2015-2016年河南省驻马店市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案

2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，
只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．ln（a﹣b）＞0D．3a﹣b＜1
2．（5分）一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A．2B．1C．D．
3．（5分）下列命题：
（1）函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]；
（2）函数y=x2+2+最小值是2；
（3）若a，b同号且a≠b，则+≥2．
其中正确的命题是（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（2）（3）D．（1）（3）4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=8，S8=36，则数列{}的前100项和为（）
A．B．C．D．
5．（5分）给出如下四个命题：
①命题p：∃x0∈R，x+x0﹣1＜0，则非p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0；
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；
③四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc；
④在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充分不必要条件
其中正确的命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）
A．15km B．30km C．15 km D．15km
7．（5分）抛物线y=x2被直线y=x+4截得的线段的长度是（）A．B．2C．D．6
8．（5分）已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a
＞0）取得最大值，则a的取值范围是（）
A．（0，）B．（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）9．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）
A．18B．21C．24D．15
10．（5分）已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且
s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此
弦所在的直线方程为（）
A．x﹣2y+1=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x+y﹣3=0D．x+2y﹣3=0
11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F1作x轴的垂线
交双曲线于A、B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心离的取值范围为（）
A．（2，+∞）B．（1，2）C．（，+∞）D．（1，）12．（5分）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f′（x）对于x∈R恒成立（e为自然对数的底），则（）
A．e2013•f（2014）＞e2014•f（2013）
B．e2013•f（2014）=e2014•f（2013）
C．e2013•f（2014）＜e2014•f（2013）
D．e2013•f（2014）与e2014•f（2013）大小不确定
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.
13．（5分）已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．
14．（5分）已知实数，m，18成等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为．
15．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．
16．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为凸函数，已知f（x）=x4﹣mx3﹣x2，若当实数m满足|m|≤2，函数f（x）在（a，b）上为凸函数，则b﹣a的最大值是．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
17．（10分）已知命题p：“∀x＞﹣1，a≤x+恒成立”；，命题q：“函数f（x）
=x3+ax2+2ax+1在R上存在极大值和极小值”，若命题“p且q”是假命题，“p 或q”是真命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；
（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=CD=1，PD⊥面ABCD，PD=，E是PC的中点
（1）证明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．
20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n=﹣n2+2kn（k∈N+），且S n的最大值为4．
（1）求数列{a n}的通项a n；
（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和．
21．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
2015-2016学年河南省驻马店市高二（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，
只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．ln（a﹣b）＞0D．3a﹣b＜1
【解答】解：不妨令a=2，b=1，可得选项A正确，而选项B、C、D都不正确，故选：A．
2．（5分）一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为（）A．2B．1C．D．
【解答】解：∵，
∴s'=t，
当t=2时，
v=s'=2．
∴此木块在水平方向的瞬时速度为2．
故选：A．
3．（5分）下列命题：
（1）函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]；
（2）函数y=x2+2+最小值是2；
（3）若a，b同号且a≠b，则+≥2．
其中正确的命题是（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（2）（3）D．（1）（3）
【解答】解：对于（1），∵x＜0，
∴=﹣（﹣x+）．
即函数y=+x（x＜0）的值域是（﹣∞，﹣2]．命题（1）正确；
对于（2），令t=x2+2≥2．
∴y=x2+2+=在[2，+∞）上为增函数，
∴．命题（2）错误；
对于（3），∵a，b同号，
∴，
则+≥．
∵a≠b，
∴+＞2．
由复合命题的真值表可知，+≥2．命题③正确．
∴正确的命题是（1）（3）．
故选：D．
