宁夏固原市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

宁夏固原市2021届新高考数学模拟试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1,3,5}A =，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{1,2,3,5} B ．{1,2,3,4}
C ．{2,3,4,5}
D ．{1,2,3,4,5}
【答案】D 【解析】 【分析】
根据集合的基本运算即可求解. 【详解】
解：{1,3,5}A =Q ，{1,2,3}B =，{2,3,4,5}C =， 则(){1,3}{2,3,4,5}{1,2,3,4,5}A B C ⋂⋃=⋃= 故选：D. 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．
17
B ．27
C ．
13
D ．
1835
【答案】A 【解析】 【分析】 利用A
n P n
=
计算即可，其中A n 表示事件A 所包含的基本事件个数，n 为基本事件总数. 【详解】
从7本作业本中任取两本共有2
7C 种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有2
3C 种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为23271
7
C C =.
故选：A. 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 3．将函数sin f x x π⎛
⎫
=+
图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，
再将图像向左平移π
个单位长度，
得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（ ）
A ．,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．
(),0π
D ．4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数图象的变换规律可得到()y g x =解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可. 【详解】
解：()sin 6f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到1
sin 2
6x π⎛⎫+
⎪⎝⎭
再将图像向左平移
3π
个单位长度，得到函数()1sin +236g x x ππ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的图象 ()1
sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，403
g π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
故选：D 【点睛】
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.
4．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．
5．已知函数()2
121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ）
A ．
1
2
B ．1-
C ．±1
D ．12
±
【答案】C
【分析】
设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，计算可得()()()()()()()2,2,g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩
，再结合图像即可求出答案. 【详解】
设()()()()2121g x h x ax g x h x x ax ⎧+=+⎪⎨-=+-⎪⎩，则()()2
2
1g x x ax
h x x
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， 则()()()()()()()()()()()2,2,g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩
，
由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()(),g x h x 的大致图像，
结合图像，210x -=，得1x =±， 所以1a =±. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题.
6．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()2
20y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，
且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )
A 3
B ．
23
C ．
22
D ．1
【答案】C 【解析】
试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 21112y y p u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r
2
2
3
2
63
OM
y
k
y p
y p
p y
p
==≤=
+
+
，当且仅当22
00
2,
y p y
==时取等号，故选C．
考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．
【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2
PM MF
=，利用向量的运算可知
2
00
(,)
633
y y
p
M
p
+，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．
7．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）
A
．0,
6
⎛
⎝⎦
B
．
5
⎫
⎪⎪
⎣⎭
C
．0,
5
⎛
⎝⎦
D
．
5
⎡⎫
⎪
⎢⎪
⎣⎭
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.
【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
=6，
所以椭圆离心率e==，
所以0,
5
e
⎛
∈
⎝⎦
.
故选：C
【点睛】
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.
8．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，,
lα
⊄,
lβ
⊄则
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出
//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．
9．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ） A ．
12π
B ．
3π
C ．
2π
D ．
1π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率. 【详解】
7041
2212π
≈. 故选:D. 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题. 10．已知
1111
143579
π≈-+-+-L ，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入
A ．1
21
i n =-
- B ．12
i i =-
+ C ．(1)21
n
i n -=+
D ．(1)2
n
i i -=+
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
由于1111
13579-+-+-L 中正项与负项交替出现，根据S S i =+可排除选项A 、B ；执行第一次循环：
011S =+=，①若图中空白框中填入(1)21
n i n -=
+，则13i =-，②若图中空白框中填入(1)2n
i i -=+，则13i =-，此时20n >不成立，2n =；执行第二次循环：由①②均可得113S =-，③若图中空白框中填入(1)21n
i n -=+，
则15i =，④若图中空白框中填入(1)2n
i i -=+，则35i =，此时20n >不成立，3n =；执行第三次循环：由
③可得11135S =-+，符合题意，由④可得13135S =-+，不符合题意，所以图中空白框中应填入(1)21
n
i n -=+，
故选C ．
11．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有
()()
2121
0f x f x x x ->-成立，已知
()ln a f π=，12
b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
【答案】A 【解析】 【分析】
根据偶函数的性质和单调性即可判断.
解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有
()()
2121
0f x f x x x ->-
()f x 在(),0x ∈-∞上递增
因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减 又因为2
21log log 626
=>，1ln 2π<<，
1
201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】
考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.
12．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为9
8
，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30
C ．31
D ．32
【答案】B 【解析】 【分析】
设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】
设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98
， 即有a 4+a 7=
94
， 即16q 3+16q 6，=9
4
，
解得q=1
2
（负值舍去），
则有S 5=
(
)
5
111a q q
--=
511612112
⎛
⎫⨯- ⎪
⎝⎭-=1．
【点睛】
本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．点P 是△ABC 所在平面内一点且,PB PC AP +=u u u r u u u r u u u r
在△ABC 内任取一点，则此点取自△PBC 内的概
率是____ 【答案】
13
【解析】
【分析】
设D 是BC 中点，根据已知条件判断出,,A P D 三点共线且P 是线段AD 靠近D 的三等分点，由此求得
1
3
PBC ABC S S =V V ，结合几何概型求得点取自三角形PBC 的概率. 【详解】
设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=u u u r u u u r u u u r ，所以2PD AP =u u u r u u u r
，所以A P D 、、三点共线且点P 是线段AD 靠
近D 的三等分点，
故
1
3PBC ABC S S =V V ，所以此点取自PBC V 内的概率是13
． 故答案为：
1
3
【点睛】
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.
14．已知向量()()
1,2,,1,2,2a b x u a b v a b ===+=-v v v r r v v v ，且//u v v v
，则实数x 的值是__________． 【答案】12
【解析】
∵a →=（1，2），b
→=（x ，1）， 则u →=a →+2b
→=（1，2）+2（x ，1）=（1+2x ，4），
∵//u v v v
∴3（1+2x ）﹣4（2﹣x ）=1，解得：x=
12
． 点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得u →，v →然后利用向量共线的坐标表示列式求解x 的值．若a →=（a 1，a 2），b →=（b 1，b 2），则a →⊥b →⇔a 1a 2+b 1b 2=1，a →∥b
→⇔a 1b 2﹣a 2b 1=1． 15．已知2
24()ln ,()()
e f x x g x x a ==-，如果函数
()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是____________ 【答案】()3,e +∞ 【解析】 【分析】
首先把零点问题转化为方程问题，等价于2
24ln ()e x x a =-
有三个零点，两侧开方，可得x a =±
a x =. 【详解】
若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，即224ln ()e x x a =-零点有，显然1x >，则有22
4()ln e a x x
-=，可
得x a =
a x =±(
)g x x =±(
)g x x =，函
数单调递增，
0g
=
<，()
220g e e e =->，所以函数在区间()1,+∞上只有一解，对于
函数(
)g x x =+()()3
2'ln 10x g x e x
-=-=，解得x e =，()'0g x <，解得1x e <<，()'0g x >，解得x e >，所以函数在区间()1,e 上单调递减，在区间(),e +∞上单调递增，()23g e e e e =+=，当1x →时，()g x →+∞，当x →+∞时，()g x →+∞，此时函数若有两个零点，则有3a e >，综上可知，若函数()()()h x f x g x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是()3,e +∞. 故答案为：()3,e +∞ 【点睛】
本题考查了函数零点的零点，恰当的开方，转化为函数有零点问题，注意恰有三个零点条件的应用，根据函数的最值求解参数的范围，属于难题.
16．已知向量(1,2),(3,2)a b ==-r r
，若向量ka b +r r 与2a b -r r
共线，则k =________.
【解析】 【分析】
计算得到(3,22),2(5,2)ka b k k a b +=-+-=r r r r
，根据向量平行计算得到答案.
