2023年数一真题试题答案

整年硕士硕士入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～10小题,每题4分,共40分,下列每题给出四个选项中,只有一种选项符合题目规定,请将所选项前字母填在答题纸．．．
指定位置上． (1)当时0x +
→,x 等价无穷小量是( )
(A) 1x
-ln
1x
-11x +. (D) 1x -答案： (B). (2) 曲线1
ln(1)x y e x
=
++渐近线条数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 答案： (D).
(3)图,持续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上图形分别是直径为1上、下半圆周,在区间
[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为
2上、下半圆周,设0
()(),x
F x f t dt =
⎰
则下列结论对的是
( )
(A) (3)F 3(2)4F =--. (B) (3)F 5
(2)4F =. (C) (3)F -3(2)4F =. (D) (3)F -5
(2)4
F =--.
答案： (C).
(4)设函数()f x 在0x =处持续,则下列命题错误．．
是( ) (A) 若0()lim x f x x →存在,则(0)0f =. (B) 若0()()lim x f x f x x
→+-存在,则(0)0f =.
(C) 若0()lim x f x x →存在,则(0)f '存在. (D) 若0()()
lim x f x f x x
→--存在,则(0)f '存在.
答案： (D).
(5)设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数,且()0f x ''>,令()n u f n = (1,2,)n =,则下列结论对
的是( )
(A) 若12u u >,则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >,则{}n u 必发散. (C) 若12u u <,则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <,则{}n u 必发散. 答案： (D).
(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶持续偏导数),过第Ⅱ象限内点M 和第Ⅳ象限内点N ,Γ为L 上从点M 到点N 一段弧,则下列积分不大于零．．．．
是( ) (A) (,)f x y dx Γ
⎰. (B) (,)f x y dy Γ
⎰.
(C)
(,)f x y ds Γ
⎰
. (D) (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ
''+⎰.
答案： (B).
(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性有关．．．．
是( ) (A) 12αα-2331,,αααα--. (B) 12αα+2331,,αααα++. (C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. 答案： (A).
(8)设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,100010000B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,则A 和B ( ) (A) 协议,且相似. (B) 协议,但不相似. (C) 不协议,但相似. (D) 既不协议,也不相似. 答案： (B).
(9)某人向同一目的独立反复射击,每次射击命中目的概率为(01)p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目的概率为( )
(A) 2
3(1)p p -. (B) 2
6(1)p p -. (C) 2
2
3(1)p p -. (D) 2
2
6(1)p p -. 答案： (C).
(10)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 和Y 不有关,(),()X Y f x f y 分别表达,X Y 概率密度,则在Y y =条件下,X 条件概率密度()X Y f x y 为( )
(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)
()
()
X Y f x f y . 答案： (A).
二、填空题：11～16小题,每题4分,共24分,请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (11)
1
2
31
1x e dx x =⎰
. 答案：
. (12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,),y
x
z f x y =则z
x
∂=∂ . 答案：
z
x
∂=∂112(,)(,)ln y x y y x x f x y yx f x y y y -''+ .
(13)二阶常系数非齐次线性微分方程2432x
y y y e
'''-+=通解为y = .
答案：非齐次线性微分方程通解为32122x x x
y C e C e e =+-.
(14)设曲面:1x y z ∑++=,则
()x y dS ∑
+=⎰⎰ .
答案：
1()433x y dS y dS ∑
∑
+=
=⋅=⎰⎰⎰⎰
.
(15)设距阵0
1000010,00010
000A ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
则3A 秩为 .
答案：()
3 1.r A =
(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差绝对值不大于
1
2
概率为 . 答案： 3.4
三、解答题：17～24小题,共86分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节. (17) (本题满分11分)
求函数2
2
22
(,)2,f x y x y x y =+-在区域{
}
22
(,)4,0D x y x y y =+≤≥上最大值和最小值. 答案：函数在D 上最大值为(0,2)8f =,最小值为(0,0)0f =. (18) (本题满分10分)
计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑
=++⎰⎰ 其中∑为曲面2
2
1(01)4y z x z =--≤≤上侧.
答案： I π=. (19) (本题满分11分)
设函数()f x ,()g x 在[],a b 上持续,在(,)a b 内二阶可导且存在相等最大值,又()f a ＝
()g a ,()f b ＝()g b ,证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=
证明：设()()()x f x g x ϕ=-,由题设(),()f x g x 存在相等最大值,设1(,)x a b ∈, 2(,)x a b ∈使
12[.]
[.]
()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===.
