2018_2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的统一定义学案苏教版选修2_120180

§2.5圆锥曲线的统一定义
学习目标 1.了解三种圆锥曲线的统一定义，掌握三种圆锥曲线的区别与联系.2.学会利用圆锥曲线的统一定义解有关问题.3.掌握圆锥曲线的准线方程的概念．
知识点一圆锥曲线的统一定义
观察图形，思考下列问题：
思考1 上面两个图中分别对应什么曲线？
答案图(1)为椭圆，图(2)为双曲线．
思考2 当0<e<1时曲线有何特点？e>1呢？
答案当0<e<1时，曲线为椭圆，当e>1时，对应的曲线为双曲线．
梳理
知识点二圆锥曲线的焦点坐标和准线方程
1．若平面内动点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e (e ＞0)，则动点P 的轨迹是圆锥曲线．(×)
2．抛物线y 2
－2x ＝0的准线方程为x ＝－12.(√)
3．点M (x ，y )到定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数4
5
，则点M 的轨迹为x 225＋y 2
9
＝1.(×)
类型一 利用统一定义确定曲线形状 例1 判断下列各动点的轨迹表示的是什么？
(1)定点F ，定直线为l ，F ∉l ，动点M 到定点F 的距离MF 与动点M 到定直线l 的距离d 的比为2；
(2)定点F ，定直线为l ，F ∉l ，动点M 到定直线l 的距离d 与动点M 到定点F 的距离MF 的比为5；
(3)到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹；
(4)定点F ∉l ，到定点F 的距离与到定直线l 的距离的比大于1的点的轨迹． 解 (1)因为MF
d
＝2>1，所以动点的轨迹是双曲线．
(2)因为d MF ＝5，所以0<MF d ＝1
5
<1，所以动点的轨迹是椭圆．
(3)当F ∈l 时，动点的轨迹是过F 且与l 垂直的直线； 当F ∉l 时，动点的轨迹是抛物线．
(4)动点的轨迹不是双曲线，因为比值虽然大于1，但不一定是常数，动点的轨迹是一个平面
区域．
反思与感悟 判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是 (1)如果遇到动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．
(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到圆锥曲线的共同性质． 跟踪训练1 平面内到定点F (3,0)的距离与到定直线x ＝8的距离d 的比为3
2的动点P 的轨迹是
________． 答案 双曲线
解析 因PF d ＝3
2
>1，故动点的轨迹是双曲线．
类型二 与圆锥曲线的准线相关的问题
例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为y ＝3
3
x ，焦点到相应准线的距离为
3
2
，求双曲线的方程． 解 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
依题意得c －a 2c ＝3
2
，
又b a ＝
33
， 结合c 2
＝a 2
＋b 2
，解得a 2
＝9，b 2
＝3， 所以双曲线的方程为x 29－y 2
3＝1.
引申探究
本例中两准线之间的距离是多少？ 解 据本例，得方程x 29－y 2
3
＝1，
两准线之间的距离为2a 2c ＝2×9
23
＝3 3.
反思与感悟 求圆锥曲线的准线方程的步骤
跟踪训练2 根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1)经过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，455，且一条准线为x ＝5；
(2)两准线间的距离为185
5
，焦距为2 5.
解 (1)由于椭圆的一条准线为x ＝5，可见椭圆的焦点在x 轴上，故可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝
1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
1a 2
＋165b 2＝1，
a
2a 2
－b 2
＝5，
解得a 2＝5，b 2＝4或a 2＝21，b 2
＝8425.
故所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1或x 2
21＋25y
2
84
＝1.
(2)依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
2·a 2c ＝1855
，
2c ＝25，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩⎨⎧
a
＝3，
b ＝2，
c ＝ 5.
故所求椭圆方程为x 29＋y 2
4＝1或x 24＋y 2
9＝1.
类型三 圆锥曲线的统一定义及应用
例3 已知点A (3,1)，且点F (2,0)是双曲线x 2
－y 2
3＝1的右焦点，在双曲线上找一点P ，使PA
＋1
2PF 的值最小，求点P 的坐标． 解 由双曲线方程知，a ＝1，b ＝3，
∴c ＝2，离心率e ＝c a ＝2，与焦点F (2，0)对应的准线l ：x ＝a 2c ＝1
2
.
设点P 到准线l 的距离为d ，由圆锥曲线的统一定义有PF d
＝2， ∴1
2
PF ＝d . 如图，过点P ，A 作l 的垂线PP 1，AA 1，垂足分别为P 1，A 1，
则PA ＋12PF ＝PA ＋PP 1≥AA 1＝5
2.