【详解】
由题意可得(3,22),2(5,2)ka b k k a b +=-+-=r r r r
，
因为ka b +r r 与2a b -r r
共线，所以有2(3)5(22)0k k --+=，即816k =-，解得2k =-. 故答案为：2-. 【点睛】
本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且11
2
a =
，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，221111
2()
2n n n n n n T T b T b b --+--=
-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2
(2)n n
n n n
b a
c b b +=
+，求数列{}n c 的前n 项和n P . 【答案】（1）1
2
n n
a =，n
b n =（2）11(1)2n n P n =-+⋅ 【解析】 【分析】
（1）112(2)n n S a n -=-…
，所112n n S a +=-，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由()2211111
22(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=
-=-+…，整理得
()()()
11111111
22(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，得到11(2)n n n n b b b b n +--=-…
，即可求解通项公式；
（2）由（1）可知，21(2)12(1)111
2(1)22(1)2n n n n n
n n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，即可求得数列{}n c 的前n 项和n P . 【详解】
1121122S a a ==
=-，解得2111
42
a
a ==， 所以数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，即1
2n n a =，
因为()2211111
22(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=
-=-+…，
整理得
()()()11111111
22(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，
又因为0n b >，所以0n T >，所以
11
21(2)n
n n b n b b +-=+…，即11(2)n n n n b b b b n +--=-…，因为121,2b b ==，
所以数列{}n b 是以首项和公差均为1的等差数列，所以n b n =； （2）由（1）可知，21(2)12(1)111
2(1)22(1)2n n n n n
n n n c n n n n n n -++-=
⋅=⋅=-++⋅+⋅，
211111112222322(1)2n n n P n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即11(1)2n n P n =-+⋅. 【点睛】
此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.
18．已知三棱柱111ABC A B C -中，12AB BB ==，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.
（1）求证：AB AC ⊥；
（2）若侧面11ACC A 为正方形，求直线1B D 与平面1C AD 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（225 【解析】 【分析】
（1）取AB 的中点O ，连接OD ，1OB ，证明AB ⊥平面1ODB 得出AB OD ⊥，再得出AB AC ⊥； （2）建立空间坐标系，求出平面1C AD 的法向量n r ，计算cos n <r
，1B D >u u u u r 即可得出答案．
【详解】
（1）证明：取AB的中点O，连接OD，1
OB，
160
B BA
∠=︒
Q，
12
B B=，
1
1
2
OB AB
==，
1
41221cos603
OB
∴=+-⨯⨯⨯︒=，
222
11
OB OB BB
∴+=，故
1
AB OB
⊥，
又
1
AB B D
⊥，
111
OB B D B
=
I，11,
OB B D⊂平面
1
ODB，
AB
∴⊥平面1
ODB，
AB OD
∴⊥，
O
Q，D分别是AB，BC的中点，//
OD AC
∴，
AB AC
∴⊥．
（2）解：Q四边形11
ACC A是正方形，
1
AC AA
∴⊥，
又AC AB
⊥，
1
AB AA A
=
I，1
,
AB AA⊂平面
11
ABB A，
AC
∴⊥平面11
ABB A，
在平面11
ABB A内作直线AB的垂线AE，以A为原点，以AB，AC，AE为所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz
-，
则(0
A，0，0)，(1
D，1，0)，
1
(1
C-，2，3)，
1
(1
B，0，3)，
∴(1
AD=
u u u r
，1，0)，
1
(1
AC=-
u u u u r
，2，3)，
1
(0
B D=
u u u u r
，1，3)
-，
设平面1
C AD的法向量为(
n x
=
r
，y，)z，则
1
·0
·0
n AD
n AC
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
u u u v
r
u u u u v
r，即
230
x y
x y z
+=
⎧⎪
⎨
-++=
⎪⎩
，
令1
x=可得：(1
n=
r
，1
-，3)，
cos n
∴<
r
，1
1
1
25
||||5
n B D
B D
n B D
>===-
u u u u r
r
u u u u r g
u u u u r
r．
∴直线
1
B D与平面
1
C AD所成角的正弦值为|cos n
<
r
，
1
25
|
B D>=
u u u u r
．
【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题．
19．已知函数2()52ln f x x x x =-+. （1）求()f x 的极值；
（2）若()()()123f x f x f x ==，且123x x x <<，证明：121x x +>. 【答案】（1）()f x 极大值为9
2ln 24
--；极小值为62ln 2-+；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）对函数()f x 求导,进而可求出单调性,从而可求出函数的极值; （2）构造函数1()()(1),0,
2F x f x f x x ⎛⎫
=--∈ ⎪⎝⎭
,求导并判断单调性可得()0F x <,从而()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,再结合110,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,()()()2111f x f x f x =<-,可得到211x x >-,即可证明结论成立. 【详解】
（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+,2(21)(2)()25(0)x x f x x x x x
'
--=-+
=>, 所以当10,(2,)2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭U 时,()0f x '>;当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()0f x '<,
则()f x 的单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
和(2,)+∞,单调递减区间为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故()f x 的极大值为115
192ln 2ln 224224f ⎛⎫=-+=--
⎪⎝⎭
;()f x 的极小值为(2)4102ln 262ln 2f =-+=-+.
