矩阵定义
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T
元素 Φi i 1,,m
为 q 的函数
q q1 q2 qn
T
q 为 n 个变量组成的列阵：
于是，Φ 对变量 q 的偏导数定义为：
Φ Φi Φq q q i mn
Φ1 q 1 Φ2 q1 Φ m q1
定义
矢量在该矢量基上的坐标方阵为
0 def ~ a a3 a 2
显然，有：
a3 0 a1
a2 a1 0
~ T a ~ a
矢量的坐标方阵今后会经常碰到
[例1.2-1] 图示一长方体，其中AB = 1，BC = 1.2，BQ = 0.8。 0 写出矢量 a BP 图中给出了基 e
e1 T e e e2 e1 e2 e 3
e1 e1 e1 e2 e3 e2 e1 e2 e2 e e e e 3 1 3 2
e1 e1 e1 e2 e3 e2 e1 e2 e2 e e e e 3 1 3 2
T
Φ sin1 2 2 cos21 2 cos21 2 2
求它们对变量阵 q 的偏导数。
q 1
cos1 cos 2 2 2
2 sin1 sin2 2
1 1 2 Φq 1 3 1
第一章
数学基础
理论力学中涉及到的参数多为矢量
理论力学主要的数学工具 是几何矢量。矢量的描述及其 运算依靠矩阵。
注意：一般科技书中，矢 量也是一种矩阵，但是，理论 力学中，二者必须加以区别。
本章主要内容
1-1 # # 1-2 # # # 1-3 1-4 矩阵 矩阵的定义与运算 矩阵的导数 矢量 矢量、矢量基和基矢量 矢量的代数描述 矢量对时间的导数 方向余弦矩阵 平面矢量
1-2 矢量
1-2-1 矢量、矢量基和基矢量 1、矢量的定义：
矢量是一个具有大小和方向的量，用字母上面 加一箭头表示，如： a, 矢量的大小称为模，记为：
a,
模为1的矢量称为单位矢量，模为零则为零矢量 几何矢量： 矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述， 线段的长度表示它的模（大小），箭头的指向即为 其方向。
e1 a e1 a e a e2 a e2 e ae 3 3
e1 T e e e2 e1 e2 e 3
Φ1 q2 Φ2 q2 Φm q2
Φ1 qn Φ2 qn Φm qn
举例： 定义由两个变量 θ1 和 θ2 组成的列阵
今有一标量函数
和一3 阶列矩阵
q ( 1 2 )T
sin1 cos 2 2
3、矩阵和标量相乘，如 S · A
所有元素分别乘 S
1 4 6 8 2 3 4 5 6 7 2 10 12 14
4、矩阵相乘，如 AB
条件？
规则？
结果？
2 4 6 注意： 1 2 3 25 34 43 55 79 103 4 5 6 1 3 5 23 AB = BA 23 7 8 9 33
何谓正交性？基矢量的点积和叉积的结果如何？
矢量基的表示：
将基矢量构成一个矢量列（凡矢量阵用上面 加一箭头的黑斜体字符表示，以区别于标量 矩阵）：
e1 def e e2 e1 e2 e 3
T e3
对于不同的基，基矢量加上标进行区分。
2、矢量的运算
（1）矢量相等：模相等且方向一致，如： a b （2）与标量相乘： 结果为一矢量，如： c a
（3）两个矢量的和：结果为一矢量，如： c a b
求和（也称为合成）按 平行四边形法则进行。
a
c
b
求和运算遵循结合率和交换率
多个矢量的和可以两两合成
1-1 矩阵
1-1-1 矩阵的定义和运算
A11 A A 21 Am1
采用黑体字
A12 A22 Am 2
A1n A2m 行， n 列
方括号或圆括号
注意与行列式的区别
若干常用、特殊矩阵：
1、方阵 行数等于列数，如：
B与C必须是方阵，且为满秩矩阵—非奇异阵
7、正交矩阵
何谓正交矩阵？
每一列（行）均为单位向量
任意两列（行）的积等于零
若A为正交矩阵，则有： A-1 = AT
例如：
A
2 2 2 2
2 2 2 2
B
2 2 2 2
2 2 2 2
简记为：
A Aij
mn
以下关系 成立：
d A A A dt 例题请自 d A B A B 己看书 dt d AB AB AB dt
2、矩阵对变量的偏导数 今有一 m 阶列阵 其中，
Φ Φ q Φ2 q Φm q 1
3、矢量基与基矢量
矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采 用比较多的是矢量的代数表达方法。 为此需要构成一个参考空间，具体的做法是 用过点O的三个正交的单位矢量依 次按右手法则构成一个坐标系 称之为矢量基 (简称基) 点O 称为该矢量基的基点
O
e3
e1
e2
三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量
简称为分量
e1
e2
标量系数 a1, a2, a3 分别称为该矢量在三 个基矢量上的坐标 ，即投影 它们分别为三个分矢量的模。 这三个坐标构成一个标量列阵称为这个 矢量在该矢量基上的坐标阵，记为：
a1 def a a2 a1 a 3
a2
a3
T
1 4 1 2 3 T 5、矩阵的转置，记为 A 4 5 6 2 5 3 6 矩阵和的转置与积的转置：
T
(A B)T AT BT
ABT BT AT
6、矩阵的逆矩阵，如 A-1 何谓逆矩阵？ 若 BC = I ，B与C互为逆矩阵
1 5 8 4
2 6 7 3
3 7 6 2
4 8 5 1
2、零矩阵
所有元素都为零
记为：0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
3、单位矩阵
主对角线元素为1其余 元素均为零的方阵 元素满足： 元素满足：
由于 AB = BA = I，所以二者互为逆矩阵。 且A、B均为正交矩阵，即有 A-1 = AT ， B-1 = BT 。
1-1-2 矩阵的导数
1、矩阵对时间的导数 条件是：
矩阵的元素为时间的函数，如：A = A(t)，元素为Aij(t)
结果为： 同阶矩阵，各元素为原矩阵各元素对时间的导数。
dAij d 表达式： A dt dt mn
1 2 cos 2 2 cos1 2 2 1 2 2 2 sin21 2 sin21 2 2 2 sin21 2 2 2 sin21 2 2 3 2
a 1 1.2 0.8T 坐标阵： 0.8 1.2 0 ~ 0.8 a 0 1 坐标方阵为： 1.2 1 0
矢径的概念
由矢量基的基点出发，到达空间某一点P 的矢量称 为矢径
rP
即为一矢径
设该矢径在矢量基上的投影为：
r1 , r2 , r3
与空间矢量一样，矢径也可以用其分量表示为:
rP r1e1 r2e2 r3e3
（4）两个矢量的点积（数量积或标量积）： 结果为一标量，如：
a b ab cos
其中，a，b设为矢量的模，θ 为两个矢量正方向的夹角 点积与向量的位置无关，即符合交换率。
（5）矢量的叉积：结果为一矢量，如
c c
c a b
的大小为：
为a, b 夹角
b b e e1
b e2
b e3
T
r r e e1
r e2
r e3
T
矢量阵的运算：
参照矩阵运算进行，只是在运算中将一个 矢量当作一个标量元素处理。
e1 a e1 e1 e1 a a e a e2 a e2 e a e2 a e2 a e a e e e a 3 3 3 3
的方向：
c ab sin
c
b
θ
按照右手法则
a
矢量叉积的几个问题：
（1）服从分配率和结合率；
（2）两个矢量交换叉乘位置，结果方向相反；
a b b a
（3）矢量多重积
a ( b c ) b a c b a c a ( b c ) c a b b c a
记为：I
4、对称矩阵 5、反对称矩阵
aij a ji aij a ji
矩阵的主要运算规则：
1、矩阵相等，如 A = B 2、矩阵相加，如A + B 阶数相同，对应元素相等 条件？ 结果？
1 2 3 3 2 1 4 4 4 4 5 6 6 5 4 10 10 10
e1 e3 e2 e3 e3 e3
e1 e3 e2 e3 e3 e3
根据矢量乘积，以上两式可以简化为： 0 e3 e2 T T e e e3 0 e1 e e I3 e2 e1 0
在该基上的坐标阵与坐标方阵。 0
P
a
由于： a1 BA e1 a2 BC 1.2e2 a3 BQ 0.8e3
e3
Q
a3
D A
e20
C
e 10
a1
B
a2
a a1 a2 a3 e1 1.2e2 0.8e3
1-2-2
矢量的代数描述
1．矢量与矢径的代数描述
在某个矢量基上，任意矢量均可通过三个正交矢量的和表示
a a1e1 a2e2 a3e3
a 2 e2
a1e1
e3
a3e3
基矢量上的三 个分矢量
O
