11.3角平分线的判定(100915)

分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
角平分线的性质 作业 课内： 课内：P22. 3（B本） （ 本
课外： 复习题11 归纳小结，布置作业
角平分线的性质
练习： 练习：
1.如图，在△ABC中，∠C=900， 1.如图， ABC中 如图 点D在BC上，DE⊥AB，且AE=EB， BC上 DE⊥AB， AE=EB， B DE=DC，求∠B的度数。 DE=DC， 的度数。 2.已知：如图，BD平分∠ABC， 2.已知：如图，BD平分∠ABC， 已知 平分 BC > AB 求证： 求证：∠A>∠C
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等 图形
D O 1 2 E D O E A P C B A P B C
已知条件
结论
OP平分∠AOB 平分∠ 平分 PD⊥OA于D PD⊥OA于 PE⊥OB于 PE⊥OB于E PD=PE PD⊥OA于D PD⊥OA于 PE⊥OB于 PE⊥OB于E
义务教育课程标准实验教科书数学八年级（上册） 义务教育课程标准实验教科书数学八年级（上册） 角平分线的性质
1、会用尺规作角的平分线. 会用尺规作角的平分线. 2、角的平分线的性质: 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 是 的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ PD＝PE ＝
利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
E D A B E
A
C
D C
如图，已知△ 的外角∠ 如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F， 求证： 的平分线上． 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G， G FH AD H FM BC M FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， M FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
A
E B
D
F C
角平分线的性质 【变式】 变式】 已知：如图, BD＝ 已知：如图,在△ABC中， BD＝CD, ∠1= ∠2. ABC中 求证：AD平分∠ 求证：AD平分∠BAC 平分
A E
1
F D
2
B
C
应用新知， 应用新知，解决问题
练习
已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交 点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
PD=PE
OP平分∠AOB 平分∠ 平分
角平分线的性质2: 角平分线的性质2: 角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平分线上。 的点在角的平分线上。 探究新知， 探究新知，归纳概括
思考： 思考： 如图所示，要在S 如图所示，要在S区建一个集贸 市场，使它到公路、铁路距离相等， 市场，使它到公路、铁路距离相等， 离公路与铁路交叉处500m 500m， 离公路与铁路交叉处500m，这个集贸 市场应建于何处（ 市场应建于何处（在图上标出它的位 比例尺为1 20000）？ 置，比例尺为1：20000）？
解决问题 问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
解： 作夹角的角平分线OC，截取 OD=2.5cm ,D即为所求。
s
D C
角平分线的性质 例1：已知：如图,在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， 已知：如图, ABC中 BC的中点，DE⊥AB， 的中点 DF⊥AC，垂足分别是E DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 BE＝CF。 求证：AD是 BAC的角平分线 求证：AD是∠BAC的角平分线 分析: AD是∠BAC的平分线 分析: AD是 BAC的平分线 DE＝ DE＝DF △BDE≌△CDF BDE≌ 应用新知， 应用新知，解决问题
证明: 经过点P作射线 作射线OC 证明 经过点 作射线 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° ＝ ＝ ° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 △ 和 △ 中 PO＝PO ＝ PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） △ ≌ △ （ ） ∴ ∠ POD＝∠POE ＝ ∴点P在∠AOB的平分线上
c P
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE． ∴OP平分∠AOB．
p
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, OP平分∠AOB ∴ PD＝PE
角平分线的性质
M C D F A E B N
角平分线的性质 例2： ： 已知：如图， ABC的角平分线BM、CN相交于点 的角平分线BM 相交于点P 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等． 求证： 到三边AB、BC、CA的距离相等． AB 的距离相等 A D F N P M B 1、点P在∠A的平分线上吗？ 的平分线上吗？ 相交于一点 2、这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 并且这一点到三边的距离相等. 并且这一点到三边的距离相等 应用新知， 应用新知，解决问题 E C
如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外 如图， ABC的 的外角平分线BD与 BD 角平分线CE相交于点P.求证： 到三边AB CE相交于点P.求证 AB， 角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB， BC，CA所在直线的距离相等 所在直线的距离相等． BC，CA所在直线的距离相等． 证明： 过点P作PF⊥AB于F， G PG AC G PM BC M PG⊥AC于G，PM⊥BC于M ∵点P在∠CBF的平分线上， M P ∴PF＝PM F 同理 PM＝PG ∴ PF＝PM=PG 即点P到三边AB BC，CA所在直线的距离相等 AB， 所在直线的距离相等． 即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等．
A D O 1 2 E B P C
反过来， 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？ 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等 图形
D O 1 2 E D O E A P C B A P B C
已知条件
结论
OP平分∠AOB 平分∠ 平分 PD⊥OA于D PD⊥OA于 PE⊥OB于 PE⊥OB于E PD=PE PD⊥OA于D PD⊥OA于 PE⊥OB于 PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB 平分∠ 平分
探究新知， 探究新知，归纳概括