（2）证明:由（1）知1231
022
x x x <<
<<<, 设函数1()()(1),0,
2F x f x f x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭
, 则()()()2
2
()52ln 1512ln 1F x x x x x x x ⎡⎤=-+----+-⎣⎦
,
2
(21)(2)(21)(1)2(21)()1(1)
x x x x x F x x x x x ---+-'=+=--,
则()0F x '>在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立,即()F x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增,
故1()2F x F ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
,
又1110222F f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则1()()(1)0,0,2F x f x f x x ⎛⎫
=--<∈ ⎪⎝⎭, 即()(1)f x f x <-在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立.
因为110,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,所以()()111f x f x <-, 又()()21f x f x =,则()()211f x f x <-,
因为211,1,22x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,且
()f x 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减, 所以211x x >-,故121x x +>. 【点睛】
本题考查函数的单调性与极值,考查了利用导数证明不等式,构造函数是解决本题的关键,属于难题. 20．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,
3sin x y αα
=⎧⎨
=⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 6ρθρθ+=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若射线m 的极坐标方程为3
π
θ=
（0ρ≥）.设m 与C 相交于点M ，m 与l 相交于点N ，求||MN .
【答案】（1）曲线C 的普通方程为2
2
19
y x +=；
直线l 的直角坐标方程为60x y +-=（2）||6MN = 【解析】 【分析】
（1）利用消去参数α，将曲线C 的参数方程化成普通方程，利用互化公式cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩，
将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）根据（1）求出曲线C 的极坐标方程，分别联立射线m 与曲线C 以及射线m 与直线l 的极坐标方程，求出1ρ和2ρ，即可求出||MN . 【详解】
解：（1）因为cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数），所以消去参数α，得2
2
19y x +=，
所以曲线C 的普通方程为2
2
19
y x +=.
因为cos ,
sin ,
x y ρθρθ=⎧⎨
=⎩所以直线l 的直角坐标方程为60x y +-=.
（2）曲线C 的极坐标方程为222
2
sin cos 19
ρθ
ρθ+=.
设,M N 的极径分别为1ρ和2ρ，
将3
π
θ=（0ρ≥）代入222
2
sin cos 19
ρθ
ρθ+
=，解得1ρ，
将3
π
θ=
（0ρ≥）代入sin cos 6ρθρθ=”
，解得26ρ=.
故12||6MN ρρ=-=.
【点睛】
本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
将极坐标方程化为直角坐
标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题.