4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a8=8，S8=36，则数列{}的前100项和为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a8=8，S8=36，
∴，解得，
∴a n=1+（n﹣1）=n．
∴==．
∴数列{}的前100项和=+…+=1﹣=．故选：A．
5．（5分）给出如下四个命题：
①命题p：∃x0∈R，x+x0﹣1＜0，则非p：∀x∉R，x2+x﹣1≥0；
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；
③四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc；
④在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充分不必要条件
其中正确的命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①命题p：∃x0∈R，x+x0﹣1＜0，则非p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0；
正确，故①错误，
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2或y＜3，则x+y＜5”；
故②错误，
③由等比数列的性质，实数a、b、c、d依次成等比数列⇒ad=bc，
反之，若a=0，c=0，ad=bc=0，但实数a、b、c、d不符合等比数列的定义，
故四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc，正确；
故③正确，
④若A=150°＞45°，则sinA=＜，即“A＞45°”不是“”的充分条件，
错误；故④错误，
故选：A．
6．（5分）某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）
A．15km B．30km C．15 km D．15km
【解答】解：设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45km后处C处，如图所示
∠DBC=60°，∠ABD=30°，BC=45
∴∠ABC=60°﹣30°=30°，∠BAC=180°﹣60°=120°．
△ABC中，由正弦定理，
可得AC===15（km）．
即船与灯塔的距离是15（km）．
故选：A．
7．（5分）抛物线y=x2被直线y=x+4截得的线段的长度是（）A．B．2C．D．6
【解答】解：由得：或，
即抛物线y=x2与直线y=x+4交点坐标为A（﹣2，2），B（4，8），
故抛物线y=x2被直线y=x+4截得的线段AB的长度
|AB|==6，
故选：D．
8．（5分）已知x，y满足不等式组若当且仅当时，z=ax+y（a
＞0）取得最大值，则a的取值范围是（）
A．（0，）B．（，+∞）C．（0，）D．（，+∞）【解答】解：由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z（a＞0）
直线y=﹣ax+z（a＞0）是斜率为﹣a＜0，y轴上的截距为z的直线，
要使（3，0）是目标函数z=ax+y（a＞0）取最大值的唯一的最优解，
则满足﹣a＜k AB=﹣，解得a＞．
故选：D．
9．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）
A．18B．21C．24D．15
【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，
设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，
则a﹣b=b﹣c=2，
a=c+4，b=c+2，
∵sinA=，
∴A=60°或120°．
若A=60°，因为三条边不相等，
则必有角大于A，矛盾，故A=120°．
cosA=
=
=
=﹣．
∴c=3，
∴b=c+2=5，a=c+4=7．
∴这个三角形的周长=3+5+7=15．
故选：D．
10．（5分）已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且
s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此
弦所在的直线方程为（）
A．x﹣2y+1=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x+y﹣3=0D．x+2y﹣3=0【解答】解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，=9，
s+t最小值是，
∴（）（s+t）的最小值为4
∴（）（s+t）=n+m+≥=，
满足时取最小值，
此时最小值为=2+2=4，
得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．
设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），
由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得
，
①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，
∴k=，
∴此弦所在的直线方程为，
即x+2y﹣3=0．
故选：D．
11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F1作x轴的垂线
交双曲线于A、B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心离的取值范围为（）
A．（2，+∞）B．（1，2）C．（，+∞）D．（1，）
【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，
其中c=，
因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），
∴，解之得y0=，得|AF|=，
∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆内部
∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，
将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0
两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负）
故选：A．
12．（5分）已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f′（x）对于x∈R恒成立（e为自然对数的底），则（）
A．e2013•f（2014）＞e2014•f（2013）
B．e2013•f（2014）=e2014•f（2013）
C．e2013•f（2014）＜e2014•f（2013）
D．e2013•f（2014）与e2014•f（2013）大小不确定
【解答】解：f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f′（x），
令g（x）=，g′（x）==，
∵f（x）＞f'（x），
∴g′（x）＜0，g（x）是R上的减函数，
∴g（2014）＜g（2013），
∴，
∴e2013•f（2014）＜e2014•f（2013），
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.
