26.2 等可能情况下的概率计算(2)
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义务教育教科书（沪科）九级数学下册第26章 概率初步
连线： 在一定条件下必然发生的事件。 在一定条件下不可能发生的事件。
随机事件 不可能事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 必然事件
一般地 在一次随机试验中，有n种可能的结
果，并且这些结果发生的可能性相同，其中使 事件A发生的结果有m（m≤ n)种,那么事件A发
第二次 第一次
红球1
红球2
(红1,红2)
黄球1
黄球2
红球1 红球2
(红2,红 1)
（红1,黄1) （红1,黄2） (红2,黄1) (红2,黄2)
所以，一共有 种等可能的情况，而两次都摸到 （黄1,红2) (黄1,黄2) (12 黄1, 红 黄球1 1) 红球有 两 种情况，所以 P（两次摸到红球）=2 1 12 6 (黄2,红 (黄2,红2) (黄2,黄1) 黄球2
1)
1元
YIYUAN
中华人民共和 国 200 6
抛掷一枚均匀的骰子，向上一面可能的结果有几 种？哪种结果出现的可能性大些？ 答：其结果有1，2，3，4，5，6六种可能不
同的结果，这六种结果出现的可能性相等。
例2 抛掷两枚均匀的硬币，求两枚硬币正面都向上 的概率 解： 抛掷两枚硬币，向上一面的情况一共可能 出现如下四种不同的结果
开始 获演唱奖的
男
女
女
获演奏奖的 男1 男2 女1 女2 男1 男2 女1女2 男1 男2 女1 女2
共有12中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中 2名都是女生的结果有4种，所以事件A发生的概率为
4 1 P(A)= 12 3
例4 同时抛掷两枚均匀的骰子，骰子各面上的点数分 别是1,2，…6.试分别计算如下各随机事件的概率 （1）抛出的点数之和等于8； （2）抛出的点数之和等于12. 分析：为了解决这个问题，我们首先要弄清楚一共有 多少个可能结果，虽然同时抛掷两枚均匀的骰子，点 数之和可能为2，3，…12中国的任何一种，但是它们 并不是发生的所有可能结果，所有可能结果有哪些呢 ？我们知道：第一枚骰子可能掷出1,2….6中的每一种 情况，第二枚骰子也可能掷出1,2….6中的每一种情况 ，而且无论第一枚骰子掷出1,2，…6中的哪一种情况， 第二枚骰子都可能掷出1,2，…6中的哪一种情况，因此 这里的结果一共有36种，我们可以用“列表法”列出 所有的结果。
1 4
树状图能够直观地把各种可能情况表示出 来，既简便明了，又不易遗漏。
例3
某班有1名男生、2名女生在校文艺演
出中获演唱奖，另有2名男生、2名女生获演 奏奖。从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选 一人去领奖，求两人都是女生的概率。
解：设两名领奖学生都是女生的事件为A,两种 奖项各任选1人的结果用“树状图”来表示
生的概率为 P( A) m n 当A是必然事件时，
当A是不可能事件时
(m≤n)
m=n ，P(A)=1；
m=0， P(A)=0
0 P ( A) 1
抛掷一枚均匀的硬币，向上一面可能的结果有
几种？哪种结果出现的可能性大些？ 答：其结果有“正面向上”和“反面向上”两种 可能结果，这两种结果出现的可能性相等。
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 问题：
利用直接列举法可以列举事件发生的各种情 况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的 方法呢？
解： 可用“树状图”来表示所有可能出现的结果
第一枚 第二枚 正 反 反 正 反 结果 （正，正） （正，反） （反，正）
正
开始
（反，反）
设两枚都是正面向上的事件为A，则P（A)=
所以，一共有16种等可能的情况，而两次都摸到 （黄1,红2) (黄1,黄1) 4 (黄1, 黄2) (黄1,红 黄球1 1 红球有 4 种情况，所以 P（两次摸到红球） 1) 16 4
黄球2
(黄2,红 1) (黄2,红2) (黄2,黄1) (黄2,黄2)
4.一个袋子中装有2个黄球和2个红球，搅匀后从 放回 不放回 搅匀后再从中摸出第 中任意摸出一个球， 二个球，用列表法求两次都摸到红球的概率 解：列表如下
一步实验所包含的可能情况
另一步 实验所 包含的 可能情 况
两步实验所组合的 所有可能情况,即n
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事 件的个数m,最后代入公式计算.