∴当点P 为AA 1与双曲线的交点，即P ⎝
⎛⎭
⎪⎫
233，1时，PA ＋12PF 的值最小．
反思与感悟 一般地，在圆锥曲线上求一点P ，使PA ＋1
e
PF (其中A 是圆锥曲线内部的定点，F
是焦点，e 是离心率)最小时，都是利用圆锥曲线的统一定义来处理的．
跟踪训练3 已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 2
9＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．
(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值； (2)求MB ＋5
4
MA 的最小值及M 的坐标．
解 (1)如图所示，由x 225＋y 2
9
＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.
所以点A (4,0)为椭圆的右焦点， 则左焦点为F (－4,0)．
则MA ＋MF ＝2a ＝10，即MA ＋MB ＝10－MF ＋MB . 因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2
＋(0－2)2
＝210，
所以－210≤MB －MF ≤210，故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210.即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.
(2)由题意知，椭圆的右准线为x ＝25
4，过M 点作右准线的垂线，垂足为M ′，由圆锥曲线的统
一定义知，
MA MM ′＝e ＝45，即54MA ＝MM ′.所以MB ＋5
4
MA ＝MB ＋MM ′.当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′有最小值，最小值为BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，由x 2
25＋22
9＝1，解得x ＝535或x ＝－53
5(舍去)，
此时点M 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪
⎫535，2.
1．中心在原点，一条准线方程为x ＝8，离心率为1
2的椭圆方程为________．
答案
x 216＋y 2
12
＝1 解析 由题意，得e ＝c a ＝12，a 2
c
＝8，
∴a ＝4，c ＝2，∴椭圆方程为x 216＋y 2
12
＝1.
2．已知双曲线3x 2－y 2
＝9，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于________． 答案 2
解析 双曲线的方程可化为x 23－y 2
9＝1，则a 2＝3，b 2＝9，故c 2＝12，e 2
＝123＝4，则e ＝2.因此
所求比值为2.
3．若双曲线y 264－x 2
36＝1上一点P 到双曲线上焦点的距离是8，那么点P 到上准线的距离是
________． 答案
325
解析 设点P 到上准线的距离为d ， 由8d ＝108，得d ＝325. 4．椭圆
x 2
25
＋y 2
9
＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于 2.5，那么点P 到右焦点的距离为
________． 答案 8
解析 如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝4
5
，
而
PF 1
2.5＝e ＝4
5
，∴PF 1＝2， ∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.
5．已知抛物线y 2
＝4x 上一点M 到焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为________． 答案 4
解析 由抛物线定义知点M 到准线x ＝－1的距离为5， 所以点M 到y 轴的距离为4.
1．圆锥曲线的统一定义给出了三个量：定点F ，定直线l 及常数e .其中要求定点F 不在定直线l 上，且规定e 是到定点的距离与到定直线距离的比值，两者顺序不可颠倒．
2．在圆锥曲线中，椭圆与双曲线都有两个焦点，两条准线．在椭圆或双曲线中，图象上的点到焦点的距离与到相应准线的距离的比等于它们的离心率．
3．圆锥曲线中求线段和最值的问题，充分利用圆锥曲线的统一定义进行“化曲为直”，进而求出最值．
一、填空题
1．设双曲线的焦距为2c ，两条准线间的距离为d ，且c ＝d ，那么双曲线的离心率e ＝________. 答案
2 解析 2a
2
c ＝c ，c 2
＝2a 2
，e 2
＝c 2a
2＝2，e ＝ 2.
2．中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为1
2的椭圆的标准方程是________．
答案
y 24
＋x 2
3
＝1 解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
c
＝4，c a ＝1
2，a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，b 2
＝3.
故椭圆的标准方程是y 24＋x 2
3
＝1.
3．到直线y ＝－4的距离与到A (0，－2)的距离的比值为2的点M 的轨迹方程为________． 答案
y 28
＋x 2
4
＝1 解析 设M (x ，y )，由题意得
|y ＋4|
x 2＋(y ＋2)2
＝ 2.化简得y 28＋x 2
4
＝1.
4．椭圆x 225＋y 2
9＝1上的点到左准线的距离是9
2，则该点到右准线的距离是________．
答案 8
解析 准线方程为x ＝±a 2c ＝±254，则两准线间的距离为252，故所求的距离为252－9
2＝8.
5．已知双曲线x 2m －y 2
4
＝1的一条渐近线的方程为y ＝x ，则此双曲线两条准线间的距离为
________． 答案 2 2
解析 由题意知，2
m
＝1，m ＝4，准线方程为x ＝±
4
4＋4
＝±2，故两条准线间的距离为2 2.
