第14讲 导数解答压轴题(原卷版)

第14讲 导数解答压轴题
1．（2021·山东临沂模拟）已知函数 （1）求函数的极值；
（2）①当时，恒成立，求正整数的最大值 ②证明：
2．（2021·江苏徐州二模）已知函数，为的导数．
（1）设函数，求的单调区间；
（2）若有两个极值点， ①求实数a 的取值范围； ②证明：当时，．
3．（2021·广东汕头一模）已知函数有两个相异零点． （1）求a 的取值范围． （2）求证：．
()()ln 111
kx
f x x x =+-++0x >()0f x >k ()()()32111212311n n n n e
⎛⎫- ⎪+⎝⎭
+⨯+⨯⋅⋅⋅++>⎡⎤⎣⎦
()e (ln 1)()ax f x x a =+∈R ()'
f x ()f x ()()e ax
f x
g x '=()g x ()f x ()1212,x x x x <3
2
2a e <()()121
2
f x f x x x <
()ln f x x x a =--()1212,x x x x <1242
3
a x x ++<
4．（2021·湖北七市三月联考）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立，记，证明：．
5．（2021·山东德州一模）已知函数，．定义新函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若新函数的值域为，求的取值范围．
6．（2021·河南驻马店期末（理））已知函数． （1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程； （2）已知，若方程有两个不相等的实数根，，且，证明：．
()1
x e f x x
-= 2.71828
e =()
f x 2ln 10x e x x kx ---≥0x ∀>max k λ= 1.1λ>()()321ln 1x
f x xe a x x =-++
-()()2
ln 2g x a x a x x
=-+++()()()min ,d f g f x g x =-2a ≤-()g x (),d f g [)0,+∞a ()2a f x x x
=+
()f
x x =
()y f x =(1,(1))f ()(21)ln =-+g x a x b ()()f x g x =1x 2x 0122x x x =+()()00''>f x g x
7．（2021·浙江杭州期末）已知函数，恰好有两个极值点． （Ⅰ）求证：存在实数，使； （Ⅰ）求证：．
8．（2021·天津滨海新区·高三期末）已知函数．（）
（Ⅰ）令，讨论的单调性并求极值； （Ⅰ）令，若有两个零点；
（i ）求a 的取值范围；
9．（2021·天津高三期末）已知函数，e 是自然对数的底数，若，且恰
为的极值点． （1）证明：
； （2）求在区间上零点的个数．
10．（2021·天津和平区期末）已知函数，，．
21
()ln (1)2
f x x x a x =-+a R ∈()1212,x x x x <1,12m ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
0a m <<()1514f x e
-<<-()2
2ln ln f x x x a x =---a R ∈()()g x xf x '=()g x ()()2
2ln h x f x x =++()h x ()ln sin x
f x a xe a x -=⋅+0a >0x =()f x 1
12
a <<()f x (,)π-∞()21x
f x e ax =--()()2ln 1
g x a x =+a R ∈
（1）若在点处的切线倾斜角为，求的值； （2）求的单调区间；
（3）若对于任意，恒成立，求的取值范围．
11．（2021·陕西渭南一模（理））已知函数． （1）讨论的单调性．
（2）当时，若无最小值，求实数的取值范围．
12．（2021·陕西汉中一模（理））已知函数．
（1）当时，求在[]
2,2-上的最值；
（2）设，若有两个零点，求的取值范围．
13．（2021·广西梧州模拟（理））已知a ＞0，函数．
（1）若f （x ）为减函数，求实数a 的取值范围；
()f x (0,(0))f 4
π
a ()f x [0,)x ∈+∞()()f x g x x +≥a 1
2
1()(1)e (0)2
x f x x a x ax x -=---
+>()f x 2a ≤()f x a ()2x f x xe ax a =-+()a R ∈0a =()f x 2
()2x g x e ax =-()()()h x f x g x =-a 2
1()ln (1)2
f x x x x a x =-+-
（2）当x ＞1时，求证：．（e ＝2．718…）
14．（2021·河南六市联考（理））已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）证明：．
15．（2021·江西五市九校联考）已知函数，其中． （1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）记函数的导函数是，若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围；
（3）设函数，是函数的导函数，若函数存在两个极值点，，且
，求实数的取值范围．
16．（2021·安徽六校二月联考（理））已知函数． （1）讨论的单调性；
（2）若，证明：对任意的．
2e ()e 2
a
a f x <-1
()2ln x f x e x x -=-+()f x 3
()(2)3(2)f x x x ---211
()4ln 22
f x x ax a x a =
-+++a R ∈1a =()f x 1x =()f x ()'
f x ()()f x xf x '<(1,)x ∈+∞a
()()2g x f x a =+()'g x ()g x ()g x 1x 2x ()()()1212g x g x g x x '+≥a ()21
,x
x mx f x m R e
++=∈()f x ()1,0m ∈-[]()1212,1,1,45x x m f x x ∈-+<
17．（2021·江西新余期末（理））设函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，； （i ）求满足条件的最小正整数的值． （ii ）求证：．
18．（2021·海口市·海南中学高三月考）设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+，
且在点(1,0)处的切线方程为0y =． （1）求,a b 的值；
（2）证明：当1≥x 时，2
()(1)f x x ≥-；
（3）若当1≥x 时，2
()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．
