高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆0062 31

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>
a D ．3-<a 或231<<a
2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-
或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或3
4
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=
k （ ）
A. 3
B.
2
21
C. 22
D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：
222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 【热点题型】
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1、(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4
3分为面积相等的两部分，则
k 的值是( )
A.73
B.37
C.43
D.3
4
(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．
答案 (1)A (2)⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，
x －2y ＋2≥0
解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭
⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．
因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭
⎫12，52.
当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭
⎫12，52时，52＝k 2＋43，
所以k ＝7
3.
(2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0
为所表示的可行域． 【提分秘籍】
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法： 直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
【举一反三】
(1)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a
的值为( )
A ．－5
B ．3
C ．5
D ．7
(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．
答案 (1)D (2)x ＋y －1>0
解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，
作出可行域如图知可行域由点A(1,0)，B(1，a ＋1)，C(0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，
且a>－1，则其面积等于1
2×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.
(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.
题型二 求线性目标函数的最值
例2、(1)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y≤x ，x ＋y≤1，y≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则
m －n 等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
(2)已知a>0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥1，x ＋y≤3，y≥a x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.
答案 (1)B (2)1
2
当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，zmin ＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，zmax ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.
(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝a x －3， 得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－2a ， ∴zmin ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12. 【提分秘籍】
线性规划问题的解题步骤：
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；
(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 【举一反三】
(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x≤2，
y≤2，
x ≤2y
给定．若M(x ，y)为D 上的动点，点
A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的最大值为( )
A ．3
B ．4
C ．32
D ．4 2
(2)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )
A ．2
B ．－2C.12D ．－1
2 答案 (1)B (2)D
解析 (1)由线性约束条件
⎩⎨⎧
0≤x≤2，y≤2，x ≤2y
画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →
＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.
题型三 线性规划的实际应用
例3、某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？
解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1600x ＋2400y.由题意，得x ，y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y≤21，
y≤x ＋7，
36x ＋60y≥900，x ，y≥0，x ，y ∈N.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上的截距z
2400最小，即z 取得最小值．
故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． 【提分秘籍】
解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答． 【举一反三】
某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．
答案 27
解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
x≥0，
y ≥0，
3x ＋y≤13，
2x ＋3y≤18，
可行域如图阴影所示．
由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)． 题型四求非线性目标函数的最值
例4、(1)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，
则y
x 的最大值为________．
(2)已知O 是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则|OA →
＋
OM →
|的最小值是________．
答案 (1)32 (2)32
2
【提分秘籍】
常见代数式的几何意义有
(1)x2＋y2表示点(x ，y)与原点(0,0)的距离； (2)
x －a 2＋y －b 2表示点(x ，y)与点(a ，b)之间的距离；
(3)y
x 表示点(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －b x －a 表示点(x ，y)与点(a ，b)连线的斜率． 【举一反三】
(1)设不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x 所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x －4y －9＝
0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，|AB|的最小值等于( )
A.285B ．4C.12
5D ．2
(2)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋2y －18≤0，2x －y≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为
________．
答案 (1)B (2)1
解析 (1)由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x －4y －9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点(1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小， 故|AB|的最小值为2×|3×1－4×1－9|
5
＝4，选B. (2)画出可行域如图，k 为直线y ＝kx ＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k 最大，此直线需过B(2,4)点，所以k ＝4－22－0
＝1.
【高考风向标】
1.【高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩
,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（）
(A)3 (B) 1 (C)
43
(D)3 【答案】B 【解析】如图，，
由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩
,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43， 再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形， 易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33
m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43
， 化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角
形区域，故舍去，所以1m =;故选B.
2.【高考四川，文9】设实数x，y满足
210
214
6
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则xy的最大值为( )
(A)
25
2
(B)
49
2
(C)12 (D)14
【答案】A
【解析】画出可行域如图
在△ABC区域中结合图象可知当动点在线段AC上时xy取得最大
此时2x＋y＝10
xy＝
1
2（2x·y）≤
2
1225
()
222
x y
+
=
当且仅当x＝
5
2，y＝5时取等号，对应点（
5
2，5）落在线段AC上，
故最大值为
25
2。

3.【高考广东，文4】若变量x，y满足约束条件
22
4
x y
x y
x
+≤
⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
，则23
z x y
=+的最大值为（）A．10B．8C．5D．2
【答案】C
【解析】作出可行域如图所示：
作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，
23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩
，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．
4.【高考新课标1，文15】若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩
,则z=3x+y 的最大值为．
【答案】4
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z=3x+y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0
x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z=3x+y 的最大值为4.
5.【高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别x ，y 吨，则利润34z x y =+
由题意可列0,0321228x y x y x y ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩
，其表示如图阴影部分区域：
当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯=，
故答案选D 。

6.【高考湖南，文4】若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最小值为( )
A 、1-
B 、0
C 、1
D 、2
【答案】A
7.【高考福建，文10】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩
，若2z x y =-的最大值为2，则实数
m 等于（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】C
x
–1–2–3–41234–1
–2
–3
–412
3
B O
C
8.【高考安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则y x z +-=2的最大值是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）1
【答案】A
【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：
令y x z +-=2⇒z x y --=2，可知在图中)1,1(A 处，y x z +-=2取到最大值1,故选A.