a1e1
a3 e3
a
a 2 e2
a1e1 a1e1
元素 Φi i 1,,m
为 q 的函数
q q1 q2 qn
T
q 为 n 个变量组成的列阵：
于是，Φ 对变量 q 的偏导数定义为：
Φ Φi Φq q q i mn
Φ1 q 1 Φ2 q1 Φ m q1
定义
矢量在该矢量基上的坐标方阵为
0 def ~ a a3 a 2
显然，有：
a3 0 a1
a2 a1 0
~ T a ~ a
矢量的坐标方阵今后会经常碰到
[例1.2-1] 图示一长方体，其中AB = 1，BC = 1.2，BQ = 0.8。 0 写出矢量 a BP 图中给出了基 e
e1 T e e e2 e1 e2 e 3
e1 e1 e1 e2 e3 e2 e1 e2 e2 e e e e 3 1 3 2
e1 e1 e1 e2 e3 e2 e1 e2 e2 e e e e 3 1 3 2
T
Φ sin1 2 2 cos21 2 cos21 2 2
求它们对变量阵 q 的偏导数。
q 1
cos1 cos 2 2 2
2 sin1 sin2 2
1 1 2 Φq 1 3 1
第一章
数学基础
理论力学中涉及到的参数多为矢量
理论力学主要的数学工具 是几何矢量。矢量的描述及其 运算依靠矩阵。
注意：一般科技书中，矢 量也是一种矩阵，但是，理论 力学中，二者必须加以区别。
本章主要内容
1-1 # # 1-2 # # # 1-3 1-4 矩阵 矩阵的定义与运算 矩阵的导数 矢量 矢量、矢量基和基矢量 矢量的代数描述 矢量对时间的导数 方向余弦矩阵 平面矢量
1-2 矢量
1-2-1 矢量、矢量基和基矢量 1、矢量的定义：
矢量是一个具有大小和方向的量，用字母上面 加一箭头表示，如： a, 矢量的大小称为模，记为：
a,
模为1的矢量称为单位矢量，模为零则为零矢量 几何矢量： 矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述， 线段的长度表示它的模（大小），箭头的指向即为 其方向。
e1 a e1 a e a e2 a e2 e ae 3 3
e1 T e e e2 e1 e2 e 3
Φ1 q2 Φ2 q2 Φm q2
Φ1 qn Φ2 qn Φm qn
举例： 定义由两个变量 θ1 和 θ2 组成的列阵
今有一标量函数
和一3 阶列矩阵
q ( 1 2 )T
sin1 cos 2 2
3、矩阵和标量相乘，如 S · A
所有元素分别乘 S
1 4 6 8 2 3 4 5 6 7 2 10 12 14
4、矩阵相乘，如 AB
条件？
规则？
结果？
2 4 6 注意： 1 2 3 25 34 43 55 79 103 4 5 6 1 3 5 23 AB = BA 23 7 8 9 33
何谓正交性？基矢量的点积和叉积的结果如何？
矢量基的表示：
将基矢量构成一个矢量列（凡矢量阵用上面 加一箭头的黑斜体字符表示，以区别于标量 矩阵）：
e1 def e e2 e1 e2 e 3
T e3
对于不同的基，基矢量加上标进行区分。
2、矢量的运算
（1）矢量相等：模相等且方向一致，如： a b （2）与标量相乘： 结果为一矢量，如： c a
（3）两个矢量的和：结果为一矢量，如： c a b
求和（也称为合成）按 平行四边形法则进行。
a
c
b
求和运算遵循结合率和交换率
多个矢量的和可以两两合成
1-1 矩阵
1-1-1 矩阵的定义和运算
A11 A A 21 Am1
采用黑体字
A12 A22 Am 2
A1n A2m 行， n 列
方括号或圆括号
注意与行列式的区别
若干常用、特殊矩阵：
1、方阵 行数等于列数，如：
B与C必须是方阵，且为满秩矩阵—非奇异阵
7、正交矩阵
何谓正交矩阵？
每一列（行）均为单位向量
任意两列（行）的积等于零
若A为正交矩阵，则有： A-1 = AT
例如：
A
2 2 2 2
2 2 2 2
B
2 2 2 2
2 2 2 2
简记为：
A Aij
mn
以下关系 成立：
d A A A dt 例题请自 d A B A B 己看书 dt d AB AB AB dt
2、矩阵对变量的偏导数 今有一 m 阶列阵 其中，
Φ Φ q Φ2 q Φm q 1
3、矢量基与基矢量
矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采 用比较多的是矢量的代数表达方法。 为此需要构成一个参考空间，具体的做法是 用过点O的三个正交的单位矢量依 次按右手法则构成一个坐标系 称之为矢量基 (简称基) 点O 称为该矢量基的基点
O
e3
e1
e2
三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量
简称为分量
e1
e2
标量系数 a1, a2, a3 分别称为该矢量在三 个基矢量上的坐标 ，即投影 它们分别为三个分矢量的模。 这三个坐标构成一个标量列阵称为这个 矢量在该矢量基上的坐标阵，记为：
a1 def a a2 a1 a 3
a2
a3
T
1 4 1 2 3 T 5、矩阵的转置，记为 A 4 5 6 2 5 3 6 矩阵和的转置与积的转置：
T
(A B)T AT BT
ABT BT AT
6、矩阵的逆矩阵，如 A-1 何谓逆矩阵？ 若 BC = I ，B与C互为逆矩阵
1 5 8 4
2 6 7 3
3 7 6 2
4 8 5 1
2、零矩阵
所有元素都为零
记为：0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
3、单位矩阵
主对角线元素为1其余 元素均为零的方阵 元素满足： 元素满足：
由于 AB = BA = I，所以二者互为逆矩阵。 且A、B均为正交矩阵，即有 A-1 = AT ， B-1 = BT 。
1-1-2 矩阵的导数
1、矩阵对时间的导数 条件是：
矩阵的元素为时间的函数，如：A = A(t)，元素为Aij(t)
结果为： 同阶矩阵，各元素为原矩阵各元素对时间的导数。
dAij d 表达式： A dt dt mn
1 2 cos 2 2 cos1 2 2 1 2 2 2 sin21 2 sin21 2 2 2 sin21 2 2 2 sin21 2 2 3 2
a 1 1.2 0.8T 坐标阵： 0.8 1.2 0 ~ 0.8 a 0 1 坐标方阵为： 1.2 1 0
矢径的概念
由矢量基的基点出发，到达空间某一点P 的矢量称 为矢径
rP
即为一矢径
设该矢径在矢量基上的投影为：
r1 , r2 , r3
与空间矢量一样，矢径也可以用其分量表示为:
rP r1e1 r2e2 r3e3
（4）两个矢量的点积（数量积或标量积）： 结果为一标量，如：
a b ab cos
其中，a，b设为矢量的模，θ 为两个矢量正方向的夹角 点积与向量的位置无关，即符合交换率。
（5）矢量的叉积：结果为一矢量，如
c c
c a b
的大小为：
为a, b 夹角
b b e e1
b e2
b e3
T
r r e e1
r e2
r e3
T
矢量阵的运算：
参照矩阵运算进行，只是在运算中将一个 矢量当作一个标量元素处理。
e1 a e1 e1 e1 a a e a e2 a e2 e a e2 a e2 a e a e e e a 3 3 3 3
的方向：
c ab sin
c
b
θ
按照右手法则
a
矢量叉积的几个问题：
（1）服从分配率和结合率；
（2）两个矢量交换叉乘位置，结果方向相反；
a b b a
（3）矢量多重积
a ( b c ) b a c b a c a ( b c ) c a b b c a
记为：I
4、对称矩阵 5、反对称矩阵
aij a ji aij a ji
矩阵的主要运算规则：
1、矩阵相等，如 A = B 2、矩阵相加，如A + B 阶数相同，对应元素相等 条件？ 结果？
1 2 3 3 2 1 4 4 4 4 5 6 6 5 4 10 10 10
e1 e3 e2 e3 e3 e3
e1 e3 e2 e3 e3 e3
根据矢量乘积，以上两式可以简化为： 0 e3 e2 T T e e e3 0 e1 e e I3 e2 e1 0
在该基上的坐标阵与坐标方阵。 0
P
a
由于： a1 BA e1 a2 BC 1.2e2 a3 BQ 0.8e3
e3
Q
a3
D A
e20
C
e 10
a1
B
a2
a a1 a2 a3 e1 1.2e2 0.8e3
1-2-2
矢量的代数描述
1．矢量与矢径的代数描述
在某个矢量基上，任意矢量均可通过三个正交矢量的和表示
a a1e1 a2e2 a3e3
a 2 e2
a1e1
e3
a3e3
基矢量上的三 个分矢量
O
a1e1
a3 e3
a
a 2 e2
a1e1 a1e1