北京高考题导数

北京高考题导数
函数北京高考题二——导数
1.（2011年文科18）已知函数()()x
=-，
f x x k e
（I）求()
f x的单调区间；
（II）求()
f x在区间[]0,1上的最小值
3.（2012年理科18）已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.
(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处
具有公共切线,求,a b 的值;
(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在
区间(,1]-∞-上的最大值.
4.（2013年文科18．）已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．
5.（2013年理科18．）设L为曲线C：y＝ln x
x在点(1，
0)处的切线．
(1)求L的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．
6.（2014年文科20.）已知函数3
=-.
()23
f x x x
（1）求()
f x在区间[2,1]
-上的最大值；
（2）若过点(1,)
=相切，求t P t存在3条直线与曲线()
y f x
的取值范围；
（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)
-分别存在几条直线与曲线
A B C
=相切？（只需写出结论）
y f x
()
7．（2014年理科18.）已知函数()cos sin ,[0,]2
f x x x x x π=-∈， （1）求证：()0f x ≤； （Ⅱ）若sin x a b x <<在(0,)2
π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值
1.（2011年文科18）解：（I ）/
()(1)x
f x x k e =-+，
令/
()01
f x x k =⇒=-；
所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；
（II ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以
min ()(0)f x f k
==-；
当011k <-≤即12k <≤时，由（I ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1
min
()
(1)k f x f k e -=-=-；
当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以
min ()(1)(1)f x f k e
==-。

2.（2012年文科18）
解：（Ⅰ）()2f x ax '=，2
()3g x x b '=+．
因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点
(1,)c 处具有公共切线，所以
(1)(1)f g =，且(1)(1)f g ''=． 即 11a b +=+，且23a b =+． 解得 3a =，3b =．
（Ⅱ）记()()()h x f x g x =+．当3a =，9b =-时，
3
2()391h x x x x =+-+， 2
()369h x x x '=+-．
令()0h x '=，得1
3x =-，2
1x =．
()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下：
由此可知：
当k ≤3-时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值
为(3)28h -=； 当32k -<<时，函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值
小于28．
x (,3)-∞- 3- (3,1)-
1 (1,2)
2 ()h x ' + 0 - 0 + ()h x 28 4-
3
因此，k 的取值范围是(,3]-∞-
3.（2012年文科18）解：（1）由()1c ，为公共切点可得：
2
()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，1
2k a =， 3()g x x bx =+，则2
()=3f x x b '+，2
3k b =+， ∴23a b =+⎺
又(1)1f a =+，(1)1g b =+，
∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：3
3
a b =⎧⎨=⎩
． （2）
24a b
=，∴设3
22
1()()()1
4
h x f x g x x
ax a x =+=++
+
则2
21()324
h x x
ax a '=++
，令()0h x '=，解得：1
2
a x =-，2
6
a x
=-
；
a >，∴
26
a a
-<-， ∴
原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在2
6a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
，上单调递增 ①若
12
a
--
≤，即2a ≤时，最大值为
2
(1)4
a h a =-
；
②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
． 综上所述：
当(]02a ∈，时，最大值为2
(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
已知
4.（2012年理科18）18．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．
(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．
解得a＝0，b＝f(0)＝1.
(2)令f′(x)＝0，得x＝0. f(x)与f′(x)的情况如下：
x (－∞，
0)
(0，＋
∞)
f′(x)－0＋
f(x)↘1↗
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1是f(x)的最小值．当b≤1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b最多只有一个交点；
当b>1时，f(－2b)＝f(2b)≥4b2－2b－1>4b－2b－1>b，f(0)＝1<b，
所以存在x1∈(－2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)＝f(x2)＝b.
由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b>1时，曲线y＝f(x)与直线y＝b有且仅有两个不同交点．
综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)．
5.（2013年理科18．）设L 为曲线C ：y ＝ln x
x 在点(1，
0)处的切线．
(1)求L 的方程；
(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线L 的下方．
18．解：(1)设f (x )＝ln x
x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2
. 所以f ′(1)＝1. 所以L 的方程为y ＝x －1. (2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于
g (x )>0(∀x >0，x ≠1)． g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x
x
2
. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；
当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．
所以g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．
所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．
7．解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
∴()'0f x ，即()f x 在π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
∴()f x 在π0,
2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为()00f =，所以()0f x ．
（2）一方面令()sin x g x x =，π0,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭， 则()2
cos sin 'x x x g x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <，
故()g x 在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，从而()π2
2πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2π
a
，所以max
2
π
a
=
．
令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，则()'cos h x x b =-， 当1b 时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()()00
h x h <=，
所以()sin 0h x x bx =-<恒成立．
当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,
2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
有唯一解0
x ，且()0
0,x x ∈，()'0h x >，
故()h x 在()0
0,x 上单调递增，从而()()00h x h >=，
即sin sin 0sin x x bx x bx b x ->⇒>⇒>与sin x
b x
<恒成立矛盾，综上，1b ，故min
1
b =．
解
答： 解：（Ⅰ）由f （x ）=2x 3﹣3x 得f ′（x ）=6x 2﹣3， 令f ′（x ）=0得，x=﹣或x=，
∵f （﹣2）=﹣10，f （﹣）=，f （）=﹣，f （1）=﹣1，
∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．
（Ⅱ）设过点p（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），
则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，
∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），
∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．
∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），
∴g（x）与g′（x）变化情况如下：
x （﹣
∞，0）0 （0，
1）
1 （1，
+∞）
g′（x）+0 ﹣0 +
g（x）↗t+3 ↘t+1 ↗
∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．
当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．
当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，
故g（x）至多有2个零点．
当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0，
∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，
故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．
综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f （x）相切；
过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；
过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．。