9.【高考山东，文12】 若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
则3z x y =+的最大值为 .
【答案】7
【解析】
画出可行域及直线30x y +=，平移直线30x y +=，当其经过点(1,2)A 时，直线的纵截距最大，所以3z x y =+最大为1327z =+⨯=.
10.【高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足22
1x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是．
【答案】15
【解析】
22,2224631034,22x y y x z x y x y x y y x
+-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩
由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故1015
z d -==，所以15z =，故该目标函数的最大值为15. 11．（·安徽卷）x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为()
A.12或－1 B ．2或12
C ．2或1
D ．2或－1
【答案】D
【解析】
方法一：画出可行域，如图中阴影部分所示，可知点A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2), 则zA ＝2，zB ＝－2a ，zc ＝2a －2.
要使对应最大值的最优解有无数组，
只要zA ＝zB>zC 或zA ＝zC>zB 或zB ＝zC>zA ，
解得a ＝－1或a ＝2.
方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z ＝y －ax 可变为y ＝ax ＋z ，令l0：y ＝ax ，则由题意知l0∥AB 或l0∥AC ，故a ＝－1或a ＝2. 12．（·北京卷）若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，
且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为()
A ．2
B ．－2 C.12 D ．－12
【答案】D
【解析】可行域如图所示，当k>0时，知z ＝y －x 无最小值，当k<0时，目标函数线过可行域内A 点
时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，
解得A ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，故zmin ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12.
13．（·福建卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x≥0，
则z ＝3x ＋y 的最小值为________． 【答案】1
【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，
把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得zmin ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.
14．（·广东卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x ，x ＋y≤1，y≥－1，
且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝()
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B
【解析】本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．
当目标函数线经过点A(－1，－1)时，z 取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时，z 取得最大值．故m ＝3，n ＝－3，所以m －n ＝6.
15．（·湖南卷）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x ，x ＋y≤4，y≥k ，
且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.
【答案】－2
【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A(k ，k)处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.
16．（·全国卷）设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋2y≤3，x －2y≤1，
则z ＝x ＋4y 的最大值为________．
【答案】5
17．（·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1，x －2y≤4的解集记为D ，有下面四个命题： p1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≥－2，
p2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2，
p3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3，
p4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1.
其中的真命题是()
A ．p2，p3
B ．p1，p2
C ．p1，p4
D ．p1，p3
【答案】B
【解析】不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．
18．（·新课标全国卷Ⅱ] 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，
则z ＝2x －y 的最大值为() A ．10 B ．8 C ．3 D ．2
【答案】B
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.
19．（·山东卷）已知x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为() A. 5 B. 4 C. 5 D. 2
【答案】B
【解析】画出约束条件表示的可行域(如图所示)．显然，当目标函数z ＝ax ＋by 过点A(2，1)时，z 取得最小值，即25＝2a ＋b ，所以25－2a ＝b ，所以a2＋b2＝a2＋(25－2a)2＝5a2－85a ＋20，构造函数m(a)＝5a2－85a ＋20(5>a>0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)＝5a2－85a ＋20的最小值是4×5×20－（85）24×5
＝4，即a2＋b2的最小值为4.故选B.
20．（·陕西卷）在直角坐标系xOy 中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x ，y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．
(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；
(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R)，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．
(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，
∴(x ，y)＝(m ＋2n ，2m ＋n)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，
两式相减得，m －n ＝y －x ，
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B(2，3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
【高考押题】
1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y≤x ＋1，y≥0，0≤x≤t
所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为( ) A ．－3或3B ．－3或1
C ．1D.3
答案 C
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y≤x ＋1，y≥0，0≤x≤t
所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B(t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C(0,1)，由平面区域的面积S ＝1＋t ＋1×t 2
＝32，得t2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C.
2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
|x|≤|y|，|x|<1的点(x ，y)的集合用阴影表示为下列图中的( )
答案 C
解析 |x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y 轴的两个区域；
|x|<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．
3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x≥1，x ＋y －4≤0，kx －y≤0
表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3
答案 B
解析 画出平面区域如图所示：
直线y ＝kx 一定垂直x ＋y －4＝0，即k ＝1，只有这样才可使围成的区域为直角三角形，且面积为1.
4． x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1B ．2或12
C ．2或1
D ．2或－1
答案 D
解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，
故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；
当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.
5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，
则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10B ．8C ．3D ．2
答案 B
解析 画出可行域如图所示．
由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，
可将直线y ＝2x 向下平移，
当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时，
即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝2， 即A(5,2)，则zmax ＝2×5－2＝8.
6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x≤2
表示的平面区域的面积为________． 答案 4
解析 作出可行域为△ABC(如图)，则S △ABC ＝4.