13．（5分）已知函数f（x）=x﹣4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y﹣4=0．
【解答】解：函数f（x）=x﹣4lnx，所以函数f′（x）=1﹣，切线的斜率为：﹣3，切点为：（1，1）
所以切线方程为：3x+y﹣4=0
故答案为：3x+y﹣4=0
14．（5分）已知实数，m，18成等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为
或2．
【解答】解：实数，m，18成等比数列，可得
m2=×18=9，解得m=±3，
当m=3时，+y2=1，a=，b=1，c==，
即有e==；
当m=﹣3时，y2﹣=1，a=1，b=，c==2，
即有e==2．
故答案为：或2．
15．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．
【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．
故答案为：丙．
16．（5分）设函数y=f（x）在区间（a，b）的导函数f′（x），f′（x）在区间（a，b）的导函数f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为凸函数，已知f（x）=x4﹣mx3﹣x2，若当实数m满足|m|≤2，函数f（x）在（a，b）上为凸函数，则b﹣a的最大值是2．
【解答】解：由函数得，f″（x）=x2﹣mx﹣3，
当|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0恒成立⇔当|m|≤2时，mx＞x2﹣3恒成立．当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立．
当x＞0，，
∵m的最小值是﹣2．
∴．
从而解得0＜x＜1；
当x＜0，，
∵m的最大值是2，
∴，
从而解得﹣1＜x＜0．
综上可得﹣1＜x＜1，从而（b﹣a）max=1﹣（﹣1）=2，
故答案为：2．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
17．（10分）已知命题p：“∀x＞﹣1，a≤x+恒成立”；，命题q：“函数f（x）
=x3+ax2+2ax+1在R上存在极大值和极小值”，若命题“p且q”是假命题，“p 或q”是真命题，求实数a的取值范围．
【解答】解；关于命题p：“∀x＞﹣1，a≤x+恒成立”，
令g（x）=x+=x+1+﹣1≥1，当且仅当x=0时“=”成立，
∴a≤1；
关于命题q：“函数f（x）=x3+ax2+2ax+1在R上存在极大值和极小值”，
即f′（x）=x2+2ax+2a与x轴有2个交点，
∴△=4a2﹣8a＞0，解得：a＞2或a＜0，
若命题“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，
则p，q一真一假，
p真q假时：，解得：0≤a≤1，
p假q真时：，解得：a＞2，
综上，a∈[0，1]∪（2，+∞）．
18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2csinA．（Ⅰ）确定角C的大小；
（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．
【解答】解：（1）由及正弦定理得：，
∵sinA≠0，∴
在锐角△ABC中，．
（2）∵，，
由面积公式得，即ab=6①
由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=7②
由②变形得（a+b）2=25，故a+b=5．
19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AD=AB=CD=1，PD⊥面ABCD，PD=，E是PC的中点
（1）证明：BE∥面PAD；
（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．
【解答】解：（1）取PD的中点F，连结EF、AF，
∵E为PC中点，∴EF∥CD，且EF=，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，
四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，
∵BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．
（2）分别以DA、DB、DP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
可得B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，），E（0，1，）
∴=（1，1，0），=（﹣1，0，）
设=（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，则
取x=1，得y=﹣1，z=，=（1，﹣1，）
∵平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1），
∴cos＜，＞==，可得＜，＞=45°
因此，二面角E﹣BD﹣C的大小为45°．
20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n=﹣n2+2kn（k∈N+），且S n的最大值
为4．
（1）求数列{a n}的通项a n；
（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和．
【解答】解：（1）由条件知时，S n有最大值4，所以﹣k2+2k•k=4k=2，k=﹣2（舍去）由条件知当n=1时，a1=S1=3
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=5﹣2n经验证n=1时也符合a n=5﹣2n
故数列{a n}的通项公式为a n=5﹣2n（n∈N+）
（2）由（1）知
设数列{b n}的前项和为T n，
，
两式相减得=
所以，
21．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，（2分）
令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）（4分）
令f'（x）＞0得：，∴f（x）的单调递增区间是（6分）
（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx﹣x﹣恒成立①（9分）
设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣=﹣
令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；
当x＞1时，h'（x）＜0
∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2（12分）
若①恒成立，则a≥﹣2，
即a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）
22．（12分）已知椭圆的离心率，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，
依题意可得：，
解得：a2=3，b=1，
∴椭圆的方程为．
（2）假设存在这样的值．
，
得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则
而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，
要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0），
当且仅当CE⊥DE时，
则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，
∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③
将②代入③整理得k=，
经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．。