山东省淄博第一中学高三上学期开学考试——数学理数学

山东省淄博第一中学
2018届高三上学期开学考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B（）
A．（﹣∞，2）B．（0，1）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）
2．随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
3．由直线，，与直线所围成的封闭图形的面积为（）
A．B．C．D．
4．的展开式的常数项是（）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
5．对于函数，若f′（1）=1，则k=（）
A．B．C．﹣D．﹣
6. 从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）
A．B．C．D．
7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方程f（x）+2=f（）的实数x为（）
A．B．C．D．
8．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（）
A．B．C．D．
9．六个人从左到右排成一行，最右端只能排甲或乙，最左端不能排乙，则不同的排法种数共有（）A．192 B．216 C．240 D．288
10．设二项式展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（）A．4 B．5 C．6 D．8
11. 设是定义在上的奇函数，且，当时，有恒成立，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有x l f（x l）+x2f（x2）≥
x l f （x 2）+x 2f （x l ），则称f （x ）为“H 函数”，给出下列函数：
①y=﹣x 3+x+l ； ②y=3x ﹣2（sinx ﹣cosx ）；
③y=l ﹣e x ；
④f （x ）=；
⑤y= 其中“H 函数”的个数有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．l 个
D ．0个
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分).
13. 若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，则抽取的人中，编号在区间内的人数为 .
14．已知X ～B （n ，0.5），且E （X ）=16，则D （X ）= ．
15.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______________.
16、设函数f （x ）=x 2﹣2ex ﹣+a （其中e 为自然对数的底数），若函数f （x ）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是
三、解答题（本大题包括6小题，共70分）.
17. （本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是
⎩⎨⎧ x ＝－35t ＋2，
y ＝45t (t 为参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线 l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求|MN |的最大值
18.（本题满分12分）已知数列为等差数列，且13248,12.a a a a +=+=
（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.
19. （本小题满分12分）
某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆都归零，游戏结束。

设选手甲第一关、第二关、第三关的过关概率分别为，，，选手选择是否继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响.
（I ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率
(II)设该学生所得学豆总数为X,求X的分布列与数学期望.
20、（本小题满分12分）
某地高中年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，并规定：三级为合格，级为不合格
为了了解该地高中年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照
[)[)[)[)[]
,
60
,
70
50分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在分及以,
,
60
,
70
90
,
100
,
90
,
80
80
,
上的所有数据的茎叶图如图所示.
(Ⅰ) 求及频率分布直方图中的值；
(Ⅱ) 根据统计思想方法，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该地高中学生中任选人，求至少有人成绩是合格等级的概率；
(Ⅲ)上述容量为的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了名学生进行调研，记为所抽取的名学生中成绩为等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b．
（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；
（2）若φ（x）=﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知（a∈R）．
（Ⅰ）判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．
参考答案
一、 选择 CCBDA CDCBA BB
二、填空 13、6 14、8 15、 2x+y+1=0 16、
三、解答题
17、解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，
又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.
(2)将直线l 的参数方程化为普通方程，
得y ＝－43
(x －2)，令y ＝0得x ＝2， 即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，
则|MC |＝ 5.
所以|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1.即|MN |的最大值为5＋1.
18、解：（I ）由已知条件可得，
解之得，， 所以，．
（Ⅱ）由可得，，设数列的前项和为. 则21231222
n n n T -=+
+++， ∴ 23112322222
n n n T =++++， 以上二式相减得211111122222
n n n n T -=++++- 122(1)2222n n n n n +=--=-， 所以，.
19、【解析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥，
13121()=1-=4238
P A ⨯⨯（）， 2312111()=(1)=4232216
P A ⨯⨯⨯⨯-， 12113()()()81616
P A P A P A =+=+= （Ⅱ）所有可能的取值为0,5,15,35
37(0)(1)+416P X P A ==-=()
31211(15)=42328
P X ==⨯⨯⨯ 312111(35)=4232216
P X ==⨯⨯⨯⨯ 所以，的分布列为：
195=0+5+15+35=16881616
EX ⨯⨯⨯⨯ 20、解（Ⅰ）由题意知，样本容量
.018.010
56.012.01.004.01,004.010502,5010012.06=----==⨯==⨯=y x n （Ⅱ）样本中成绩是合格等级的人数为，成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选人，成绩是合格等级的概率为，用表示事件“从该地高中学生中任选人，至少有人成绩是合格等级，则()().999.09.0113
=--=M P ” （Ⅲ）样本中等级的学生人数为人，等级的学生人数为人，故随机变量的所有取值为0,1,2,3，
()()()(),220
13,220272201082,220271,22010312393121329312231931233=============C C P C C C P C C C P C C P ξξξξ 于是随机变量的分布列为
所以，().4
9220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 21、【解答】解：（1）由已知得f′（x ）=，∴f′（1）=1=a ，a=2．
又∵g （1）=0=a+b ，∴b=﹣1，∴g （x ）=x ﹣1．
（2）φ（x ）=﹣f （x ）=﹣lnx 在[1，+∞）上是减函数，
∴φ′（x ）=≤0在[1，+∞）上恒成立．
即x 2﹣（2m ﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，则2m ﹣2≤x+，x ∈
[1，+∞），
∵x+∈[2，+∞），∴2m ﹣2≤2，m≤2．
22、解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞）
…
当a≥0时，x ＞0，
∴f′（x ）＞0，因此f （x ）在定义域（0，+∞）上为单调递增函数．…
当a＜0时，则0＜x＜﹣a，f′（x）＜0；x＞﹣a，f′（x）＞0；
此时，f（x）在（0，﹣a）上为单调递减函数，在（﹣a，+∞）上为单调递增函数．…（Ⅱ）（1）令f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，即x+a≥0
∴a≥﹣x．
令a≥﹣1，此时f（x）在[1，e]上为增函数．
∴，
得（舍去）．…
（2）令f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，即x+a≤0
∴a≤﹣x．
令a≤﹣e，此时f（x）在[1，e]上为减函数．
∴，
得（舍去）．…
（3）令f′（x）=0，得x0=﹣a．
当1＜x＜x0时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，x0）上为减函数．
当x0＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x0，e）上为增函数．
∴
得．
综上可知，．…
（III）由f（x）＜x2，得，
∵x＞1，∴有a＞xlnx﹣x3，
令g（x）=xlnx﹣x3，则g′（x）=lnx﹣3x2+1．…
令φ（x）=lnx﹣3x2+1，则，
∵x＞1，∴φ'（x）＜0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴φ（x）＜φ（1）=﹣2＜0，
因此g'（x）＜0，故g（x）在（1，+∞）上单调递减，…
则g（x）＜g（1）=﹣1，
∴a的取值范围是[﹣1，+∞）．。