7．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y≥0，x －y≤0，0≤y≤k ，
若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．
答案 2 －2
8．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如表：
a b(万吨) c(百万元) A
50% 1 3 B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
答案 15
9．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P(－1，－1)、Q(2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．
解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、
Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m>0，2＋3m ＋m>0，或⎩⎪⎨⎪⎧
－1－m ＋m<0，2＋3m ＋m<0， 所以，m 的取值范围是m<－12.
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，
生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，
所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y)＝2x ＋3y ＋300.
(2)约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y≥0，x≥0，y≥0，x 、y ∈N.
整理得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3y≤200，x ＋y≤100，x≥0，y≥0，x 、y ∈N.
目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，
作出可行域，如图所示，
作初始直线l0：2x ＋3y ＝0，平移l0，当l0经过点A 时，ω有最大值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝50，y ＝50. ∴最优解为A(50,50)，此时ωmax ＝550元．
故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．高考模拟复习试卷试题模拟卷
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．
【热点题型】
题型一 由数列的前几项求数列的通项
例1、写出下面各数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…；
(3)－1，32，－13，34，－15，36，…；
(4)3,33,333,3333，….
【提分秘籍】
根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．
【举一反三】
(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是an ＝________.
(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an ＝________.
题型二由数列的前n 项和Sn 求数列的通项
例2 已知下面数列{an}的前n 项和Sn ，求{an}的通项公式：
(1)Sn ＝2n2－3n ；
(2)Sn ＝3n ＋b.
【提分秘籍】
数列的通项an 与前n 项和Sn 的关系是an ＝⎩⎪⎨⎪⎧
S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2.当n ＝1时，a1若适合Sn －Sn －1，则n ＝1的情况可并入n≥2时的通项an ；当n ＝1时，a1若不适合Sn －Sn －1，则用分段函数的形式表示．
【举一反三】
已知数列{an}的前n 项和Sn ＝3n2－2n ＋1，则其通项公式为________________．
题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式
例3 (1)设数列{an}中，a1＝2，an ＋1＝an ＋n ＋1，则通项an ＝________.
(2)数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝3an ＋2，则它的一个通项公式为an ＝________.
(3)在数列{an}中，a1＝1，前n 项和Sn ＝n ＋23an ，则{an}的通项公式为________．
【提分秘籍】
已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．
当出现an ＝an －1＋m 时，构造等差数列；当出现an ＝xan －1＋y 时，构造等比数列；当出现an
＝an －1＋f(n)时，用累加法求解；当出现an an －1
＝f(n)时，用累乘法求解． 【举一反三】
(1)已知数列{an}满足a1＝1，an ＝n －1n ·an －1(n ≥2)，则an ＝________.
(2)已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝2an －1(n ∈N*)，则a5等于( )
A ．－16
B ．16
C ．31
D ．32
【高考风向标】
【高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，2
11+
=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于.
1．（·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n ∈N*)满足anbn ＋1－an ＋1bn ＋2bn ＋1bn ＝0.
(1)令cn ＝an bn ，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn ＝3n －1，求数列{an}的前n 项和Sn.
2．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1，an≠0，anan ＋1＝λSn －1，其中λ为常数．
(1)证明：an ＋2－an ＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
3．（·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1＝3an ＋1.
(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列，并求{an}的通项公式； (2)证明1a1＋1a2＋…＋1an ＜32.
4．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)．
(1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．
(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论．
5．（·安徽卷）如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An ，…和B1，B2，…，Bn ，…分别在角O 的两条边上，所有AnBn 相互平行，且所有梯形AnBnBn ＋1An ＋1的面积均相等，设OAn ＝an ，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．
图1－3
6．（·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列{}an 的四个命题：
p1：数列{}an 是递增数列；
p2：数列{}nan 是递增数列；
p3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫an n 是递增数列； p4：数列{}an ＋3nd 是递增数列．
其中的真命题为( )
A ．p1，p2
B ．p3，p4
C ．p2，p3
D ．p1，p4
7．（·全国卷）等差数列{an}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
【高考押题】
1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an 等于( )
A.－1n ＋12B ．cos nπ2
C ．cos n ＋12π
D ．cos n ＋22π
2．已知数列{an}中，a1＝1，若an ＝2an －1＋1(n≥2)，则a5的值是( )
A ．7
B ．5
C ．30
D ．31
3．若数列{an}的通项公式是an ＝(－1)n(3n －2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( )
A ．15
B ．12
C ．－12
D ．－15
4．若Sn 为数列{an}的前n 项和，且Sn ＝n n ＋1，则1a5等于( ) A.56B.65C.130D ．30
5．已知数列{an}满足a1＝1，an ＋1an ＝2n(n ∈N*)，则a10等于( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
6．若数列{an}满足关系：an ＋1＝1＋1an ，a8＝3421，则a5＝________.
7．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n ∈N*，都有a1·a2·a3·…·an ＝n2，则a3＋a5＝________.
8．已知{an}是递增数列，且对于任意的n ∈N*，an ＝n2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．
9．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝2n ＋1－2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn ＝an ＋an ＋1，求数列{bn}的通项公式．
10．数列{an}的通项公式是an ＝n2－7n ＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？高考模拟复习试卷试题模拟卷。