1.两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选项，若 某学生不知道正确答案就瞎猜，则这两道题恰好全 部被猜对的概率是（ ） 1 1 1 1 A B C D 16 2 8 4 2.如图，小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校 到小明的外婆家也有3条路可走，若小明要从奶奶 家经学校到外婆家，不同的走法共有________种
3.一个袋子中装有2个黄球和2个红球，搅匀后从 中任意摸出一个球，放回搅匀后再从中摸出第二 个球，用列表法求两次都摸到红球的概率 解：列表如下
第二次 第一次
红球1
(红1,红1) (红2,红 1)
红球2
(红1,红2) (红2,红2)
黄球1
黄球2
红球1 红球2
（红1,黄1) （红1,黄2） (红2,黄1) (红2,黄2)
一、常用的两种列举法是列表法和树状图法。
1.当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的 结果数目较多时，为了不重复、不遗漏地列出所 有可能的结果，通常用列表法。 2.当一次试验要涉及两个或两个以上因素时，为 了不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，通常 采用树状图法。
二、当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的 结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的 结果,通常采用列表法. 列表法中表格构造特点:
连线： 在一定条件下必然发生的事件。 在一定条件下不可能发生的事件。
随机事件 不可能事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 必然事件
一般地 在一次随机试验中，有n种可能的结
果，并且这些结果发生的可能性相同，其中使 事件A发生的结果有m（m≤ n)种,那么事件A发
第二次 第一次
红球1
红球2
(红1,红2)
黄球1
黄球2
红球1 红球2
(红2,红 1)
（红1,黄1) （红1,黄2） (红2,黄1) (红2,黄2)
所以，一共有 种等可能的情况，而两次都摸到 （黄1,红2) (黄1,黄2) (12 黄1, 红 黄球1 1) 红球有 两 种情况，所以 P（两次摸到红球）=2 1 12 6 (黄2,红 (黄2,红2) (黄2,黄1) 黄球2
1)
1元
YIYUAN
中华人民共和 国 200 6
抛掷一枚均匀的骰子，向上一面可能的结果有几 种？哪种结果出现的可能性大些？ 答：其结果有1，2，3，4，5，6六种可能不
同的结果，这六种结果出现的可能性相等。
例2 抛掷两枚均匀的硬币，求两枚硬币正面都向上 的概率 解： 抛掷两枚硬币，向上一面的情况一共可能 出现如下四种不同的结果
开始 获演唱奖的
男
女
女
获演奏奖的 男1 男2 女1 女2 男1 男2 女1女2 男1 男2 女1 女2
共有12中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中 2名都是女生的结果有4种，所以事件A发生的概率为
4 1 P(A)= 12 3
例4 同时抛掷两枚均匀的骰子，骰子各面上的点数分 别是1,2，…6.试分别计算如下各随机事件的概率 （1）抛出的点数之和等于8； （2）抛出的点数之和等于12. 分析：为了解决这个问题，我们首先要弄清楚一共有 多少个可能结果，虽然同时抛掷两枚均匀的骰子，点 数之和可能为2，3，…12中国的任何一种，但是它们 并不是发生的所有可能结果，所有可能结果有哪些呢 ？我们知道：第一枚骰子可能掷出1,2….6中的每一种 情况，第二枚骰子也可能掷出1,2….6中的每一种情况 ，而且无论第一枚骰子掷出1,2，…6中的哪一种情况， 第二枚骰子都可能掷出1,2，…6中的哪一种情况，因此 这里的结果一共有36种，我们可以用“列表法”列出 所有的结果。
1 4
树状图能够直观地把各种可能情况表示出 来，既简便明了，又不易遗漏。
例3
某班有1名男生、2名女生在校文艺演
出中获演唱奖，另有2名男生、2名女生获演 奏奖。从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选 一人去领奖，求两人都是女生的概率。
解：设两名领奖学生都是女生的事件为A,两种 奖项各任选1人的结果用“树状图”来表示
生的概率为 P( A) m n 当A是必然事件时，
当A是不可能事件时
(m≤n)
m=n ，P(A)=1；
m=0， P(A)=0
0 P ( A) 1
抛掷一枚均匀的硬币，向上一面可能的结果有
几种？哪种结果出现的可能性大些？ 答：其结果有“正面向上”和“反面向上”两种 可能结果，这两种结果出现的可能性相等。
（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） 问题：
利用直接列举法可以列举事件发生的各种情 况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的 方法呢？
解： 可用“树状图”来表示所有可能出现的结果
第一枚 第二枚 正 反 反 正 反 结果 （正，正） （正，反） （反，正）
正
开始
（反，反）
设两枚都是正面向上的事件为A，则P（A)=
所以，一共有16种等可能的情况，而两次都摸到 （黄1,红2) (黄1,黄1) 4 (黄1, 黄2) (黄1,红 黄球1 1 红球有 4 种情况，所以 P（两次摸到红球） 1) 16 4
黄球2
(黄2,红 1) (黄2,红2) (黄2,黄1) (黄2,黄2)
4.一个袋子中装有2个黄球和2个红球，搅匀后从 放回 不放回 搅匀后再从中摸出第 中任意摸出一个球， 二个球，用列表法求两次都摸到红球的概率 解：列表如下
一步实验所包含的可能情况
另一步 实验所 包含的 可能情 况
两步实验所组合的 所有可能情况,即n
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事 件的个数m,最后代入公式计算.
1.两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选项，若 某学生不知道正确答案就瞎猜，则这两道题恰好全 部被猜对的概率是（ ） 1 1 1 1 A B C D 16 2 8 4 2.如图，小明的奶奶家到学校有3条路可走，学校 到小明的外婆家也有3条路可走，若小明要从奶奶 家经学校到外婆家，不同的走法共有________种
3.一个袋子中装有2个黄球和2个红球，搅匀后从 中任意摸出一个球，放回搅匀后再从中摸出第二 个球，用列表法求两次都摸到红球的概率 解：列表如下
第二次 第一次
红球1
(红1,红1) (红2,红 1)
红球2
(红1,红2) (红2,红2)
黄球1
黄球2
红球1 红球2
（红1,黄1) （红1,黄2） (红2,黄1) (红2,黄2)
一、常用的两种列举法是列表法和树状图法。
1.当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的 结果数目较多时，为了不重复、不遗漏地列出所 有可能的结果，通常用列表法。 2.当一次试验要涉及两个或两个以上因素时，为 了不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，通常 采用树状图法。
二、当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的 结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的 结果,通常采用列表法. 列表法中表格构造特点: