常数a，b的值；
（2）求f（x）在[﹣2，﹣]的最值．
孝昌县第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】由||)(x a x f =始终满足1)(≥x f 可知1>a ．由函数3
|
|log x x y a =
是奇函数，排除B ；当)1,0(∈x 时，0||log <x a ，此时0|
|log 3
<=
x
x y a ，排除A ；当+∞→x 时，0→y ，排除D ，因此选C ． 2． 【答案】D
【解析】解：由题意可知三角形的面积为S===AC •BCsin60°，
∴AC •BC=．由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BCcos60°=（AC+BC ）2
﹣3AC •BC ，
∴（AC+BC ）2
﹣3AC •BC=3，
∴（AC+BC ）2
=11．
∴AC+BC=
故选：D
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．
3． 【答案】C
【解析】解：p
1：|z|==
，故命题为假；
p 2：z 2=
=
=2i ，故命题为真；
，∴z 的共轭复数为1﹣i ，故命题p 3为假；
∵
，∴p 4：z 的虚部为1，故命题为真．
故真命题为p 2，p 4 故选：C ．
【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
4． 【答案】C
【解析】解：由题意知，这个抽样是在传送带上每隔10分钟抽取一产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多， ∴是系统抽样法，
故选：C ．
【点评】本题考查了系统抽样．抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．属于基础题．
5． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，圆锥底面的半径为r ，则πr 2
=
×4πR 2=
，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和
．
∴两个圆锥的体积比为： =1：3．
故选：D ．
6． 【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了=6次， 则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26
=64个．
故选：D ．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
7． 【答案】B
【解析】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2
=4，
表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1）， 故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）．
∵AC=
=2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|==
=6．
故选：B ．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
8． 【答案】A
【解析】1237k a a a a a =++++176
72
a d ⨯=+
121(221)d a d ==+-， ∴22k =．
9． 【答案】C.
【解析】由题意得，[11]
A =-，，(,0]
B =-∞，∴(0,1]U A
C B =，故选C.
10．【答案】D 【解析】
考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.
【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将M 到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的. 11．【答案】C
【解析】解：∵概率P （K 2
≥6.635）≈0.01， ∴两个变量有关系的可信度是1﹣0.01=99%，
即两个变量有关系的概率是99%，
故选C ．
【点评】本题考查实际推断原理和假设检验的应用，本题解题的关键是理解所求出的概率的意义，本题是一个基础题．
12．【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
二、填空题
13．【答案】 6 ．
【解析】解：∵|z|=1，
|z ﹣3+4i|=|z ﹣（3﹣4i ）|≤|z|+|3﹣4i|=1+=1+5=6，
∴|z ﹣3+4i|的最大值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查复数求模，着重考查复数模的运算性质，属于基础题．
14．【答案】 ﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3 ．
【解析】解：根据题意知：圆x 2+（y ﹣a ）2=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2
=1相交，两圆圆心距d=|a|， ∴2﹣1＜|a|＜2+1， ∴﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3． 故答案为：﹣3＜a ＜﹣1或1＜a ＜3．
【点评】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为：圆x 2+（y ﹣a ）2
=4和以原点为圆心，1为半径的圆x 2+y 2
=1相交，属中档题．
15．【答案】
52
【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，
ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，
又()22x
a g x e a =-+，令x
t e =，则()[]2,1,32
a g t t a t =-+
∈，
（1）当23a ≤≤时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2
min 2
a g t g a ==，
则()()max min 312g t g t a -=-=，则5
2
a =，
（2）当3a >时，()()2max 112a g t g a ==-+，()()2
min 332
a g t g a ==-+，
则()()max min 2g t g t -=，舍。

52
a ∴=。

16．【答案】 ．
【解析】解：∵tan β=，α，β均为锐角，
∴tan （α﹣β）==
=，解得：tan α=1，
∴α=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
17．【答案】 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且， ∴S 4=5S 2，又S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，
∴（S 4﹣S 2）2
=S 2（S 6﹣S 4）， ∴（5S 2﹣S 2）2
=S 2（S 6﹣5S 2），
解得S 6=21S 2，
∴
=
=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S 2表示S 4和S 6是解决问题的关键，属中档题．
18．【答案】0.3．
【解析】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，
∴正态分布曲线的对称轴为x=500，
∵P（400＜ξ＜450）=0.3，
∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键．三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin cos+cos2
=sin（+），
∴由2k≤+≤2kπ，k∈Z可解得：4kπ﹣≤x≤4kπ，k∈Z，
∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣，4kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（A）=sin（+），
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，
∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=，又0＜B＜π，
∴B=．
∴可得0＜A＜，
∴＜+＜，
∴sin（+）＜1，
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）设切点．
由，知抛物线在Q点处的切线斜率为，
故所求切线方程为．
即y=x0x﹣x02．
因为点P（0，﹣4）在切线上．
所以，，解得x0=±4．
所求切线方程为y=±2x﹣4．
（2）设A（x1，y1），C（x2，y2）．
由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0．
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1．
点A，C的坐标满足方程组，
得x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系知，
|AC|==4（1+k2），
因为AC⊥BD，所以BD的斜率为﹣，从而BD的方程为y=﹣x+1．
同理可求得|BD|=4（1+），
S ABCD=|AC||BD|==8（2+k2+）≥32．
当k=1时，等号成立．
所以，四边形ABCD面积的最小值为32．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线相切的条件，以及直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．
21．【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）最小值为，最大值为2.5.
【解析】
试题分析：（1）在[]2,5上任取两个数12x x <，则有1212123()
()()0(1)(1)x x f x f x x x --=<++，所以()f x 在[]
2,5上是增函数；（2）由（1）知，最小值为(2)2f =，最大值为5
(5)2
f =.
试题解析：
在[]2,5上任取两个数12x x <，则有
12121233()()11x x f x f x x x -=
-++12123()
(1)(1)
x x x x -=
++0<， 所以()f x 在[]2,5上是增函数．
所以当2x =时，min ()(2)2f x f ==， 当5x =时，max 5()(5)2
f x f ==. 考点：函数的单调性证明．
【方法点晴】本题主要考查利用定义法求证函数的单调性并求出单调区间，考查化归与转化的数学思想方法.先在定义域内任取两个数12x x <，然后作差12()()f x f x -，利用十字相乘法、提公因式法等方法化简式子成几个因式的乘积，判断最后的结果是大于零韩式小于零，如果小于零，则函数为增函数，如果大于零，则函数为减函数.1
22．【答案】（１）0.0075x =；（２）众数是230，中位数为224． 【解析】
试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数．1
试题解析：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++⨯=， ∴0.0075x =．
考点：频率分布直方图；中位数；众数． 23．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q2，解得q=2．
（2）由（1）可得：a n=2n﹣1．
b n=lna3n+1=ln23n=3nln2．
∴数列{b n}的前n项和T n=3ln2×（1+2+…+n）
=ln2．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=x3+3ax2+bx，
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵f（x）在x=﹣1时有极值0，
∴f'（﹣1）=0且f（﹣1）=0，
即3﹣6a+b=0且﹣1+3a﹣b=0，
解得：a=，b=1 经检验，合题意．
（2）由（1）得f'（x）=3x2+4x+1，
令f'（x）=0得x=﹣或x=﹣1，
又∵f（﹣2）=﹣2，f（﹣）=﹣，f（﹣1）=0，f（﹣）=﹣，
∴f（x）max=0，f（x）min=﹣2．。