21．在平面直角坐标系xOy 中,有一个微型智能机器人（大小不计）只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进,且每一步只能行进1个单位长度,例如：该机器人在点()1,0处时,下一步可行进到()2,0、()0,0、()1,1,、
()1,1-这四个点中的任一位置．记该机器人从坐标原点O 出发、行进n 步后落在y 轴上的不同走法的种数
为()L n ．
（1）分别求()1L 、()2L 、()3L 的值； （2）求()L n 的表达式．
【答案】（1）()12L =,()26L =,()320L =,（2）()2n
n L n C =
【解析】 【分析】
（1）根据机器人的进行规律可确定()1L 、()2L 、()3L 的值；
（2）首先根据机器人行进规则知机器人沿x 轴行进m 步,必须沿x 轴负方向行进相同的步数,而余下的每一步行进方向都有两个选择(向上或向下),由此结合组合知识确定机器人的每一种走法关于,m n 的表达式,并得到()L n 的表达式,然后结合二项式定理及展开式的通项公式进行求解. 【详解】
解：（1）()12L =
()26L =,
()320L =,
（2）设m 为沿x 轴正方向走的步数（每一步长度为1）,则反方向也需要走m 步才能回到y 轴上,所以
0m =,1,2,……,2n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,（其中2n ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
为不超过2n 的最大整数）
总共走n 步,首先任选m 步沿x 轴正方向走,再在剩下的n m -步中选m 步沿x 轴负方向走,最后剩下的每一步都有两种选择（向上或向下）,即22
m
m
n m
n n m C C --⋅⋅
()0210
220
222
2,22,m m m n m
n n m n m m m n m
n n m
m n m m n m n n m
n C C n L n C C C C n =---=--=⎡⎤
-⎢⎥-⎣⎦
⎧⋅⋅⎪⎪⎪∴=⋅⋅=⎨⎪⋅⋅⎪⎪⎩∑∑∑为奇数为偶数
等价于求()21n
x +中含n x 项的系数,为2n
n C
()
()()()22
2
20
1212121n
n
n
n
n r
r
r n r x x x x x C x x -=⎡⎤+=++=+++⋅⎣⎦
=⋅∑
其中含n x 项的系数为
02210
2220
2222
2,22,r r n r n r
n n r n r r n r n r
n n r r n r n r n r n n r
n C C n C C C C n =----=---=⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦
⎧⋅⋅⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⋅⋅⎪⎪⎩∑∑∑为奇数为偶数
()021********
2,22?,r r r n r
n n r n r r r n r n n n r n r n r r n r n n r n
C C n C C C L n C C n =---=--=⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦⎧⋅⋅⎪⎪⎪==⋅⋅==⎨⎪⋅⋅⎪⎪⎩∑∑∑为奇数为偶数
故()2n
n L n C =．
【点睛】
本题考查组合数、二项式定理,考查学生的逻辑推理能力,推理论证能力以及分类讨论的思想. 22．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b （a 2+c 2﹣b 2）＝a 2ccosC+ac 2cosA ． （1）求角B 的大小； （2）若△ABC
，求△ABC 面积的最大值. 【答案】（1）B 1
3
π=（2
【解析】 【分析】
（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求cosB ，进而可求B ； （2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac 的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】
（1）因为b （a 2+c 2﹣b 2）＝ca 2cosC+ac 2cosA ，
∴222cos cos cos abc B ac C ac A =+，即2bcosB ＝acosC+ccosA 由正弦定理可得，2sinBcosB ＝sinAcosC+sinCcosA ＝sin （A+C ）＝sinB ， 因为(0,)B π∈，sin 0B >所以1cos 2
B =， 所以B 1
3
π=
； （2）由正弦定理可得，b ＝2RsinB 233
232
=
⨯⨯=2， 由余弦定理可得，b 2＝a 2+c 2﹣2accosB ， 即a 2+c 2﹣ac ＝4，因为a 2+c 2≥2ac ，
所以4＝a 2+c 2﹣ac≥ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，即ac 的最大值4， 所以△ABC 面积S 13
32acsinB ac ==≤即面积的最大值3. 【点睛】
本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题. 23．已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()()f x g x a +>成立，求实数a 的取
值范围.
【答案】(),8-∞ 【解析】
试题分析：先将问题“ 存在实数x 使()()f x g x a +>成立”转化为“求函数()()f x g x +的最大值”,再借助柯西不等式求出()()f x g x +的最大值即可获解. 试题解析：
存在实数x 使()()f x g x a +>成立，等价于()()f x g x +的最大值大于a ， 因为
，
由柯西不等式：
()()2
321143121464x x
x x +-≤+++-=，
所以()()36148f x g x x x +=+-≤，当且仅当10x =时取“=”，
-∞．
故常数a的取值范围是(),8
考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.。