若12x x =,即()f x 和()g x 在同一点获得最大值,此时,取1x η=,有()()f g ηη=； 若12x x ≠,不妨设12x x <,则
111()()()0x f x g x ϕ=->,222()()()0x f x g x ϕ=-<,且
()x ϕ在[],a b 上持续,则由零点定理得存在(,),a b η∈使得()0ϕη=,即()()f g ηη=；
由题设()f a ＝()g a ,()f b ＝()g b ,则()0()a b ϕϕ==,结合()0ϕη=,且()x ϕ在[],a b 上持续,在(,)a b 内二阶可导,应用两次使用罗尔定理知：
存在12(,),(,),a b ξηξη∈∈使得12()()0ϕξϕξ''=＝0,.
在12[,]ξξ再由罗尔定理,存在12(,)ξξξ∈，使()0ϕξ''=.即()()f g ξξ''''=. (20) (本题满分10分)
设幂级数
n
n n a x
∞
=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,y xy y ''--=(0)0,y =(0)1y '=.
(I) 证明22
,1,2,1
n n a a n n +=
=+.
(II) 求()y x 表达式.
答案： (I) 证明：对
n
n n y a x ∞
==∑,求一阶和二阶导数,得
1
21
2
,(1),n n n n n n y na x
y n n a x ∞
∞
--=='''==-∑∑
代入240y xy y '''--=,得
2
1
210(1)240n n n n
n n n n n n n a x
x na x
a x ∞
∞
∞
--===---=∑∑∑.
即
2
1
(1)(2)240n
n
n n n n n n n n n a
x na x a x ∞
∞
∞
+===++--=∑∑∑.
于是202240
(1)20,n n a a n a a +-=⎧⎨
+-=⎩
1,2,,n =从而22
,1,2,.1
n n a a n n +=
=+
(II)2
x y xe =. (21) (本题满分11分)
设线性方程组1231232
12302040
x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩ (1) 和 方程12321x x x a ++=- (2)有公共解,求a 得
值及所有公共解.
答案：当时1a =,()A b =11100
10000000
000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
,因此方程组通解为(1,0,1)T k -,k 为任意常数,此即为方程组(1)和(2)公共解.
当时2a =,()A b =111
00
11000110000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
- ⎪
⎝⎭
,此时方程组有唯一解(0,1,1)T -,此即为方程组(1)和(2)公共解.
(22) (本题满分11分)
设3阶实对称矩阵A 特性值12311,2,2,(1,1,1)T
λλλα===-=-是A 属于1λ一种特性向
量.记53
4B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.
(I) 验证1α是矩阵B 特性向量,并求B 所有特性值和特性向量； (II) 求矩阵B . 答案：
(I)由11A αα=,可得 11
1111()k k k A A A A αααα--===
=,k 是正整数,则
5311(4)B A A E αα=-+531114A A E ααα=-+111142αααα=-+=-,
于是1α是矩阵B 属于特性值12λ'=-特性向量.
因此B 所有特性向量为：对应于12λ'=-全体特性向量为11k α,其中1k 是非零任意常数,对
应于2
31λλ''==全体特性向量为2233k k αα+,其中23,k k 是不同样时为零任意常数. (II)1200010001B P P --⎡⎤⎢⎥=⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 011101110-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
. (23)(本题满分11分)
设二维随机变量(,)X Y 概率密度为 2,01,01,(,)0,
x y x y f x y --<<<<⎧⎪=⎨⎪⎩其他,
(I) 求{}2P X Y >；
(II)求Z X Y =+概率密度()Z f z . 答案：
(I){}1
1
200
2(2)x P X Y dx x y dy >=
--⎰⎰1
205()8x x dx =-⎰724
=. (II) 22
2,01,()44,
12,0,Z z z z f z z z z ⎧-<≤⎪=-+<≤⎨⎪⎩
其他.
(24)(本题满分11分)
设总体X 概率密度为1
,0,21
(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩
其他其中参数(01)θθ<<未
知,12,,...n X X X 是来自总体X 简朴随机样本,X 是样本均值.
(I) 求参数θ矩估计量θ；
(II) 鉴定2
4X 与否为2
θ无偏估计量,并阐明理由. 答案： (I) 122
X θ=-
； (II)只须验证2
(4)E X 2
θ=与否成立即可.
2
2
221
(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n
==+=+,
11()42E X θ=+,221
()(12)6
E X θθ=++,
22251
()()()481212
D X
E X EX θθ=-=-+,
代入得222
533131(4)1233n n n E X n n n
θθθ+-+=++≠,因此
24X 不是2θ无偏估计量.。