19．（2021·沈阳二模）已知函数()ln f x x x a =+，0a <． （1）证明：()f x 有且仅有一个零点； （2）当()
2
2,0a e ∈-时，试判断函数()2211
ln 24
g x x x x ax =
-+是否有最小值？若有，设最小值为()h a ，求()h a 的值域；若没有，请说明理由．
()2
ln f x x a x =-()()2g x a x =-()f x ()()()F x f x g x =-1x 2x a 12'02x x F +⎛⎫
> ⎪⎝⎭
20．（2021·浙江绍兴一模）已知函数(其中，e 为自然对数的底数)．
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数的极小值点为m ，极大值点为n ，证明：当时，．
21．（2021·陕西西安月考（理））已知函数．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅰ）设求证：在上有两个零点．
22．（2021·天一大联考（理））已知函数．
（1）求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方；
（2）若函数，，证明：．
(
)(x
f x ax e -=02a <<()f x ()f x (,)x m n ∈()1
ln a f x x x e
--<()2
ln ln 2f x x x =()f x ()()ln ,h x f x x =-()h x [)1,+∞()ln f x x x =()f x ()()
1,1A f ()f x A ()()()ln 1sin 22cos2g x x x f x x =+⋅-1,2x e π⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭()22cos g x e e
≥
23．（2021·湖南衡阳一模）已知函数，，其中，．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）是否存在实数，使得只有唯一的，当时，恒成立，若存在，试求出，的值；若不存在，请说明理由．
24．（2021·天津和平区·高三一模）已知函数，．
（1）当时，直线与相切于点，
①求的极值，并写出直线的方程；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：．
25．（2021·天津南开区·高三一模）已知曲线与轴交于点，曲线在点处的切线方程为
，且．
（1）求的解析式； （2）求函数的极值； ()ax
f x e =()
g x kx a =+0a >k ∈R 1k a ==()()
g x y f x =k a 0x >()()f x g x ≥k a ()ln f x ax x =a R ∈1a =l ()y f x =2
233,e f e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
()f x l x e ≥()m
x m f x e x
≥0m >m ()()2
g x f x x =+1x 2x 2
12x x e >()ln y x m =+x P P ()y f x =()12f =()y f x =()()
x f x g x e
=
（3）设，若存在实数，，使成立，求实数的取值范围．
26．（2021·江西八校4月联考（理））已知函数，．
（1）讨论函数的单调性； （2）若，求的值； （3）证明：．
27．（2021·吉林吉林三模（理））已知函数，．
（1）求函数的单调区间； （2）、，使得不等式成立，求的取值范围； （3）不等式在上恒成立，求整数的最大值．
28．（2021·江苏常州一模）已知函数．
（1）当时，一次函数对任意，恒成立，求的表达式； （2）讨论关于x 的方程解的个数．
()()2ln 1ln 1x a x h x x
+-+=[]11,x e ∈1
2e ,1x -⎡⎤∈⎣⎦()()21222222ln 1ln h x x x a x x x <+-+a ()ln f x x a x =+()ln 2x
g x e x x -=--()f x ()00g x =00ln x x +2ln x x x x e x --≤+()2sin x
f x e x x =-+()()sin cos x
g x e
x x a =-++()f x 1x ∃20,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
()()12g x f x ≥a ()ln f x m
x x
'->()1,+∞m ()1ln ()f x m x m R -=+∈2m =()g x ()0x ∈+∞，
()()2
f x
g x x ≤≤()g x 2
()
1f x x f x =⎛⎫ ⎪⎝⎭
29．（2021·天津十二校联考）已知，（n 为正整数，）
（Ⅰ）若在处的切线垂直于直线，求实数m 的值； （Ⅰ）当时，设函数，，证明：仅有1个零点． （Ⅰ）当时，证明：．
30．（2021·山东烟台一模）已知函数为的导函数． （1）求函数的极值；
（2）设函数，讨论的单调性；
（3）当时，，求实数的取值范围．
31．（2021·辽宁铁岭一模）已知函数，为自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
()sin ,()ln n x
f x x
g x x me ==+m R ∈()y g x =1x =1
2
y x =
1n =2
()12()h x x f x =--(0,)x π∈()h x 2n =()
()()12
x f x g x x m e <+'+-()()2
1cos ,2
f x x x f x '=+()f x ()f x ()23sin cos 1sin 226,x x x x
g x x e a x x x a R +=-+-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝∈⎭
()g x 0x ≥()1x
f x e bx '≤+-b ()2
2x
f x xe ax ax =++e ()f x 0x >()()()21ln 1a x f x x x ≥+-+a
32．（2021·浙江温州二模）已知函数． （1）若函数没有极值点，求实数的取值范围；
（2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围．
33．（2021·湖北十一校3月联考）已知函数在时取到极大值．
（1）求实数a ､b 的值；
（2）用表示中的最小值，设函数，
若函数为增函数，求实数t 的取值范围．
2
21(),()21e
kx x f x g x ax ax +==++()f x k ()()g x f x ≤x ∈R k a k 2
()x ax b
f x e +=2x =24e min{.,)m n ,m n 1()min (),(0)
g x f x x x x ⎧⎫
=->⎨⎬⎩⎭2 ()()h x g x tx =-。