6．双曲线的方程为x 23－y 2
2＝1，则以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程是________．
答案 y 2
＝－1255
x
解析 双曲线的右准线方程为x ＝35
5
，
∴p 2＝355
， 从而可得抛物线的标准方程为y 2
＝－1255
x .
7．已知椭圆的一个焦点为F 1(0，－22)，对应的准线方程为y ＝－924，且离心率e 满足2
3
，
e ，43
成等比数列，则此椭圆的方程为________．
答案 x 2
＋y 2
9
＝1
解析 ∵23，e ，4
3成等比数列，且0<e <1，
∴e 2
＝23×43，e ＝223
.
∵焦点F 1(0，－22)，∴c ＝22，
∴a 2＝22×924＝9，∴b 2＝a 2－c 2
＝9－8＝1.
故所求椭圆的方程为x 2
＋y 2
9
＝1.
8．在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝1
2，且它的一
个顶点与抛物线y 2
＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________________． 答案
3x ±y ＝0
解析 由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，抛物线y 2
＝－4x 的焦点为(－1,0)，
由此可得a ＝1.由a 2c ＝12得c ＝2.所以b 2＝c 2－a 2＝3，于是双曲线的方程为x 2
－y 23
＝1，其渐近线
方程为3x ±y ＝0.
9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝3
3
，则双曲线方程为
__________．
答案 x 2
－y 2
2
＝1
解析 由⎩⎪⎨
⎪⎧
c a ＝3，
a 2
c ＝33
，得⎩⎨
⎧
a ＝1，
c ＝3，
所以b 2
＝3－1＝2.
所以双曲线方程为x 2
－y 2
2
＝1.
10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________． 答案
22
解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2
c
.
把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2
＝b 2
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2
a 2＝b
4
a
2，即y ＝±b 2
a .
依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b
2
c
＝1，
所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝2
2
.
11．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，两条准线与x 轴的交点为M ，N ，若MN ≤2F 1F 2，则
该椭圆离心率的取值范围是________． 答案 ⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
22，1 解析 由题意有MN ≤2F 1F 2，
∴2×a 2c ≤2×2c ，即a 2≤2c 2
，
∴c 2a 2≥12，故e ＝c a ≥22
， 又0<e <1，∴2
2
≤e <1. 二、解答题
12.如图，P 是椭圆x 225＋y 2
9＝1上的一点，F 是椭圆的左焦点，且OQ →＝12(OP →＋OF →)，|QO →
|＝4，求
点P 到椭圆左准线的距离．
解 ∵OQ →＝12
(OP →＋OF →)， 故Q 为PF 的中点．
∵|OQ →|＝4，
∴P 点到右焦点F ′的距离为8，
∴PF ＝2×5－8＝2，
又PF d ＝e ＝c a ＝45
(d 为P 到椭圆左准线的距离)， ∴d ＝52
. 13．已知动点P (x ，y )到点A (0,3)与到定直线y ＝9的距离之比为33
，求动点P 的轨迹． 解 方法一 由圆锥曲线的统一定义知，P 点的轨迹是一椭圆，c ＝3，a 2
c
＝9，则a 2＝27，a ＝33，
∴e ＝333＝33
，与已知条件相符． ∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线方程为y ＝±9.
b 2＝18，其方程为y 227＋x 2
18＝1. 方法二 由题意得x 2＋(y －3)2|9－y |＝33
. 整理得y 227＋x 2
18＝1. P 点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y ＝±9为准线的椭圆． 三、探究与拓展
14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2
的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．
答案 (2，＋∞)
解析 由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－a 2c e >3a 2＋a 2
c
，即3c 2>5ac ＋2a 2， 所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13
(舍去)．
15．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，过左焦点F (－c,0)的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，FP →＝(1，3)，若PF →＝λFQ →，且1PF ＋1QF ＝43.
(1)求实数λ的值；
(2)求椭圆C 的方程．
解 (1)∵PF →＝λFQ →，∴λ>0，
又FP →＝(1，3)，有|FP →|＝2，
∴|QF →|＝1λ|FP →|＝2λ.
又1|PF →|＋1|QF →|＝43，∴12＋λ2＝43，
∴λ＝53.
(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则由FP →＝(1，3)，得x 1＝1－c .
由圆锥曲线的统一定义可知，
PF ＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋a
2c ＝a ＋ex 1＝a ＋c a (1－c )＝2，①
同理，QF ＝a ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－c ＝65，②
由①－②得，85·c a ＝45，∴a ＝2c .
代入①得c ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。